Theorem dvdslelem 15031

Description: Lemma for dvdsle 15032. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelem.1	|- M e. ZZ
dvdslelem.2	|- N e. NN
dvdslelem.3	|- K e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
dvdslelem	|- ( N < M -> ( K x. M ) =/= N )

Proof of Theorem dvdslelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelem.3	. . . . . 6 |- K e. ZZ
2	1	zrei 11383	. . . . 5 |- K e. RR
3		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
4		lelttric 10144	. . . . 5 |- ( ( K e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( K <_ 0 \/ 0 < K ) )
5	2, 3, 4	mp2an 708	. . . 4 |- ( K <_ 0 \/ 0 < K )
6		zgt0ge1 11431	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( 0 < K <-> 1 <_ K ) )
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 0 < K <-> 1 <_ K )
8	7	orbi2i 541	. . . 4 |- ( ( K <_ 0 \/ 0 < K ) <-> ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) )
9	5, 8	mpbi 220	. . 3 |- ( K <_ 0 \/ 1 <_ K )
10		le0neg1 10536	. . . . . . . . 9 |- ( K e. RR -> ( K <_ 0 <-> 0 <_ -u K ) )
11	2, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( K <_ 0 <-> 0 <_ -u K )
12		dvdslelem.2	. . . . . . . . . . . 12 |- N e. NN
13	12	nngt0i 11054	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < N
14	12	nnrei 11029	. . . . . . . . . . . 12 |- N e. RR
15		dvdslelem.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- M e. ZZ
16	15	zrei 11383	. . . . . . . . . . . 12 |- M e. RR
17	3, 14, 16	lttri 10163	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 < N /\ N < M ) -> 0 < M )
18	13, 17	mpan 706	. . . . . . . . . 10 |- ( N < M -> 0 < M )
19	3, 16	ltlei 10159	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 < M -> 0 <_ M )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( N < M -> 0 <_ M )
21	2	renegcli 10342	. . . . . . . . . 10 |- -u K e. RR
22	21, 16	mulge0i 10575	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 <_ -u K /\ 0 <_ M ) -> 0 <_ ( -u K x. M ) )
23	20, 22	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 <_ -u K /\ N < M ) -> 0 <_ ( -u K x. M ) )
24	11, 23	sylanb 489	. . . . . . 7 |- ( ( K <_ 0 /\ N < M ) -> 0 <_ ( -u K x. M ) )
25	24	expcom 451	. . . . . 6 |- ( N < M -> ( K <_ 0 -> 0 <_ ( -u K x. M ) ) )
26	2, 16	remulcli 10054	. . . . . . . 8 |- ( K x. M ) e. RR
27		le0neg1 10536	. . . . . . . 8 |- ( ( K x. M ) e. RR -> ( ( K x. M ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( K x. M ) ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( K x. M ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( K x. M ) )
29	2	recni 10052	. . . . . . . . 9 |- K e. CC
30	16	recni 10052	. . . . . . . . 9 |- M e. CC
31	29, 30	mulneg1i 10476	. . . . . . . 8 |- ( -u K x. M ) = -u ( K x. M )
32	31	breq2i 4661	. . . . . . 7 |- ( 0 <_ ( -u K x. M ) <-> 0 <_ -u ( K x. M ) )
33	28, 32	bitr4i 267	. . . . . 6 |- ( ( K x. M ) <_ 0 <-> 0 <_ ( -u K x. M ) )
34	25, 33	syl6ibr 242	. . . . 5 |- ( N < M -> ( K <_ 0 -> ( K x. M ) <_ 0 ) )
35	26, 3, 14	lelttri 10164	. . . . . 6 |- ( ( ( K x. M ) <_ 0 /\ 0 < N ) -> ( K x. M ) < N )
36	13, 35	mpan2 707	. . . . 5 |- ( ( K x. M ) <_ 0 -> ( K x. M ) < N )
37	34, 36	syl6 35	. . . 4 |- ( N < M -> ( K <_ 0 -> ( K x. M ) < N ) )
38		lemulge12 10886	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. RR /\ K e. RR ) /\ ( 0 <_ M /\ 1 <_ K ) ) -> M <_ ( K x. M ) )
39	16, 2, 38	mpanl12 718	. . . . . . 7 |- ( ( 0 <_ M /\ 1 <_ K ) -> M <_ ( K x. M ) )
40	20, 39	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( N < M /\ 1 <_ K ) -> M <_ ( K x. M ) )
41	40	ex 450	. . . . 5 |- ( N < M -> ( 1 <_ K -> M <_ ( K x. M ) ) )
42	14, 16, 26	ltletri 10165	. . . . . 6 |- ( ( N < M /\ M <_ ( K x. M ) ) -> N < ( K x. M ) )
43	42	ex 450	. . . . 5 |- ( N < M -> ( M <_ ( K x. M ) -> N < ( K x. M ) ) )
44	41, 43	syld 47	. . . 4 |- ( N < M -> ( 1 <_ K -> N < ( K x. M ) ) )
45	37, 44	orim12d 883	. . 3 |- ( N < M -> ( ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) -> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) ) )
46	9, 45	mpi 20	. 2 |- ( N < M -> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) )
47	26, 14	lttri2i 10151	. 2 |- ( ( K x. M ) =/= N <-> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) )
48	46, 47	sylibr 224	1 |- ( N < M -> ( K x. M ) =/= N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   NNcn 11020   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  dvdsle  15032