Theorem efgi1 18134

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )

Assertion

Ref	Expression
efgi1	|- ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) /\ J e. I ) -> A .~ ( A splice <. N , N , <" <. J , 1o >. <. J , (/) >. "> >. ) )

Proof of Theorem efgi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 7567	. . . . . . 7 |- 1o e. On
2	1	elexi 3213	. . . . . 6 |- 1o e. _V
3	2	prid2 4298	. . . . 5 |- 1o e. { (/) , 1o }
4		df2o3 7573	. . . . 5 |- 2o = { (/) , 1o }
5	3, 4	eleqtrri 2700	. . . 4 |- 1o e. 2o
6		efgval.w	. . . . 5 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
7		efgval.r	. . . . 5 |- .~ = ( ~FG ` I )
8	6, 7	efgi 18132	. . . 4 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ 1o e. 2o ) ) -> A .~ ( A splice <. N , N , <" <. J , 1o >. <. J , ( 1o \ 1o ) >. "> >. ) )
9	5, 8	mpanr2 720	. . 3 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ J e. I ) -> A .~ ( A splice <. N , N , <" <. J , 1o >. <. J , ( 1o \ 1o ) >. "> >. ) )
10	9	3impa 1259	. 2 |- ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) /\ J e. I ) -> A .~ ( A splice <. N , N , <" <. J , 1o >. <. J , ( 1o \ 1o ) >. "> >. ) )
11		tru 1487	. . . 4 |- T.
12		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( T. -> <. J , 1o >. = <. J , 1o >. )
13		difid 3948	. . . . . . 7 |- ( 1o \ 1o ) = (/)
14	13	opeq2i 4406	. . . . . 6 |- <. J , ( 1o \ 1o ) >. = <. J , (/) >.
15	14	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> <. J , ( 1o \ 1o ) >. = <. J , (/) >. )
16	12, 15	s2eqd 13608	. . . 4 |- ( T. -> <" <. J , 1o >. <. J , ( 1o \ 1o ) >. "> = <" <. J , 1o >. <. J , (/) >. "> )
17		oteq3 4413	. . . 4 |- ( <" <. J , 1o >. <. J , ( 1o \ 1o ) >. "> = <" <. J , 1o >. <. J , (/) >. "> -> <. N , N , <" <. J , 1o >. <. J , ( 1o \ 1o ) >. "> >. = <. N , N , <" <. J , 1o >. <. J , (/) >. "> >. )
18	11, 16, 17	mp2b 10	. . 3 |- <. N , N , <" <. J , 1o >. <. J , ( 1o \ 1o ) >. "> >. = <. N , N , <" <. J , 1o >. <. J , (/) >. "> >.
19	18	oveq2i 6661	. 2 |- ( A splice <. N , N , <" <. J , 1o >. <. J , ( 1o \ 1o ) >. "> >. ) = ( A splice <. N , N , <" <. J , 1o >. <. J , (/) >. "> >. )
20	10, 19	syl6breq 4694	1 |- ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) /\ J e. I ) -> A .~ ( A splice <. N , N , <" <. J , 1o >. <. J , (/) >. "> >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   \ cdif 3571   (/)c0 3915   {cpr 4179   <.cop 4183   <.cotp 4185   class class class wbr 4653   _I cid 5023   X. cxp 5112   Oncon0 5723   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   2oc2o 7554   0cc0 9936   ...cfz 12326   #chash 13117  Word cword 13291   splice csplice 13296   <"cs2 13586   ~_FG cefg 18119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-s2 13593  df-efg 18122

This theorem is referenced by: (None)