Theorem dfac12lem2 8966

Description: Lemma for dfac12 8971. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfac12.1	|- ( ph -> A e. On )
dfac12.3	|- ( ph -> F : ~P (har ` ( R1 ` A ) ) -1-1-> On )
dfac12.4	|- G = recs ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) )
dfac12.5	|- ( ph -> C e. On )
dfac12.h	|- H = ( `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) )
dfac12.6	|- ( ph -> C C_ A )
dfac12.8	|- ( ph -> A. z e. C ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On )

Assertion

Ref	Expression
dfac12lem2	|- ( ph -> ( G ` C ) : ( R1 ` C ) -1-1-> On )

Distinct variable groups:   y, z, A   x, y, z, C   x, G, y, z   ph, y, z   x, F, y, z   y, H, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   H( x)

Proof of Theorem dfac12lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac12.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- G = recs ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) )
2	1	tfr1 7493	. . . . . . . . . . . . 13 |- G Fn On
3		fnfun 5988	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G Fn On -> Fun G )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- Fun G
5		dfac12.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. On )
6		funimaexg 5975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun G /\ C e. On ) -> ( G " C ) e. _V )
7	4, 5, 6	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G " C ) e. _V )
8		uniexg 6955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G " C ) e. _V -> U. ( G " C ) e. _V )
9		rnexg 7098	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. ( G " C ) e. _V -> ran U. ( G " C ) e. _V )
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran U. ( G " C ) e. _V )
11		dfac12.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. z e. C ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On )
12		f1f 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On -> ( G ` z ) : ( R1 ` z ) --> On )
13		fssxp 6060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) --> On -> ( G ` z ) C_ ( ( R1 ` z ) X. On ) )
14		ssv 3625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R1 ` z ) C_ _V
15		xpss1 5228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R1 ` z ) C_ _V -> ( ( R1 ` z ) X. On ) C_ ( _V X. On ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R1 ` z ) X. On ) C_ ( _V X. On )
17		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( G ` z ) C_ ( ( R1 ` z ) X. On ) /\ ( ( R1 ` z ) X. On ) C_ ( _V X. On ) ) -> ( G ` z ) C_ ( _V X. On ) )
18	16, 17	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G ` z ) C_ ( ( R1 ` z ) X. On ) -> ( G ` z ) C_ ( _V X. On ) )
19		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( G ` z ) e. _V
20	19	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G ` z ) e. ~P ( _V X. On ) <-> ( G ` z ) C_ ( _V X. On ) )
21	18, 20	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G ` z ) C_ ( ( R1 ` z ) X. On ) -> ( G ` z ) e. ~P ( _V X. On ) )
22	12, 13, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On -> ( G ` z ) e. ~P ( _V X. On ) )
23	22	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. C ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On -> A. z e. C ( G ` z ) e. ~P ( _V X. On ) )
24	11, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. z e. C ( G ` z ) e. ~P ( _V X. On ) )
25		onss 6990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( C e. On -> C C_ On )
26	5, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> C C_ On )
27		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G Fn On -> dom G = On )
28	2, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom G = On
29	26, 28	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C C_ dom G )
30		funimass4 6247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun G /\ C C_ dom G ) -> ( ( G " C ) C_ ~P ( _V X. On ) <-> A. z e. C ( G ` z ) e. ~P ( _V X. On ) ) )
31	4, 29, 30	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( G " C ) C_ ~P ( _V X. On ) <-> A. z e. C ( G ` z ) e. ~P ( _V X. On ) ) )
32	24, 31	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G " C ) C_ ~P ( _V X. On ) )
33		sspwuni 4611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G " C ) C_ ~P ( _V X. On ) <-> U. ( G " C ) C_ ( _V X. On ) )
34	32, 33	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U. ( G " C ) C_ ( _V X. On ) )
35		rnss 5354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. ( G " C ) C_ ( _V X. On ) -> ran U. ( G " C ) C_ ran ( _V X. On ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran U. ( G " C ) C_ ran ( _V X. On ) )
37		rnxpss 5566	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( _V X. On ) C_ On
38	36, 37	syl6ss 3615	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran U. ( G " C ) C_ On )
39		ssonuni 6986	. . . . . . . . . 10 |- ( ran U. ( G " C ) e. _V -> ( ran U. ( G " C ) C_ On -> U. ran U. ( G " C ) e. On ) )
40	10, 38, 39	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U. ran U. ( G " C ) e. On )
41		suceloni 7013	. . . . . . . . 9 |- ( U. ran U. ( G " C ) e. On -> suc U. ran U. ( G " C ) e. On )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> suc U. ran U. ( G " C ) e. On )
43	42	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> suc U. ran U. ( G " C ) e. On )
44		rankon 8658	. . . . . . 7 |- ( rank ` y ) e. On
45		omcl 7616	. . . . . . 7 |- ( ( suc U. ran U. ( G " C ) e. On /\ ( rank ` y ) e. On ) -> ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) e. On )
46	43, 44, 45	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) e. On )
47		rankr1ai 8661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( R1 ` C ) -> ( rank ` y ) e. C )
48	47	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( rank ` y ) e. C )
49		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> C = U. C )
50	48, 49	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( rank ` y ) e. U. C )
51		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. On -> Ord C )
52	5, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Ord C )
53	52	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> Ord C )
54		ordsucuniel 7024	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord C -> ( ( rank ` y ) e. U. C <-> suc ( rank ` y ) e. C ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( rank ` y ) e. U. C <-> suc ( rank ` y ) e. C ) )
56	50, 55	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> suc ( rank ` y ) e. C )
57	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> A. z e. C ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On )
58		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = suc ( rank ` y ) -> ( G ` z ) = ( G ` suc ( rank ` y ) ) )
59		f1eq1 6096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` z ) = ( G ` suc ( rank ` y ) ) -> ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On ) )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = suc ( rank ` y ) -> ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On ) )
61		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = suc ( rank ` y ) -> ( R1 ` z ) = ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) )
62		f1eq2 6097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R1 ` z ) = ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On ) )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = suc ( rank ` y ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On ) )
64	60, 63	bitrd 268	. . . . . . . . . 10 |- ( z = suc ( rank ` y ) -> ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On ) )
65	64	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( suc ( rank ` y ) e. C -> ( A. z e. C ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On ) )
66	56, 57, 65	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On )
67		f1f 6101	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) --> On )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) --> On )
69		r1elwf 8659	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( R1 ` C ) -> y e. U. ( R1 " On ) )
70	69	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> y e. U. ( R1 " On ) )
71		rankidb 8663	. . . . . . . 8 |- ( y e. U. ( R1 " On ) -> y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) )
73	68, 72	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. On )
74		oacl 7615	. . . . . 6 |- ( ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) e. On /\ ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. On ) -> ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) e. On )
75	46, 73, 74	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) e. On )
76		dfac12.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ~P (har ` ( R1 ` A ) ) -1-1-> On )
77		f1f 6101	. . . . . . . 8 |- ( F : ~P (har ` ( R1 ` A ) ) -1-1-> On -> F : ~P (har ` ( R1 ` A ) ) --> On )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ~P (har ` ( R1 ` A ) ) --> On )
79	78	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> F : ~P (har ` ( R1 ` A ) ) --> On )
80		imassrn 5477	. . . . . . . 8 |- ( H " y ) C_ ran H
81		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G ` U. C ) e. _V
82	81	rnex 7100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( G ` U. C ) e. _V
83	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> C e. On )
84		onuni 6993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( C e. On -> U. C e. On )
85		sucidg 5803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U. C e. On -> U. C e. suc U. C )
86	83, 84, 85	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> U. C e. suc U. C )
87	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> Ord C )
88		orduniorsuc 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Ord C -> ( C = U. C \/ C = suc U. C ) )
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> ( C = U. C \/ C = suc U. C ) )
90	89	orcanai 952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> C = suc U. C )
91	86, 90	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> U. C e. C )
92	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> A. z e. C ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On )
93		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = U. C -> ( G ` z ) = ( G ` U. C ) )
94		f1eq1 6096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G ` z ) = ( G ` U. C ) -> ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` U. C ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On ) )
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = U. C -> ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` U. C ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On ) )
96		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = U. C -> ( R1 ` z ) = ( R1 ` U. C ) )
97		f1eq2 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R1 ` z ) = ( R1 ` U. C ) -> ( ( G ` U. C ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> On ) )
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = U. C -> ( ( G ` U. C ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> On ) )
99	95, 98	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = U. C -> ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> On ) )
100	99	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U. C e. C -> ( A. z e. C ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On -> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> On ) )
101	91, 92, 100	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> On )
102		f1f 6101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> On -> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) --> On )
103		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) --> On -> ran ( G ` U. C ) C_ On )
104	101, 102, 103	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ran ( G ` U. C ) C_ On )
105		epweon 6983	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _E We On
106		wess 5101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran ( G ` U. C ) C_ On -> ( _E We On -> _E We ran ( G ` U. C ) ) )
107	104, 105, 106	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> _E We ran ( G ` U. C ) )
108		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) = OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) )
109	108	oiiso 8442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ran ( G ` U. C ) e. _V /\ _E We ran ( G ` U. C ) ) -> OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) Isom _E , _E ( dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) , ran ( G ` U. C ) ) )
110	82, 107, 109	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) Isom _E , _E ( dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) , ran ( G ` U. C ) ) )
111		isof1o 6573	. . . . . . . . . . . . 13 |- (OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) Isom _E , _E ( dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) , ran ( G ` U. C ) ) -> OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) : dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) -1-1-onto-> ran ( G ` U. C ) )
112		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . 13 |- (OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) : dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) -1-1-onto-> ran ( G ` U. C ) -> `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) : ran ( G ` U. C ) -1-1-onto-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) )
113		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) : ran ( G ` U. C ) -1-1-onto-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) -> `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) : ran ( G ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) )
114	110, 111, 112, 113	4syl 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) : ran ( G ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) )
115		f1f1orn 6148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> On -> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-onto-> ran ( G ` U. C ) )
116		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-onto-> ran ( G ` U. C ) -> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> ran ( G ` U. C ) )
117	101, 115, 116	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> ran ( G ` U. C ) )
118		f1co 6110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) : ran ( G ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) /\ ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> ran ( G ` U. C ) ) -> ( `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) )
119	114, 117, 118	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) )
120		dfac12.h	. . . . . . . . . . . 12 |- H = ( `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) )
121		f1eq1 6096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H = ( `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) ) -> ( H : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) <-> ( `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ) )
122	120, 121	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) <-> ( `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) )
123	119, 122	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> H : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) )
124		f1f 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( H : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) -> H : ( R1 ` U. C ) --> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) )
125		frn 6053	. . . . . . . . . 10 |- ( H : ( R1 ` U. C ) --> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) -> ran H C_ dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) )
126	123, 124, 125	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ran H C_ dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) )
127		harcl 8466	. . . . . . . . . . 11 |- (har ` ( R1 ` A ) ) e. On
128	127	onordi 5832	. . . . . . . . . 10 |- Ord (har ` ( R1 ` A ) )
129	108	oion 8441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran ( G ` U. C ) e. _V -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) e. On )
130	82, 129	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) e. On )
131	108	oien 8443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ran ( G ` U. C ) e. _V /\ _E We ran ( G ` U. C ) ) -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ~~ ran ( G ` U. C ) )
132	82, 107, 131	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ~~ ran ( G ` U. C ) )
133		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R1 ` U. C ) e. _V
134	133	f1oen 7976	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-onto-> ran ( G ` U. C ) -> ( R1 ` U. C ) ~~ ran ( G ` U. C ) )
135		ensym 8005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R1 ` U. C ) ~~ ran ( G ` U. C ) -> ran ( G ` U. C ) ~~ ( R1 ` U. C ) )
136	101, 115, 134, 135	4syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ran ( G ` U. C ) ~~ ( R1 ` U. C ) )
137		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R1 ` A ) e. _V
138		dfac12.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. On )
139	138	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> A e. On )
140		dfac12.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> C C_ A )
141	140	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> C C_ A )
142	141, 91	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> U. C e. A )
143		r1ord2 8644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. On -> ( U. C e. A -> ( R1 ` U. C ) C_ ( R1 ` A ) ) )
144	139, 142, 143	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( R1 ` U. C ) C_ ( R1 ` A ) )
145		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R1 ` A ) e. _V -> ( ( R1 ` U. C ) C_ ( R1 ` A ) -> ( R1 ` U. C ) ~<_ ( R1 ` A ) ) )
146	137, 144, 145	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( R1 ` U. C ) ~<_ ( R1 ` A ) )
147		endomtr 8014	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ran ( G ` U. C ) ~~ ( R1 ` U. C ) /\ ( R1 ` U. C ) ~<_ ( R1 ` A ) ) -> ran ( G ` U. C ) ~<_ ( R1 ` A ) )
148	136, 146, 147	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ran ( G ` U. C ) ~<_ ( R1 ` A ) )
149		endomtr 8014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ~~ ran ( G ` U. C ) /\ ran ( G ` U. C ) ~<_ ( R1 ` A ) ) -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ~<_ ( R1 ` A ) )
150	132, 148, 149	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ~<_ ( R1 ` A ) )
151		elharval 8468	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) e. (har ` ( R1 ` A ) ) <-> ( dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) e. On /\ dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ~<_ ( R1 ` A ) ) )
152	130, 150, 151	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) e. (har ` ( R1 ` A ) ) )
153		ordelss 5739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord (har ` ( R1 ` A ) ) /\ dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) e. (har ` ( R1 ` A ) ) ) -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) C_ (har ` ( R1 ` A ) ) )
154	128, 152, 153	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) C_ (har ` ( R1 ` A ) ) )
155	126, 154	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ran H C_ (har ` ( R1 ` A ) ) )
156	80, 155	syl5ss 3614	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( H " y ) C_ (har ` ( R1 ` A ) ) )
157		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- (har ` ( R1 ` A ) ) e. _V
158	157	elpw2 4828	. . . . . . 7 |- ( ( H " y ) e. ~P (har ` ( R1 ` A ) ) <-> ( H " y ) C_ (har ` ( R1 ` A ) ) )
159	156, 158	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( H " y ) e. ~P (har ` ( R1 ` A ) ) )
160	79, 159	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( F ` ( H " y ) ) e. On )
161	75, 160	ifclda 4120	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) e. On )
162	161	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( R1 ` C ) -> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) e. On ) )
163		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( C = U. C -> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) )
164		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( C = U. C -> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) = ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) )
165	163, 164	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( C = U. C -> ( if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) <-> ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) = ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) ) )
166	165	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) <-> ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) = ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) ) )
167	42	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> suc U. ran U. ( G " C ) e. On )
168		nsuceq0 5805	. . . . . . . 8 |- suc U. ran U. ( G " C ) =/= (/)
169	168	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> suc U. ran U. ( G " C ) =/= (/) )
170	44	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( rank ` y ) e. On )
171		onsucuni 7028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran U. ( G " C ) C_ On -> ran U. ( G " C ) C_ suc U. ran U. ( G " C ) )
172	38, 171	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran U. ( G " C ) C_ suc U. ran U. ( G " C ) )
173	172	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ran U. ( G " C ) C_ suc U. ran U. ( G " C ) )
174	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> G Fn On )
175	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> C C_ On )
176		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G Fn On /\ C C_ On /\ suc ( rank ` y ) e. C ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) e. ( G " C ) )
177	174, 175, 56, 176	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) e. ( G " C ) )
178		elssuni 4467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) e. ( G " C ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) C_ U. ( G " C ) )
179		rnss 5354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) C_ U. ( G " C ) -> ran ( G ` suc ( rank ` y ) ) C_ ran U. ( G " C ) )
180	177, 178, 179	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ran ( G ` suc ( rank ` y ) ) C_ ran U. ( G " C ) )
181		f1fn 6102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) Fn ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) )
182	66, 181	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) Fn ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) )
183		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) Fn ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) /\ y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. ran ( G ` suc ( rank ` y ) ) )
184	182, 72, 183	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. ran ( G ` suc ( rank ` y ) ) )
185	180, 184	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. ran U. ( G " C ) )
186	173, 185	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. suc U. ran U. ( G " C ) )
187	186	adantlrr 757	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. suc U. ran U. ( G " C ) )
188		rankon 8658	. . . . . . . 8 |- ( rank ` z ) e. On
189	188	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( rank ` z ) e. On )
190		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y e. ( R1 ` C ) <-> z e. ( R1 ` C ) ) )
191	190	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) <-> ( ph /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) )
192	191	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) <-> ( ( ph /\ z e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) ) )
193		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( rank ` y ) = ( rank ` z ) )
194		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( rank ` y ) = ( rank ` z ) -> suc ( rank ` y ) = suc ( rank ` z ) )
195	193, 194	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> suc ( rank ` y ) = suc ( rank ` z ) )
196	195	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) = ( G ` suc ( rank ` z ) ) )
197		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> y = z )
198	196, 197	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) )
199	198	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. suc U. ran U. ( G " C ) <-> ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) e. suc U. ran U. ( G " C ) ) )
200	192, 199	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. suc U. ran U. ( G " C ) ) <-> ( ( ( ph /\ z e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) e. suc U. ran U. ( G " C ) ) ) )
201	200, 186	chvarv 2263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) e. suc U. ran U. ( G " C ) )
202	201	adantlrl 756	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) e. suc U. ran U. ( G " C ) )
203		omopth2 7664	. . . . . . 7 |- ( ( ( suc U. ran U. ( G " C ) e. On /\ suc U. ran U. ( G " C ) =/= (/) ) /\ ( ( rank ` y ) e. On /\ ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. suc U. ran U. ( G " C ) ) /\ ( ( rank ` z ) e. On /\ ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) e. suc U. ran U. ( G " C ) ) ) -> ( ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) = ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) <-> ( ( rank ` y ) = ( rank ` z ) /\ ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) ) )
204	167, 169, 170, 187, 189, 202, 203	syl222anc 1342	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) = ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) <-> ( ( rank ` y ) = ( rank ` z ) /\ ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) ) )
205	194	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> suc ( rank ` y ) = suc ( rank ` z ) )
206	205	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) = ( G ` suc ( rank ` z ) ) )
207	206	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` z ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) )
208	207	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> ( ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` z ) <-> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) )
209	66	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On )
210	209	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On )
211	72	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) )
212	211	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) )
213		r1elwf 8659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( R1 ` C ) -> z e. U. ( R1 " On ) )
214		rankidb 8663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. U. ( R1 " On ) -> z e. ( R1 ` suc ( rank ` z ) ) )
215	213, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( R1 ` C ) -> z e. ( R1 ` suc ( rank ` z ) ) )
216	215	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) -> z e. ( R1 ` suc ( rank ` z ) ) )
217	216	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> z e. ( R1 ` suc ( rank ` z ) ) )
218	205	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) = ( R1 ` suc ( rank ` z ) ) )
219	217, 218	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> z e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) )
220		f1fveq 6519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On /\ ( y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) /\ z e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) ) ) -> ( ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` z ) <-> y = z ) )
221	210, 212, 219, 220	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> ( ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` z ) <-> y = z ) )
222	208, 221	bitr3d 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> ( ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) <-> y = z ) )
223	222	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> ( ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) -> y = z ) )
224	223	expimpd 629	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( ( rank ` y ) = ( rank ` z ) /\ ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) -> y = z ) )
225	193, 198	jca 554	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( rank ` y ) = ( rank ` z ) /\ ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) )
226	224, 225	impbid1 215	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( ( rank ` y ) = ( rank ` z ) /\ ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) <-> y = z ) )
227	166, 204, 226	3bitrd 294	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) <-> y = z ) )
228		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. C = U. C -> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = ( F ` ( H " y ) ) )
229		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. C = U. C -> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) = ( F ` ( H " z ) ) )
230	228, 229	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( -. C = U. C -> ( if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) <-> ( F ` ( H " y ) ) = ( F ` ( H " z ) ) ) )
231	230	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) <-> ( F ` ( H " y ) ) = ( F ` ( H " z ) ) ) )
232	76	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> F : ~P (har ` ( R1 ` A ) ) -1-1-> On )
233	159	adantlrr 757	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( H " y ) e. ~P (har ` ( R1 ` A ) ) )
234	191	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) <-> ( ( ph /\ z e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) ) )
235		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( H " y ) = ( H " z ) )
236	235	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( ( H " y ) e. ~P (har ` ( R1 ` A ) ) <-> ( H " z ) e. ~P (har ` ( R1 ` A ) ) ) )
237	234, 236	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( H " y ) e. ~P (har ` ( R1 ` A ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ z e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( H " z ) e. ~P (har ` ( R1 ` A ) ) ) ) )
238	237, 159	chvarv 2263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( H " z ) e. ~P (har ` ( R1 ` A ) ) )
239	238	adantlrl 756	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( H " z ) e. ~P (har ` ( R1 ` A ) ) )
240		f1fveq 6519	. . . . . . 7 |- ( ( F : ~P (har ` ( R1 ` A ) ) -1-1-> On /\ ( ( H " y ) e. ~P (har ` ( R1 ` A ) ) /\ ( H " z ) e. ~P (har ` ( R1 ` A ) ) ) ) -> ( ( F ` ( H " y ) ) = ( F ` ( H " z ) ) <-> ( H " y ) = ( H " z ) ) )
241	232, 233, 239, 240	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( ( F ` ( H " y ) ) = ( F ` ( H " z ) ) <-> ( H " y ) = ( H " z ) ) )
242	123	adantlrr 757	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> H : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) )
243		simplrl 800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> y e. ( R1 ` C ) )
244	90	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( R1 ` C ) = ( R1 ` suc U. C ) )
245		r1suc 8633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. C e. On -> ( R1 ` suc U. C ) = ~P ( R1 ` U. C ) )
246	83, 84, 245	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( R1 ` suc U. C ) = ~P ( R1 ` U. C ) )
247	244, 246	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( R1 ` C ) = ~P ( R1 ` U. C ) )
248	247	adantlrr 757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( R1 ` C ) = ~P ( R1 ` U. C ) )
249	243, 248	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> y e. ~P ( R1 ` U. C ) )
250	249	elpwid 4170	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> y C_ ( R1 ` U. C ) )
251		simplrr 801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> z e. ( R1 ` C ) )
252	251, 248	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> z e. ~P ( R1 ` U. C ) )
253	252	elpwid 4170	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> z C_ ( R1 ` U. C ) )
254		f1imaeq 6522	. . . . . . 7 |- ( ( H : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) /\ ( y C_ ( R1 ` U. C ) /\ z C_ ( R1 ` U. C ) ) ) -> ( ( H " y ) = ( H " z ) <-> y = z ) )
255	242, 250, 253, 254	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( ( H " y ) = ( H " z ) <-> y = z ) )
256	231, 241, 255	3bitrd 294	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) <-> y = z ) )
257	227, 256	pm2.61dan 832	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) -> ( if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) <-> y = z ) )
258	257	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) -> ( if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) <-> y = z ) ) )
259	162, 258	dom2lem 7995	. 2 |- ( ph -> ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) : ( R1 ` C ) -1-1-> On )
260	138, 76, 1, 5, 120	dfac12lem1 8965	. . 3 |- ( ph -> ( G ` C ) = ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) )
261		f1eq1 6096	. . 3 |- ( ( G ` C ) = ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) -> ( ( G ` C ) : ( R1 ` C ) -1-1-> On <-> ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) : ( R1 ` C ) -1-1-> On ) )
262	260, 261	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` C ) : ( R1 ` C ) -1-1-> On <-> ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) : ( R1 ` C ) -1-1-> On ) )
263	259, 262	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( G ` C ) : ( R1 ` C ) -1-1-> On )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   We wwe 5072   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650  recscrecs 7467   +o coa 7557   .o comu 7558   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953  OrdIsocoi 8414  harchar 8461   R1cr1 8625   rankcrnk 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-oi 8415  df-har 8463  df-r1 8627  df-rank 8628

This theorem is referenced by:  dfac12lem3  8967