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Theorem derangenlem 31153
Description: One half of derangen 31154. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d |- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) )
Assertion
Ref Expression
derangenlem |- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> ( D ` A ) <_ ( D ` B ) )
Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y
Allowed substitution hints:   D( x, y, f)
Proof of Theorem derangenlem
Dummy variables g h s z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . 5 |- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> A ~~ B )
2 bren 7964 . . . . 5 |- ( A ~~ B <-> E. s s : A -1-1-onto-> B )
31, 2sylib 208 . . . 4 |- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> E. s s : A -1-1-onto-> B )
4 deranglem 31148 . . . . 5 |- ( B e. Fin -> { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin )
54adantl 482 . . . 4 |- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin )
6 f1oco 6159 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s : A -1-1-onto-> B /\ g : A -1-1-onto-> A ) -> ( s o. g ) : A -1-1-onto-> B )
76ad2ant2lr 784 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> ( s o. g ) : A -1-1-onto-> B )
8 f1ocnv 6149 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s : A -1-1-onto-> B -> `' s : B -1-1-onto-> A )
98ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> `' s : B -1-1-onto-> A )
10 f1oco 6159 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( s o. g ) : A -1-1-onto-> B /\ `' s : B -1-1-onto-> A ) -> ( ( s o. g ) o. `' s ) : B -1-1-onto-> B )
117, 9, 10syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> ( ( s o. g ) o. `' s ) : B -1-1-onto-> B )
12 coass 5654 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s o. g ) o. `' s ) = ( s o. ( g o. `' s ) )
1312fveq1i 6192 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` z ) = ( ( s o. ( g o. `' s ) ) ` z )
14 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> g : A -1-1-onto-> A )
15 f1oco 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ `' s : B -1-1-onto-> A ) -> ( g o. `' s ) : B -1-1-onto-> A )
1614, 9, 15syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> ( g o. `' s ) : B -1-1-onto-> A )
17 f1of 6137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g o. `' s ) : B -1-1-onto-> A -> ( g o. `' s ) : B --> A )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> ( g o. `' s ) : B --> A )
19 fvco3 6275 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g o. `' s ) : B --> A /\ z e. B ) -> ( ( s o. ( g o. `' s ) ) ` z ) = ( s ` ( ( g o. `' s ) ` z ) ) )
2018, 19sylan 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( ( s o. ( g o. `' s ) ) ` z ) = ( s ` ( ( g o. `' s ) ` z ) ) )
2113, 20syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` z ) = ( s ` ( ( g o. `' s ) ` z ) ) )
22 f1of 6137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' s : B -1-1-onto-> A -> `' s : B --> A )
239, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> `' s : B --> A )
24 fvco3 6275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' s : B --> A /\ z e. B ) -> ( ( g o. `' s ) ` z ) = ( g ` ( `' s ` z ) ) )
2523, 24sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( ( g o. `' s ) ` z ) = ( g ` ( `' s ` z ) ) )
2623ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( `' s ` z ) e. A )
27 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> A. y e. A ( g ` y ) =/= y )
28 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( `' s ` z ) -> ( g ` y ) = ( g ` ( `' s ` z ) ) )
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( `' s ` z ) -> y = ( `' s ` z ) )
3028, 29neeq12d 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( `' s ` z ) -> ( ( g ` y ) =/= y <-> ( g ` ( `' s ` z ) ) =/= ( `' s ` z ) ) )
3130rspcv 3305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' s ` z ) e. A -> ( A. y e. A ( g ` y ) =/= y -> ( g ` ( `' s ` z ) ) =/= ( `' s ` z ) ) )
3226, 27, 31sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( g ` ( `' s ` z ) ) =/= ( `' s ` z ) )
3325, 32eqnetrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( ( g o. `' s ) ` z ) =/= ( `' s ` z ) )
3433necomd 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( `' s ` z ) =/= ( ( g o. `' s ) ` z ) )
35 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> s : A -1-1-onto-> B )
3618ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( ( g o. `' s ) ` z ) e. A )
37 f1ocnvfv 6534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s : A -1-1-onto-> B /\ ( ( g o. `' s ) ` z ) e. A ) -> ( ( s ` ( ( g o. `' s ) ` z ) ) = z -> ( `' s ` z ) = ( ( g o. `' s ) ` z ) ) )
3835, 36, 37syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( ( s ` ( ( g o. `' s ) ` z ) ) = z -> ( `' s ` z ) = ( ( g o. `' s ) ` z ) ) )
3938necon3d 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( ( `' s ` z ) =/= ( ( g o. `' s ) ` z ) -> ( s ` ( ( g o. `' s ) ` z ) ) =/= z ) )
4034, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( s ` ( ( g o. `' s ) ` z ) ) =/= z )
4121, 40eqnetrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` z ) =/= z )
4241ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> A. z e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` z ) =/= z )
43 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` z ) = ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) )
44 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> z = y )
4543, 44neeq12d 2855 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` z ) =/= z <-> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y ) )
4645cbvralv 3171 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` z ) =/= z <-> A. y e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y )
4742, 46sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> A. y e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y )
4811, 47jca 554 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y ) )
4948ex 450 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y ) ) )
50 vex 3203 . . . . . . . . 9 |- g e. _V
51 f1oeq1 6127 . . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( f : A -1-1-onto-> A <-> g : A -1-1-onto-> A ) )
52 fveq1 6190 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f ` y ) = ( g ` y ) )
5352neeq1d 2853 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( f ` y ) =/= y <-> ( g ` y ) =/= y ) )
5453ralbidv 2986 . . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( A. y e. A ( f ` y ) =/= y <-> A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) )
5551, 54anbi12d 747 . . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) <-> ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) )
5650, 55elab 3350 . . . . . . . 8 |- ( g e. { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } <-> ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) )
57 vex 3203 . . . . . . . . . . 11 |- s e. _V
5857, 50coex 7118 . . . . . . . . . 10 |- ( s o. g ) e. _V
5957cnvex 7113 . . . . . . . . . 10 |- `' s e. _V
6058, 59coex 7118 . . . . . . . . 9 |- ( ( s o. g ) o. `' s ) e. _V
61 f1oeq1 6127 . . . . . . . . . 10 |- ( f = ( ( s o. g ) o. `' s ) -> ( f : B -1-1-onto-> B <-> ( ( s o. g ) o. `' s ) : B -1-1-onto-> B ) )
62 fveq1 6190 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( ( s o. g ) o. `' s ) -> ( f ` y ) = ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) )
6362neeq1d 2853 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( ( s o. g ) o. `' s ) -> ( ( f ` y ) =/= y <-> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y ) )
6463ralbidv 2986 . . . . . . . . . 10 |- ( f = ( ( s o. g ) o. `' s ) -> ( A. y e. B ( f ` y ) =/= y <-> A. y e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y ) )
6561, 64anbi12d 747 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( ( s o. g ) o. `' s ) -> ( ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) <-> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y ) ) )
6660, 65elab 3350 . . . . . . . 8 |- ( ( ( s o. g ) o. `' s ) e. { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } <-> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y ) )
6749, 56, 663imtr4g 285 . . . . . . 7 |- ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) -> ( g e. { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } -> ( ( s o. g ) o. `' s ) e. { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) )
68 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- h e. _V
69 f1oeq1 6127 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = h -> ( f : A -1-1-onto-> A <-> h : A -1-1-onto-> A ) )
70 fveq1 6190 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = h -> ( f ` y ) = ( h ` y ) )
7170neeq1d 2853 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = h -> ( ( f ` y ) =/= y <-> ( h ` y ) =/= y ) )
7271ralbidv 2986 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = h -> ( A. y e. A ( f ` y ) =/= y <-> A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) )
7369, 72anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 |- ( f = h -> ( ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) <-> ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) )
7468, 73elab 3350 . . . . . . . . 9 |- ( h e. { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } <-> ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) )
7556, 74anbi12i 733 . . . . . . . 8 |- ( ( g e. { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } /\ h e. { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ) <-> ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) )
768ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> `' s : B -1-1-onto-> A )
77 f1ofo 6144 . . . . . . . . . . . 12 |- ( `' s : B -1-1-onto-> A -> `' s : B -onto-> A )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> `' s : B -onto-> A )
797adantrr 753 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> ( s o. g ) : A -1-1-onto-> B )
80 f1ofn 6138 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s o. g ) : A -1-1-onto-> B -> ( s o. g ) Fn A )
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> ( s o. g ) Fn A )
82 simplr 792 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> s : A -1-1-onto-> B )
83 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> h : A -1-1-onto-> A )
84 f1oco 6159 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s : A -1-1-onto-> B /\ h : A -1-1-onto-> A ) -> ( s o. h ) : A -1-1-onto-> B )
8582, 83, 84syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> ( s o. h ) : A -1-1-onto-> B )
86 f1ofn 6138 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s o. h ) : A -1-1-onto-> B -> ( s o. h ) Fn A )
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> ( s o. h ) Fn A )
88 cocan2 6547 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' s : B -onto-> A /\ ( s o. g ) Fn A /\ ( s o. h ) Fn A ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) = ( ( s o. h ) o. `' s ) <-> ( s o. g ) = ( s o. h ) ) )
8978, 81, 87, 88syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) = ( ( s o. h ) o. `' s ) <-> ( s o. g ) = ( s o. h ) ) )
90 f1of1 6136 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s : A -1-1-onto-> B -> s : A -1-1-> B )
9190ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> s : A -1-1-> B )
92 simprll 802 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> g : A -1-1-onto-> A )
93 f1of 6137 . . . . . . . . . . . 12 |- ( g : A -1-1-onto-> A -> g : A --> A )
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> g : A --> A )
95 f1of 6137 . . . . . . . . . . . 12 |- ( h : A -1-1-onto-> A -> h : A --> A )
9683, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> h : A --> A )
97 cocan1 6546 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s : A -1-1-> B /\ g : A --> A /\ h : A --> A ) -> ( ( s o. g ) = ( s o. h ) <-> g = h ) )
9891, 94, 96, 97syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> ( ( s o. g ) = ( s o. h ) <-> g = h ) )
9989, 98bitrd 268 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) = ( ( s o. h ) o. `' s ) <-> g = h ) )
10099ex 450 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) = ( ( s o. h ) o. `' s ) <-> g = h ) ) )
10175, 100syl5bi 232 . . . . . . 7 |- ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( g e. { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } /\ h e. { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) = ( ( s o. h ) o. `' s ) <-> g = h ) ) )
10267, 101dom2d 7996 . . . . . 6 |- ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) -> ( { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin -> { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ~<_ { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) )
103102ex 450 . . . . 5 |- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> ( s : A -1-1-onto-> B -> ( { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin -> { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ~<_ { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) ) )
104103exlimdv 1861 . . . 4 |- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> ( E. s s : A -1-1-onto-> B -> ( { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin -> { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ~<_ { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) ) )
1053, 5, 104mp2d 49 . . 3 |- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ~<_ { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } )
106 enfii 8177 . . . . . 6 |- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )
107106ancoms 469 . . . . 5 |- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> A e. Fin )
108 deranglem 31148 . . . . 5 |- ( A e. Fin -> { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin )
109107, 108syl 17 . . . 4 |- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin )
110 hashdom 13168 . . . 4 |- ( ( { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin /\ { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin ) -> ( ( # ` { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ) <_ ( # ` { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) <-> { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ~<_ { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) )
111109, 5, 110syl2anc 693 . . 3 |- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> ( ( # ` { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ) <_ ( # ` { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) <-> { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ~<_ { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) )
112105, 111mpbird 247 . 2 |- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> ( # ` { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ) <_ ( # ` { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) )
113 derang.d . . . 4 |- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) )
114113derangval 31149 . . 3 |- ( A e. Fin -> ( D ` A ) = ( # ` { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ) )
115107, 114syl 17 . 2 |- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> ( D ` A ) = ( # ` { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ) )
116113derangval 31149 . . 3 |- ( B e. Fin -> ( D ` B ) = ( # ` { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) )
117116adantl 482 . 2 |- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> ( D ` B ) = ( # ` { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) )
118112, 115, 1173brtr4d 4685 1 |- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> ( D ` A ) <_ ( D ` B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   <_ cle 10075   #chash 13117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118
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