Theorem efgi 18132

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )

Assertion

Ref	Expression
efgi	|- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> A .~ ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) )

Proof of Theorem efgi

Dummy variables a b i r u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = A -> ( # ` u ) = ( # ` A ) )
2	1	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( u = A -> ( 0 ... ( # ` u ) ) = ( 0 ... ( # ` A ) ) )
3		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = A -> u = A )
4		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = A -> ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) = ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) )
5	3, 4	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = A -> ( u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
6	5	2ralbidv 2989	. . . . . . . . . 10 |- ( u = A -> ( A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
7	2, 6	raleqbidv 3152	. . . . . . . . 9 |- ( u = A -> ( A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A. i e. ( 0 ... ( # ` A ) ) A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
8	7	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( A e. W -> ( A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) -> A. i e. ( 0 ... ( # ` A ) ) A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
9		oteq1 4411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. = <. N , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. )
10		oteq2 4412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> <. N , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. = <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. )
11	9, 10	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = N -> <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. = <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. )
12	11	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = N -> ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) = ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) )
13	12	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( i = N -> ( A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
14	13	2ralbidv 2989	. . . . . . . . 9 |- ( i = N -> ( A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
15	14	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) -> ( A. i e. ( 0 ... ( # ` A ) ) A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) -> A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
16	8, 15	sylan9 689	. . . . . . 7 |- ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) -> ( A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) -> A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
17		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = J -> <. a , b >. = <. J , b >. )
18		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = J -> <. a , ( 1o \ b ) >. = <. J , ( 1o \ b ) >. )
19	17, 18	s2eqd 13608	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = J -> <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> = <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> )
20	19	oteq3d 4416	. . . . . . . . . 10 |- ( a = J -> <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. = <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. )
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( a = J -> ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) = ( A splice <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. ) )
22	21	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( a = J -> ( A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A r ( A splice <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
23		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = K -> <. J , b >. = <. J , K >. )
24		difeq2 3722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = K -> ( 1o \ b ) = ( 1o \ K ) )
25	24	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = K -> <. J , ( 1o \ b ) >. = <. J , ( 1o \ K ) >. )
26	23, 25	s2eqd 13608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = K -> <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> = <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> )
27	26	oteq3d 4416	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = K -> <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. = <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. )
28	27	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( b = K -> ( A splice <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. ) = ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) )
29	28	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( b = K -> ( A r ( A splice <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A r ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) ) )
30		df-br 4654	. . . . . . . . 9 |- ( A r ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) <-> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r )
31	29, 30	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( b = K -> ( A r ( A splice <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
32	22, 31	rspc2v 3322	. . . . . . 7 |- ( ( J e. I /\ K e. 2o ) -> ( A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
33	16, 32	sylan9 689	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> ( A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
34	33	adantld 483	. . . . 5 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> ( ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
35	34	alrimiv 1855	. . . 4 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> A. r ( ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
36		opex 4932	. . . . 5 |- <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. _V
37	36	elintab 4487	. . . 4 |- ( <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. |^| { r | ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) } <-> A. r ( ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
38	35, 37	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. |^| { r | ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) } )
39		efgval.w	. . . 4 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
40		efgval.r	. . . 4 |- .~ = ( ~FG ` I )
41	39, 40	efgval 18130	. . 3 |- .~ = |^| { r | ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) }
42	38, 41	syl6eleqr 2712	. 2 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. .~ )
43		df-br 4654	. 2 |- ( A .~ ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) <-> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. .~ )
44	42, 43	sylibr 224	1 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> A .~ ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   \ cdif 3571   <.cop 4183   <.cotp 4185   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   _I cid 5023   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Er wer 7739   0cc0 9936   ...cfz 12326   #chash 13117  Word cword 13291   splice csplice 13296   <"cs2 13586   ~_FG cefg 18119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-s2 13593  df-efg 18122

This theorem is referenced by:  efgi0  18133  efgi1  18134