Theorem filssufilg 21715

Description: A filter is contained in some ultrafilter. This version of filssufil 21716 contains the choice as a hypothesis (in the assumption that ~P ~P X is well-orderable). (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filssufilg	|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ~P ~P X e. dom card ) -> E. f e. ( UFil ` X ) F C_ f )

Distinct variable groups:   f, F   f, X

Proof of Theorem filssufilg

Dummy variables g h x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ~P ~P X e. dom card ) -> ~P ~P X e. dom card )
2		rabss 3679	. . . . 5 |- ( { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } C_ ~P ~P X <-> A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> g e. ~P ~P X ) )
3		filsspw 21655	. . . . . . 7 |- ( g e. ( Fil ` X ) -> g C_ ~P X )
4		selpw 4165	. . . . . . 7 |- ( g e. ~P ~P X <-> g C_ ~P X )
5	3, 4	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( g e. ( Fil ` X ) -> g e. ~P ~P X )
6	5	a1d 25	. . . . 5 |- ( g e. ( Fil ` X ) -> ( F C_ g -> g e. ~P ~P X ) )
7	2, 6	mprgbir 2927	. . . 4 |- { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } C_ ~P ~P X
8		ssnum 8862	. . . 4 |- ( ( ~P ~P X e. dom card /\ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } C_ ~P ~P X ) -> { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } e. dom card )
9	1, 7, 8	sylancl 694	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ~P ~P X e. dom card ) -> { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } e. dom card )
10		ssid 3624	. . . . . . 7 |- F C_ F
11	10	jctr 565	. . . . . 6 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ F C_ F ) )
12		sseq2 3627	. . . . . . 7 |- ( g = F -> ( F C_ g <-> F C_ F ) )
13	12	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( F e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ F C_ F ) )
14	11, 13	sylibr 224	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } )
15		ne0i 3921	. . . . 5 |- ( F e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -> { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } =/= (/) )
16	14, 15	syl 17	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } =/= (/) )
17	16	adantr 481	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ~P ~P X e. dom card ) -> { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } =/= (/) )
18		simpr1 1067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) -> x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } )
19		ssrab 3680	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } <-> ( x C_ ( Fil ` X ) /\ A. g e. x F C_ g ) )
20	18, 19	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) -> ( x C_ ( Fil ` X ) /\ A. g e. x F C_ g ) )
21	20	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) -> x C_ ( Fil ` X ) )
22		simpr2 1068	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) -> x =/= (/) )
23		simpr3 1069	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) -> [ C.] Or x )
24		sorpssun 6944	. . . . . . . . . 10 |- ( ( [ C.] Or x /\ ( g e. x /\ h e. x ) ) -> ( g u. h ) e. x )
25	24	ralrimivva 2971	. . . . . . . . 9 |- ( [ C.] Or x -> A. g e. x A. h e. x ( g u. h ) e. x )
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) -> A. g e. x A. h e. x ( g u. h ) e. x )
27		filuni 21689	. . . . . . . 8 |- ( ( x C_ ( Fil ` X ) /\ x =/= (/) /\ A. g e. x A. h e. x ( g u. h ) e. x ) -> U. x e. ( Fil ` X ) )
28	21, 22, 26, 27	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) -> U. x e. ( Fil ` X ) )
29		n0 3931	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= (/) <-> E. h h e. x )
30		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ h e. x ) -> h e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } )
31		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = h -> ( F C_ g <-> F C_ h ) )
32	31	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } <-> ( h e. ( Fil ` X ) /\ F C_ h ) )
33	30, 32	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ h e. x ) -> ( h e. ( Fil ` X ) /\ F C_ h ) )
34	33	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ h e. x ) -> F C_ h )
35		ssuni 4459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F C_ h /\ h e. x ) -> F C_ U. x )
36	34, 35	sylancom 701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ h e. x ) -> F C_ U. x )
37	36	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -> ( h e. x -> F C_ U. x ) )
38	37	exlimdv 1861	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -> ( E. h h e. x -> F C_ U. x ) )
39	29, 38	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -> ( x =/= (/) -> F C_ U. x ) )
40	18, 22, 39	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) -> F C_ U. x )
41		sseq2 3627	. . . . . . . 8 |- ( g = U. x -> ( F C_ g <-> F C_ U. x ) )
42	41	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( U. x e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } <-> ( U. x e. ( Fil ` X ) /\ F C_ U. x ) )
43	28, 40, 42	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) -> U. x e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } )
44	43	ex 450	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) -> U. x e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } ) )
45	44	alrimiv 1855	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> A. x ( ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) -> U. x e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } ) )
46	45	adantr 481	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ~P ~P X e. dom card ) -> A. x ( ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) -> U. x e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } ) )
47		zornn0g 9327	. . 3 |- ( ( { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } e. dom card /\ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } =/= (/) /\ A. x ( ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) -> U. x e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } ) ) -> E. f e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } A. h e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -. f C. h )
48	9, 17, 46, 47	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ~P ~P X e. dom card ) -> E. f e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } A. h e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -. f C. h )
49		sseq2 3627	. . . . 5 |- ( g = f -> ( F C_ g <-> F C_ f ) )
50	49	elrab 3363	. . . 4 |- ( f e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } <-> ( f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) )
51	31	ralrab 3368	. . . 4 |- ( A. h e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -. f C. h <-> A. h e. ( Fil ` X ) ( F C_ h -> -. f C. h ) )
52		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) /\ A. h e. ( Fil ` X ) ( F C_ h -> -. f C. h ) ) -> f e. ( Fil ` X ) )
53		sstr2 3610	. . . . . . . . . . 11 |- ( F C_ f -> ( f C_ h -> F C_ h ) )
54	53	imim1d 82	. . . . . . . . . 10 |- ( F C_ f -> ( ( F C_ h -> -. f C. h ) -> ( f C_ h -> -. f C. h ) ) )
55		df-pss 3590	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f C. h <-> ( f C_ h /\ f =/= h ) )
56	55	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f C_ h -> ( f =/= h -> f C. h ) )
57	56	necon1bd 2812	. . . . . . . . . . 11 |- ( f C_ h -> ( -. f C. h -> f = h ) )
58	57	a2i 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f C_ h -> -. f C. h ) -> ( f C_ h -> f = h ) )
59	54, 58	syl6 35	. . . . . . . . 9 |- ( F C_ f -> ( ( F C_ h -> -. f C. h ) -> ( f C_ h -> f = h ) ) )
60	59	ralimdv 2963	. . . . . . . 8 |- ( F C_ f -> ( A. h e. ( Fil ` X ) ( F C_ h -> -. f C. h ) -> A. h e. ( Fil ` X ) ( f C_ h -> f = h ) ) )
61	60	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( F C_ f /\ A. h e. ( Fil ` X ) ( F C_ h -> -. f C. h ) ) -> A. h e. ( Fil ` X ) ( f C_ h -> f = h ) )
62	61	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) /\ A. h e. ( Fil ` X ) ( F C_ h -> -. f C. h ) ) -> A. h e. ( Fil ` X ) ( f C_ h -> f = h ) )
63		isufil2 21712	. . . . . 6 |- ( f e. ( UFil ` X ) <-> ( f e. ( Fil ` X ) /\ A. h e. ( Fil ` X ) ( f C_ h -> f = h ) ) )
64	52, 62, 63	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) /\ A. h e. ( Fil ` X ) ( F C_ h -> -. f C. h ) ) -> f e. ( UFil ` X ) )
65		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) /\ A. h e. ( Fil ` X ) ( F C_ h -> -. f C. h ) ) -> F C_ f )
66	64, 65	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) /\ A. h e. ( Fil ` X ) ( F C_ h -> -. f C. h ) ) -> ( f e. ( UFil ` X ) /\ F C_ f ) )
67	50, 51, 66	syl2anb 496	. . 3 |- ( ( f e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ A. h e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -. f C. h ) -> ( f e. ( UFil ` X ) /\ F C_ f ) )
68	67	reximi2 3010	. 2 |- ( E. f e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } A. h e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -. f C. h -> E. f e. ( UFil ` X ) F C_ f )
69	48, 68	syl 17	1 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ~P ~P X e. dom card ) -> E. f e. ( UFil ` X ) F C_ f )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   Or wor 5034   dom cdm 5114   ` cfv 5888   [ C.] crpss 6936   cardccrd 8761   Filcfil 21649   UFilcufil 21703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rpss 6937  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-card 8765  df-cda 8990  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-ufil 21705

This theorem is referenced by:  filssufil  21716  numufl  21719