Theorem derangsn 31152

Description: The derangement number of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
derang.d	|- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) )

Assertion

Ref	Expression
derangsn	|- ( A e. V -> ( D ` { A } ) = 0 )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   f, V

Allowed substitution hints:   D( x, y, f)   V( x, y)

Proof of Theorem derangsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8038	. . . 4 |- { A } e. Fin
2		derang.d	. . . . 5 |- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) )
3	2	derangval 31149	. . . 4 |- ( { A } e. Fin -> ( D ` { A } ) = ( # ` { f | ( f : { A } -1-1-onto-> { A } /\ A. y e. { A } ( f ` y ) =/= y ) } ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 |- ( D ` { A } ) = ( # ` { f | ( f : { A } -1-1-onto-> { A } /\ A. y e. { A } ( f ` y ) =/= y ) } )
5		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { A } -1-1-onto-> { A } -> f : { A } --> { A } )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : { A } -1-1-onto-> { A } /\ A. y e. { A } ( f ` y ) =/= y ) -> f : { A } --> { A } )
7		snidg 4206	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> A e. { A } )
8		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : { A } --> { A } /\ A e. { A } ) -> ( f ` A ) e. { A } )
9	6, 7, 8	syl2anr 495	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ ( f : { A } -1-1-onto-> { A } /\ A. y e. { A } ( f ` y ) =/= y ) ) -> ( f ` A ) e. { A } )
10		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : { A } -1-1-onto-> { A } /\ A. y e. { A } ( f ` y ) =/= y ) -> A. y e. { A } ( f ` y ) =/= y )
11		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = A -> ( f ` y ) = ( f ` A ) )
12		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = A -> y = A )
13	11, 12	neeq12d 2855	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( ( f ` y ) =/= y <-> ( f ` A ) =/= A ) )
14	13	rspcva 3307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. { A } /\ A. y e. { A } ( f ` y ) =/= y ) -> ( f ` A ) =/= A )
15	7, 10, 14	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ ( f : { A } -1-1-onto-> { A } /\ A. y e. { A } ( f ` y ) =/= y ) ) -> ( f ` A ) =/= A )
16		nelsn 4212	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` A ) =/= A -> -. ( f ` A ) e. { A } )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ ( f : { A } -1-1-onto-> { A } /\ A. y e. { A } ( f ` y ) =/= y ) ) -> -. ( f ` A ) e. { A } )
18	9, 17	pm2.21dd 186	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ ( f : { A } -1-1-onto-> { A } /\ A. y e. { A } ( f ` y ) =/= y ) ) -> f e. (/) )
19	18	ex 450	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( ( f : { A } -1-1-onto-> { A } /\ A. y e. { A } ( f ` y ) =/= y ) -> f e. (/) ) )
20	19	abssdv 3676	. . . . 5 |- ( A e. V -> { f | ( f : { A } -1-1-onto-> { A } /\ A. y e. { A } ( f ` y ) =/= y ) } C_ (/) )
21		ss0 3974	. . . . 5 |- ( { f | ( f : { A } -1-1-onto-> { A } /\ A. y e. { A } ( f ` y ) =/= y ) } C_ (/) -> { f | ( f : { A } -1-1-onto-> { A } /\ A. y e. { A } ( f ` y ) =/= y ) } = (/) )
22	20, 21	syl 17	. . . 4 |- ( A e. V -> { f | ( f : { A } -1-1-onto-> { A } /\ A. y e. { A } ( f ` y ) =/= y ) } = (/) )
23	22	fveq2d 6195	. . 3 |- ( A e. V -> ( # ` { f | ( f : { A } -1-1-onto-> { A } /\ A. y e. { A } ( f ` y ) =/= y ) } ) = ( # ` (/) ) )
24	4, 23	syl5eq 2668	. 2 |- ( A e. V -> ( D ` { A } ) = ( # ` (/) ) )
25		hash0 13158	. 2 |- ( # ` (/) ) = 0
26	24, 25	syl6eq 2672	1 |- ( A e. V -> ( D ` { A } ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Fincfn 7955   0cc0 9936   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  subfac1  31160