Theorem nn0ge0 11318

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	|- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11294	. . 3 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nngt0 11049	. . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < N )
3		id 22	. . . . 5 |- ( N = 0 -> N = 0 )
4	3	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( N = 0 -> 0 = N )
5	2, 4	orim12i 538	. . 3 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( 0 < N \/ 0 = N ) )
6	1, 5	sylbi 207	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( 0 < N \/ 0 = N ) )
7		0re 10040	. . 3 |- 0 e. RR
8		nn0re 11301	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
9		leloe 10124	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ N <-> ( 0 < N \/ 0 = N ) ) )
10	7, 8, 9	sylancr 695	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( 0 <_ N <-> ( 0 < N \/ 0 = N ) ) )
11	6, 10	mpbird 247	1 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  11319  nn0ge0i  11320  nn0le0eq0  11321  nn0p1gt0  11322  0mnnnnn0  11325  nn0addge1  11339  nn0addge2  11340  nn0negleid  11345  nn0ge0d  11354  nn0ge0div  11446  xnn0ge0  11967  nn0pnfge0OLD  11968  xnn0xadd0  12077  nn0rp0  12279  xnn0xrge0  12325  0elfz  12436  fz0fzelfz0  12445  fz0fzdiffz0  12448  fzctr  12451  difelfzle  12452  nn0p1elfzo  12510  elfzodifsumelfzo  12533  fvinim0ffz  12587  subfzo0  12590  adddivflid  12619  modmuladdnn0  12714  addmodid  12718  modifeq2int  12732  modfzo0difsn  12742  bernneq  12990  bernneq3  12992  faclbnd  13077  faclbnd6  13086  facubnd  13087  bcval5  13105  hashneq0  13155  fi1uzind  13279  brfi1indALT  13282  fi1uzindOLD  13285  brfi1indALTOLD  13288  ccat2s1fvw  13415  repswswrd  13531  rprisefaccl  14754  dvdseq  15036  evennn02n  15074  nn0ehalf  15095  nn0oddm1d2  15101  bitsinv1  15164  smuval2  15204  gcdn0gt0  15239  nn0gcdid0  15242  absmulgcd  15266  algcvgblem  15290  algcvga  15292  lcmgcdnn  15324  lcmfun  15358  lcmfass  15359  nonsq  15467  hashgcdlem  15493  odzdvds  15500  pcfaclem  15602  coe1sclmul  19652  coe1sclmul2  19654  prmirredlem  19841  prmirred  19843  fvmptnn04ifb  20656  mdegle0  23837  plypf1  23968  dgrlt  24022  fta1  24063  taylfval  24113  eldmgm  24748  basellem3  24809  bcmono  25002  lgsdinn0  25070  dchrisumlem1  25178  dchrisumlem2  25179  wwlksnextwrd  26792  wwlksnextfun  26793  wwlksnextinj  26794  wwlksnextproplem2  26805  wwlksnextproplem3  26806  nn0sqeq1  29513  xrsmulgzz  29678  hashf2  30146  hasheuni  30147  reprinfz1  30700  faclimlem1  31629  rrntotbnd  33635  pell14qrgt0  37423  pell1qrgaplem  37437  monotoddzzfi  37507  jm2.17a  37527  jm2.22  37562  rmxdiophlem  37582  wallispilem3  40284  stirlinglem7  40297  elfz2z  41325  fz0addge0  41329  elfzlble  41330  2ffzoeq  41338  iccpartigtl  41359  sqrtpwpw2p  41450  flsqrt  41508  nn0e  41608  nn0sumltlt  42128  nn0eo  42322  fllog2  42362  dignn0fr  42395  dignnld  42397  dig1  42402