Theorem elss2prb 13269

Description: An element of the set of subsets with two elements is a proper unordered pair. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elss2prb	|- ( P e. { z e. ~P V | ( # ` z ) = 2 } <-> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) )

Distinct variable groups:   x, P, y, z   x, V, y, z

Proof of Theorem elss2prb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . 4 |- ( z = P -> ( # ` z ) = ( # ` P ) )
2	1	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( z = P -> ( ( # ` z ) = 2 <-> ( # ` P ) = 2 ) )
3	2	elrab 3363	. 2 |- ( P e. { z e. ~P V | ( # ` z ) = 2 } <-> ( P e. ~P V /\ ( # ` P ) = 2 ) )
4		hash2prb 13254	. . . . 5 |- ( P e. ~P V -> ( ( # ` P ) = 2 <-> E. x e. P E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) )
5		elpwi 4168	. . . . . . 7 |- ( P e. ~P V -> P C_ V )
6		ssrexv 3667	. . . . . . 7 |- ( P C_ V -> ( E. x e. P E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> E. x e. V E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) )
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( P e. ~P V -> ( E. x e. P E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> E. x e. V E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) )
8		ssrexv 3667	. . . . . . . 8 |- ( P C_ V -> ( E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) )
9	5, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( P e. ~P V -> ( E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) )
10	9	reximdv 3016	. . . . . 6 |- ( P e. ~P V -> ( E. x e. V E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) )
11	7, 10	syld 47	. . . . 5 |- ( P e. ~P V -> ( E. x e. P E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) )
12	4, 11	sylbid 230	. . . 4 |- ( P e. ~P V -> ( ( # ` P ) = 2 -> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) )
13	12	imp 445	. . 3 |- ( ( P e. ~P V /\ ( # ` P ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) )
14		prelpwi 4915	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. V /\ y e. V ) -> { x , y } e. ~P V )
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) -> { x , y } e. ~P V )
16		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( P = { x , y } -> ( P e. ~P V <-> { x , y } e. ~P V ) )
17	16	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) -> ( P e. ~P V <-> { x , y } e. ~P V ) )
18	15, 17	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) -> P e. ~P V )
19		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( P = { x , y } -> ( # ` P ) = ( # ` { x , y } ) )
20	19	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) -> ( # ` P ) = ( # ` { x , y } ) )
21		hashprg 13182	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( x =/= y <-> ( # ` { x , y } ) = 2 ) )
22	21	biimpcd 239	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( # ` { x , y } ) = 2 ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( # ` { x , y } ) = 2 ) )
24	23	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) -> ( # ` { x , y } ) = 2 )
25	20, 24	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) -> ( # ` P ) = 2 )
26	18, 25	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) -> ( P e. ~P V /\ ( # ` P ) = 2 ) )
27	26	ex 450	. . . 4 |- ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> ( P e. ~P V /\ ( # ` P ) = 2 ) ) )
28	27	rexlimivv 3036	. . 3 |- ( E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> ( P e. ~P V /\ ( # ` P ) = 2 ) )
29	13, 28	impbii 199	. 2 |- ( ( P e. ~P V /\ ( # ` P ) = 2 ) <-> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) )
30	3, 29	bitri 264	1 |- ( P e. { z e. ~P V | ( # ` z ) = 2 } <-> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   ` cfv 5888   2c2 11070   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hash2sspr  13270  exprelprel  13271  cusgredg  26320