Theorem crngbinom 18621

Description: The binomial theorem for commutative rings (special case of csrgbinom 18546): ( A + B ) ^ N is the sum from k = 0 to N of ( N _C k ) x. ( ( A ^ k ) x. ( B ^ ( N - k ) ). (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
crngbinom.s	|- S = ( Base ` R )
crngbinom.m	|- .X. = ( .r ` R )
crngbinom.t	|- .x. = (.g ` R )
crngbinom.a	|- .+ = ( +g ` R )
crngbinom.g	|- G = (mulGrp ` R )
crngbinom.e	|- .^ = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
crngbinom	|- ( ( ( R e. CRing /\ N e. NN0 ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) ) -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, N   R, k   S, k   .x. , k   .X. , k   .^ , k   .+ , k

Allowed substitution hint:   G( k)

Proof of Theorem crngbinom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 18558	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2		ringsrg 18589	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( R e. CRing -> R e. SRing )
4	3	adantr 481	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ N e. NN0 ) -> R e. SRing )
5		crngbinom.g	. . . . 5 |- G = (mulGrp ` R )
6	5	crngmgp 18555	. . . 4 |- ( R e. CRing -> G e. CMnd )
7	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ N e. NN0 ) -> G e. CMnd )
8		simpr 477	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
9	4, 7, 8	3jca 1242	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ N e. NN0 ) -> ( R e. SRing /\ G e. CMnd /\ N e. NN0 ) )
10		crngbinom.s	. . 3 |- S = ( Base ` R )
11		crngbinom.m	. . 3 |- .X. = ( .r ` R )
12		crngbinom.t	. . 3 |- .x. = (.g ` R )
13		crngbinom.a	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
14		crngbinom.e	. . 3 |- .^ = (.g ` G )
15	10, 11, 12, 13, 5, 14	csrgbinom 18546	. 2 |- ( ( ( R e. SRing /\ G e. CMnd /\ N e. NN0 ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) ) -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
16	9, 15	sylan 488	1 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. NN0 ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) ) -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   _C cbc 13089   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   gsum_g cgsu 16101  ._gcmg 17540  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489  SRingcsrg 18505   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550

This theorem is referenced by:  lply1binom  19676