Theorem fiin 8328

Description: The elements of ( fi ` C ) are closed under finite intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiin	|- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) )

Proof of Theorem fiin

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6221	. . . . . 6 |- ( A e. ( fi ` C ) -> C e. _V )
2		elfi 8319	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ C e. _V ) -> ( A e. ( fi ` C ) <-> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x ) )
3	1, 2	mpdan 702	. . . . 5 |- ( A e. ( fi ` C ) -> ( A e. ( fi ` C ) <-> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x ) )
4	3	ibi 256	. . . 4 |- ( A e. ( fi ` C ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x )
5	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x )
6		simpr 477	. . . 4 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> B e. ( fi ` C ) )
7		elfi 8319	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( fi ` C ) /\ C e. _V ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
8	7	ancoms 469	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
9	1, 8	sylan 488	. . . 4 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( B e. ( fi ` C ) <-> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y ) )
10	6, 9	mpbid 222	. . 3 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y )
11		elin 3796	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( x e. ~P C /\ x e. Fin ) )
12		elin 3796	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( y e. ~P C /\ y e. Fin ) )
13		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P C -> x C_ C )
14		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ~P C -> y C_ C )
15	13, 14	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) -> ( x C_ C /\ y C_ C ) )
16		unss 3787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ C /\ y C_ C ) <-> ( x u. y ) C_ C )
17	15, 16	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) -> ( x u. y ) C_ C )
18		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
19		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
20	18, 19	unex 6956	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x u. y ) e. _V
21	20	elpw 4164	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x u. y ) e. ~P C <-> ( x u. y ) C_ C )
22	17, 21	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) -> ( x u. y ) e. ~P C )
23		unfi 8227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )
24	22, 23	anim12i 590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P C /\ y e. ~P C ) /\ ( x e. Fin /\ y e. Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
25	24	an4s 869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P C /\ x e. Fin ) /\ ( y e. ~P C /\ y e. Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
26	11, 12, 25	syl2anb 496	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
27		elin 3796	. . . . . . . 8 |- ( ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( ( x u. y ) e. ~P C /\ ( x u. y ) e. Fin ) )
28	26, 27	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
29		ineq12 3809	. . . . . . . 8 |- ( ( A = |^| x /\ B = |^| y ) -> ( A i^i B ) = ( |^| x i^i |^| y ) )
30		intun 4509	. . . . . . . 8 |- |^| ( x u. y ) = ( |^| x i^i |^| y )
31	29, 30	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ( A = |^| x /\ B = |^| y ) -> ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) )
32		inteq 4478	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x u. y ) -> |^| z = |^| ( x u. y ) )
33	32	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x u. y ) -> ( ( A i^i B ) = |^| z <-> ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) ) )
34	33	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( x u. y ) e. ( ~P C i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = |^| ( x u. y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
35	28, 31, 34	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ y e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ ( A = |^| x /\ B = |^| y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
36	35	an4s 869	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ A = |^| x ) /\ ( y e. ( ~P C i^i Fin ) /\ B = |^| y ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
37	36	rexlimdvaa 3032	. . . 4 |- ( ( x e. ( ~P C i^i Fin ) /\ A = |^| x ) -> ( E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
38	37	rexlimiva 3028	. . 3 |- ( E. x e. ( ~P C i^i Fin ) A = |^| x -> ( E. y e. ( ~P C i^i Fin ) B = |^| y -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
39	5, 10, 38	sylc 65	. 2 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z )
40		inex1g 4801	. . . 4 |- ( A e. ( fi ` C ) -> ( A i^i B ) e. _V )
41		elfi 8319	. . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) e. _V /\ C e. _V ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
42	40, 1, 41	syl2anc 693	. . 3 |- ( A e. ( fi ` C ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
43	42	adantr 481	. 2 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) <-> E. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( A i^i B ) = |^| z ) )
44	39, 43	mpbird 247	1 |- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. ( fi ` C ) ) -> ( A i^i B ) e. ( fi ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   |^|cint 4475   ` cfv 5888   Fincfn 7955   ficfi 8316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317

This theorem is referenced by:  dffi2  8329  inficl  8331  elfiun  8336  dffi3  8337  fibas  20781  ordtbas2  20995  fsubbas  21671