Theorem dfac12lem3 8967

Description: Lemma for dfac12 8971. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfac12.1	|- ( ph -> A e. On )
dfac12.3	|- ( ph -> F : ~P (har ` ( R1 ` A ) ) -1-1-> On )
dfac12.4	|- G = recs ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dfac12lem3	|- ( ph -> ( R1 ` A ) e. dom card )

Distinct variable groups:   y, A   x, y, G   ph, y   x, F, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)

Proof of Theorem dfac12lem3

Dummy variables m n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . . 4 |- ( G ` A ) e. _V
2	1	rnex 7100	. . 3 |- ran ( G ` A ) e. _V
3		ssid 3624	. . . . 5 |- A C_ A
4		dfac12.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. On )
5		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( m C_ A <-> n C_ A ) )
6		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( G ` m ) = ( G ` n ) )
7		f1eq1 6096	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` m ) = ( G ` n ) -> ( ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On <-> ( G ` n ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On ) )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On <-> ( G ` n ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On ) )
9		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( R1 ` m ) = ( R1 ` n ) )
10		f1eq2 6097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R1 ` m ) = ( R1 ` n ) -> ( ( G ` n ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On <-> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ( G ` n ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On <-> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) )
12	8, 11	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On <-> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) )
13	5, 12	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( m C_ A -> ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On ) <-> ( n C_ A -> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) ) )
14	13	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( ph -> ( m C_ A -> ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On ) ) <-> ( ph -> ( n C_ A -> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) ) ) )
15		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( m = A -> ( m C_ A <-> A C_ A ) )
16		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = A -> ( G ` m ) = ( G ` A ) )
17		f1eq1 6096	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` m ) = ( G ` A ) -> ( ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On <-> ( G ` A ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( m = A -> ( ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On <-> ( G ` A ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = A -> ( R1 ` m ) = ( R1 ` A ) )
20		f1eq2 6097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R1 ` m ) = ( R1 ` A ) -> ( ( G ` A ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On <-> ( G ` A ) : ( R1 ` A ) -1-1-> On ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( m = A -> ( ( G ` A ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On <-> ( G ` A ) : ( R1 ` A ) -1-1-> On ) )
22	18, 21	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( m = A -> ( ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On <-> ( G ` A ) : ( R1 ` A ) -1-1-> On ) )
23	15, 22	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( m = A -> ( ( m C_ A -> ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On ) <-> ( A C_ A -> ( G ` A ) : ( R1 ` A ) -1-1-> On ) ) )
24	23	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( m = A -> ( ( ph -> ( m C_ A -> ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> ( G ` A ) : ( R1 ` A ) -1-1-> On ) ) ) )
25		r19.21v 2960	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. m ( ph -> ( n C_ A -> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) ) <-> ( ph -> A. n e. m ( n C_ A -> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) ) )
26		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. On -> Ord m )
27	26	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. On /\ m C_ A ) ) -> Ord m )
28		ordelss 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Ord m /\ n e. m ) -> n C_ m )
29	27, 28	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. On /\ m C_ A ) ) /\ n e. m ) -> n C_ m )
30		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. On /\ m C_ A ) ) /\ n e. m ) -> m C_ A )
31	29, 30	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. On /\ m C_ A ) ) /\ n e. m ) -> n C_ A )
32		pm5.5 351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n C_ A -> ( ( n C_ A -> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) <-> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. On /\ m C_ A ) ) /\ n e. m ) -> ( ( n C_ A -> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) <-> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) )
34	33	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. On /\ m C_ A ) ) -> ( A. n e. m ( n C_ A -> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) <-> A. n e. m ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) )
35	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. On /\ m C_ A ) ) /\ A. n e. m ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) -> A e. On )
36		dfac12.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : ~P (har ` ( R1 ` A ) ) -1-1-> On )
37	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. On /\ m C_ A ) ) /\ A. n e. m ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) -> F : ~P (har ` ( R1 ` A ) ) -1-1-> On )
38		dfac12.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- G = recs ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) )
39		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. On /\ m C_ A ) ) /\ A. n e. m ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) -> m e. On )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. m ) ) o. ( G ` U. m ) ) = ( `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. m ) ) o. ( G ` U. m ) )
41		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. On /\ m C_ A ) ) /\ A. n e. m ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) -> m C_ A )
42		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. On /\ m C_ A ) ) /\ A. n e. m ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) -> A. n e. m ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = z -> ( G ` n ) = ( G ` z ) )
44		f1eq1 6096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G ` n ) = ( G ` z ) -> ( ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On <-> ( G ` z ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = z -> ( ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On <-> ( G ` z ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = z -> ( R1 ` n ) = ( R1 ` z ) )
47		f1eq2 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R1 ` n ) = ( R1 ` z ) -> ( ( G ` z ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On <-> ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = z -> ( ( G ` z ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On <-> ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On ) )
49	45, 48	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = z -> ( ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On <-> ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On ) )
50	49	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. n e. m ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On <-> A. z e. m ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On )
51	42, 50	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. On /\ m C_ A ) ) /\ A. n e. m ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) -> A. z e. m ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On )
52	35, 37, 38, 39, 40, 41, 51	dfac12lem2 8966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. On /\ m C_ A ) ) /\ A. n e. m ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) -> ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On )
53	52	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. On /\ m C_ A ) ) -> ( A. n e. m ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On -> ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On ) )
54	34, 53	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. On /\ m C_ A ) ) -> ( A. n e. m ( n C_ A -> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) -> ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On ) )
55	54	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. On ) -> ( m C_ A -> ( A. n e. m ( n C_ A -> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) -> ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On ) ) )
56	55	com23 86	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. On ) -> ( A. n e. m ( n C_ A -> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) -> ( m C_ A -> ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On ) ) )
57	56	expcom 451	. . . . . . . . 9 |- ( m e. On -> ( ph -> ( A. n e. m ( n C_ A -> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) -> ( m C_ A -> ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On ) ) ) )
58	57	a2d 29	. . . . . . . 8 |- ( m e. On -> ( ( ph -> A. n e. m ( n C_ A -> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) ) -> ( ph -> ( m C_ A -> ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On ) ) ) )
59	25, 58	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( m e. On -> ( A. n e. m ( ph -> ( n C_ A -> ( G ` n ) : ( R1 ` n ) -1-1-> On ) ) -> ( ph -> ( m C_ A -> ( G ` m ) : ( R1 ` m ) -1-1-> On ) ) ) )
60	14, 24, 59	tfis3 7057	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( ph -> ( A C_ A -> ( G ` A ) : ( R1 ` A ) -1-1-> On ) ) )
61	4, 60	mpcom 38	. . . . 5 |- ( ph -> ( A C_ A -> ( G ` A ) : ( R1 ` A ) -1-1-> On ) )
62	3, 61	mpi 20	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` A ) : ( R1 ` A ) -1-1-> On )
63		f1f 6101	. . . 4 |- ( ( G ` A ) : ( R1 ` A ) -1-1-> On -> ( G ` A ) : ( R1 ` A ) --> On )
64		frn 6053	. . . 4 |- ( ( G ` A ) : ( R1 ` A ) --> On -> ran ( G ` A ) C_ On )
65	62, 63, 64	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> ran ( G ` A ) C_ On )
66		onssnum 8863	. . 3 |- ( ( ran ( G ` A ) e. _V /\ ran ( G ` A ) C_ On ) -> ran ( G ` A ) e. dom card )
67	2, 65, 66	sylancr 695	. 2 |- ( ph -> ran ( G ` A ) e. dom card )
68		f1f1orn 6148	. . . 4 |- ( ( G ` A ) : ( R1 ` A ) -1-1-> On -> ( G ` A ) : ( R1 ` A ) -1-1-onto-> ran ( G ` A ) )
69	62, 68	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( G ` A ) : ( R1 ` A ) -1-1-onto-> ran ( G ` A ) )
70		fvex 6201	. . . 4 |- ( R1 ` A ) e. _V
71	70	f1oen 7976	. . 3 |- ( ( G ` A ) : ( R1 ` A ) -1-1-onto-> ran ( G ` A ) -> ( R1 ` A ) ~~ ran ( G ` A ) )
72		ennum 8773	. . 3 |- ( ( R1 ` A ) ~~ ran ( G ` A ) -> ( ( R1 ` A ) e. dom card <-> ran ( G ` A ) e. dom card ) )
73	69, 71, 72	3syl 18	. 2 |- ( ph -> ( ( R1 ` A ) e. dom card <-> ran ( G ` A ) e. dom card ) )
74	67, 73	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( R1 ` A ) e. dom card )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  recscrecs 7467   +o coa 7557   .o comu 7558   ~~ cen 7952  OrdIsocoi 8414  harchar 8461   R1cr1 8625   rankcrnk 8626   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-oi 8415  df-har 8463  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765

This theorem is referenced by:  dfac12r  8968