Theorem lelttric 10144

Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lelttric	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B \/ B < A ) )

Proof of Theorem lelttric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 433	. 2 |- ( -. B < A \/ B < A )
2		lenlt 10116	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
3	2	orbi1d 739	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B \/ B < A ) <-> ( -. B < A \/ B < A ) ) )
4	1, 3	mpbiri 248	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B \/ B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-xr 10078  df-le 10080

This theorem is referenced by:  ltlecasei  10145  fzsplit2  12366  uzsplit  12412  fzospliti  12500  fzouzsplit  12503  discr1  13000  faclbnd  13077  faclbnd4lem1  13080  faclbnd4lem4  13083  dvdslelem  15031  dvdsprmpweqle  15590  icccmplem2  22626  icccmp  22628  bcmono  25002  bpos1lem  25007  bposlem3  25011  bpos  25018  fzsplit3  29553  submateq  29875  lzunuz  37331  jm2.24  37530  iccpartnel  41374  bgoldbtbnd  41697  tgoldbach  41705  tgoldbachOLD  41712