Theorem dvdsrtr 18652

Description: Divisibility is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	|- B = ( Base ` R )
dvdsr.2	|- .|| = ( ||r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvdsrtr	|- ( ( R e. Ring /\ Y .|| Z /\ Z .|| X ) -> Y .|| X )

Proof of Theorem dvdsrtr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr.1	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
2		dvdsr.2	. . . . . 6 |- .|| = ( ||r ` R )
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4	1, 2, 3	dvdsr 18646	. . . . 5 |- ( Y .|| Z <-> ( Y e. B /\ E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z ) )
5	1, 2, 3	dvdsr 18646	. . . . 5 |- ( Z .|| X <-> ( Z e. B /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) )
6	4, 5	anbi12i 733	. . . 4 |- ( ( Y .|| Z /\ Z .|| X ) <-> ( ( Y e. B /\ E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z ) /\ ( Z e. B /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) )
7		an4 865	. . . 4 |- ( ( ( Y e. B /\ E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z ) /\ ( Z e. B /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) <-> ( ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) )
8	6, 7	bitri 264	. . 3 |- ( ( Y .|| Z /\ Z .|| X ) <-> ( ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) )
9		reeanv 3107	. . . . 5 |- ( E. y e. B E. x e. B ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) <-> ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) )
10		simplrl 800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> Y e. B )
11		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> R e. Ring )
12		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> x e. B )
13		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> y e. B )
14	1, 3	ringcl 18561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( .r ` R ) y ) e. B )
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( x ( .r ` R ) y ) e. B )
16	1, 2, 3	dvdsrmul 18648	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. B /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. B ) -> Y .|| ( ( x ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) Y ) )
17	10, 15, 16	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> Y .|| ( ( x ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) Y ) )
18	1, 3	ringass 18564	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) Y ) = ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) )
19	11, 12, 13, 10, 18	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) Y ) = ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) )
20	17, 19	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> Y .|| ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) )
21		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z -> ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) = ( x ( .r ` R ) Z ) )
22		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( ( x ( .r ` R ) Z ) = X -> ( x ( .r ` R ) Z ) = X )
23	21, 22	sylan9eq 2676	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) = X )
24	23	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> ( Y .|| ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) <-> Y .|| X ) )
25	20, 24	syl5ibcom 235	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> Y .|| X ) )
26	25	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( E. y e. B E. x e. B ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> Y .|| X ) )
27	9, 26	syl5bir 233	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> Y .|| X ) )
28	27	expimpd 629	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) -> Y .|| X ) )
29	8, 28	syl5bi 232	. 2 |- ( R e. Ring -> ( ( Y .|| Z /\ Z .|| X ) -> Y .|| X ) )
30	29	3impib 1262	1 |- ( ( R e. Ring /\ Y .|| Z /\ Z .|| X ) -> Y .|| X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   Ringcrg 18547   ||_rcdsr 18638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-dvdsr 18641

This theorem is referenced by:  dvdsunit  18663  unitmulcl  18664  unitnegcl  18681