Theorem diag1cl 16882

Description: The constant functor of X is a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
diagval.l	|- L = ( CΔfunc D )
diagval.c	|- ( ph -> C e. Cat )
diagval.d	|- ( ph -> D e. Cat )
diag11.a	|- A = ( Base ` C )
diag11.c	|- ( ph -> X e. A )
diag11.k	|- K = ( ( 1st ` L ) ` X )

Assertion

Ref	Expression
diag1cl	|- ( ph -> K e. ( D Func C ) )

Proof of Theorem diag1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag11.k	. 2 |- K = ( ( 1st ` L ) ` X )
2		diag11.a	. . . 4 |- A = ( Base ` C )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( D FuncCat C ) = ( D FuncCat C )
4	3	fucbas 16620	. . . 4 |- ( D Func C ) = ( Base ` ( D FuncCat C ) )
5		relfunc 16522	. . . . 5 |- Rel ( C Func ( D FuncCat C ) )
6		diagval.l	. . . . . 6 |- L = ( CΔfunc D )
7		diagval.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. Cat )
8		diagval.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. Cat )
9	6, 7, 8, 3	diagcl 16881	. . . . 5 |- ( ph -> L e. ( C Func ( D FuncCat C ) ) )
10		1st2ndbr 7217	. . . . 5 |- ( ( Rel ( C Func ( D FuncCat C ) ) /\ L e. ( C Func ( D FuncCat C ) ) ) -> ( 1st ` L ) ( C Func ( D FuncCat C ) ) ( 2nd ` L ) )
11	5, 9, 10	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( 1st ` L ) ( C Func ( D FuncCat C ) ) ( 2nd ` L ) )
12	2, 4, 11	funcf1 16526	. . 3 |- ( ph -> ( 1st ` L ) : A --> ( D Func C ) )
13		diag11.c	. . 3 |- ( ph -> X e. A )
14	12, 13	ffvelrnd 6360	. 2 |- ( ph -> ( ( 1st ` L ) ` X ) e. ( D Func C ) )
15	1, 14	syl5eqel 2705	1 |- ( ph -> K e. ( D Func C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   Rel wrel 5119   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   Basecbs 15857   Catccat 16325   Func cfunc 16514   FuncCat cfuc 16602  Δ_funccdiag 16852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-hom 15966  df-cco 15967  df-cat 16329  df-cid 16330  df-func 16518  df-nat 16603  df-fuc 16604  df-xpc 16812  df-1stf 16813  df-curf 16854  df-diag 16856

This theorem is referenced by:  curf2ndf  16887