Theorem fin1a2lem10 9231

Description: Lemma for fin1a2 9237. A nonempty finite union of members of a chain is a member of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem10	|- ( ( A =/= (/) /\ A e. Fin /\ [ C.] Or A ) -> U. A e. A )

Proof of Theorem fin1a2lem10

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqneqall 2805	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( a =/= (/) -> ( [ C.] Or a -> U. a e. a ) ) )
2		tru 1487	. . . . . 6 |- T.
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( a = (/) -> T. )
4	1, 3	2thd 255	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( a =/= (/) -> ( [ C.] Or a -> U. a e. a ) ) <-> T. ) )
5		neeq1 2856	. . . . 5 |- ( a = b -> ( a =/= (/) <-> b =/= (/) ) )
6		soeq2 5055	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( [ C.] Or a <-> [ C.] Or b ) )
7		unieq 4444	. . . . . . 7 |- ( a = b -> U. a = U. b )
8		id 22	. . . . . . 7 |- ( a = b -> a = b )
9	7, 8	eleq12d 2695	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( U. a e. a <-> U. b e. b ) )
10	6, 9	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( [ C.] Or a -> U. a e. a ) <-> ( [ C.] Or b -> U. b e. b ) ) )
11	5, 10	imbi12d 334	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( a =/= (/) -> ( [ C.] Or a -> U. a e. a ) ) <-> ( b =/= (/) -> ( [ C.] Or b -> U. b e. b ) ) ) )
12		neeq1 2856	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a =/= (/) <-> ( b u. { c } ) =/= (/) ) )
13		soeq2 5055	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( [ C.] Or a <-> [ C.] Or ( b u. { c } ) ) )
14		unieq 4444	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> U. a = U. ( b u. { c } ) )
15		id 22	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> a = ( b u. { c } ) )
16	14, 15	eleq12d 2695	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( U. a e. a <-> U. ( b u. { c } ) e. ( b u. { c } ) ) )
17	13, 16	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( [ C.] Or a -> U. a e. a ) <-> ( [ C.] Or ( b u. { c } ) -> U. ( b u. { c } ) e. ( b u. { c } ) ) ) )
18	12, 17	imbi12d 334	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( a =/= (/) -> ( [ C.] Or a -> U. a e. a ) ) <-> ( ( b u. { c } ) =/= (/) -> ( [ C.] Or ( b u. { c } ) -> U. ( b u. { c } ) e. ( b u. { c } ) ) ) ) )
19		neeq1 2856	. . . . 5 |- ( a = A -> ( a =/= (/) <-> A =/= (/) ) )
20		soeq2 5055	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( [ C.] Or a <-> [ C.] Or A ) )
21		unieq 4444	. . . . . . 7 |- ( a = A -> U. a = U. A )
22		id 22	. . . . . . 7 |- ( a = A -> a = A )
23	21, 22	eleq12d 2695	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( U. a e. a <-> U. A e. A ) )
24	20, 23	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( a = A -> ( ( [ C.] Or a -> U. a e. a ) <-> ( [ C.] Or A -> U. A e. A ) ) )
25	19, 24	imbi12d 334	. . . 4 |- ( a = A -> ( ( a =/= (/) -> ( [ C.] Or a -> U. a e. a ) ) <-> ( A =/= (/) -> ( [ C.] Or A -> U. A e. A ) ) ) )
26		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- c e. _V
27	26	unisn 4451	. . . . . . . . . . 11 |- U. { c } = c
28		vsnid 4209	. . . . . . . . . . 11 |- c e. { c }
29	27, 28	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 |- U. { c } e. { c }
30		uneq1 3760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = (/) -> ( b u. { c } ) = ( (/) u. { c } ) )
31		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) u. { c } ) = ( { c } u. (/) )
32		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { c } u. (/) ) = { c }
33	31, 32	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) u. { c } ) = { c }
34	30, 33	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = (/) -> ( b u. { c } ) = { c } )
35	34	unieqd 4446	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = (/) -> U. ( b u. { c } ) = U. { c } )
36	35, 34	eleq12d 2695	. . . . . . . . . 10 |- ( b = (/) -> ( U. ( b u. { c } ) e. ( b u. { c } ) <-> U. { c } e. { c } ) )
37	29, 36	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( b = (/) -> U. ( b u. { c } ) e. ( b u. { c } ) )
38	37	a1d 25	. . . . . . . 8 |- ( b = (/) -> ( ( b =/= (/) -> ( [ C.] Or b -> U. b e. b ) ) -> U. ( b u. { c } ) e. ( b u. { c } ) ) )
39	38	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( b e. Fin /\ [ C.] Or ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) =/= (/) ) /\ b = (/) ) -> ( ( b =/= (/) -> ( [ C.] Or b -> U. b e. b ) ) -> U. ( b u. { c } ) e. ( b u. { c } ) ) )
40		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b e. Fin /\ [ C.] Or ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) =/= (/) ) /\ b =/= (/) ) -> b =/= (/) )
41		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- b C_ ( b u. { c } )
42		simpl2 1065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( b e. Fin /\ [ C.] Or ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) =/= (/) ) /\ b =/= (/) ) -> [ C.] Or ( b u. { c } ) )
43		soss 5053	. . . . . . . . . 10 |- ( b C_ ( b u. { c } ) -> ( [ C.] Or ( b u. { c } ) -> [ C.] Or b ) )
44	41, 42, 43	mpsyl 68	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. Fin /\ [ C.] Or ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) =/= (/) ) /\ b =/= (/) ) -> [ C.] Or b )
45		uniun 4456	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( b u. { c } ) = ( U. b u. U. { c } )
46	27	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. b u. U. { c } ) = ( U. b u. c )
47	45, 46	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( b u. { c } ) = ( U. b u. c )
48		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. Fin /\ [ C.] Or ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) =/= (/) ) /\ ( b =/= (/) /\ U. b e. b ) ) -> U. b e. b )
49		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. Fin /\ [ C.] Or ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) =/= (/) ) /\ ( b =/= (/) /\ U. b e. b ) ) -> [ C.] Or ( b u. { c } ) )
50		elun1 3780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. b e. b -> U. b e. ( b u. { c } ) )
51	50	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. Fin /\ [ C.] Or ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) =/= (/) ) /\ ( b =/= (/) /\ U. b e. b ) ) -> U. b e. ( b u. { c } ) )
52		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { c } C_ ( b u. { c } )
53	52, 28	sselii 3600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- c e. ( b u. { c } )
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. Fin /\ [ C.] Or ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) =/= (/) ) /\ ( b =/= (/) /\ U. b e. b ) ) -> c e. ( b u. { c } ) )
55		sorpssi 6943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( [ C.] Or ( b u. { c } ) /\ ( U. b e. ( b u. { c } ) /\ c e. ( b u. { c } ) ) ) -> ( U. b C_ c \/ c C_ U. b ) )
56	49, 51, 54, 55	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. Fin /\ [ C.] Or ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) =/= (/) ) /\ ( b =/= (/) /\ U. b e. b ) ) -> ( U. b C_ c \/ c C_ U. b ) )
57		ssequn1 3783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. b C_ c <-> ( U. b u. c ) = c )
58	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. b e. b -> c e. ( b u. { c } ) )
59		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U. b u. c ) = c -> ( ( U. b u. c ) e. ( b u. { c } ) <-> c e. ( b u. { c } ) ) )
60	58, 59	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U. b u. c ) = c -> ( U. b e. b -> ( U. b u. c ) e. ( b u. { c } ) ) )
61	57, 60	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. b C_ c -> ( U. b e. b -> ( U. b u. c ) e. ( b u. { c } ) ) )
62	61	impcom 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U. b e. b /\ U. b C_ c ) -> ( U. b u. c ) e. ( b u. { c } ) )
63		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. b u. c ) = ( c u. U. b )
64		ssequn1 3783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c C_ U. b <-> ( c u. U. b ) = U. b )
65		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c u. U. b ) = U. b -> ( ( c u. U. b ) e. ( b u. { c } ) <-> U. b e. ( b u. { c } ) ) )
66	50, 65	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c u. U. b ) = U. b -> ( U. b e. b -> ( c u. U. b ) e. ( b u. { c } ) ) )
67	64, 66	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c C_ U. b -> ( U. b e. b -> ( c u. U. b ) e. ( b u. { c } ) ) )
68	67	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U. b e. b /\ c C_ U. b ) -> ( c u. U. b ) e. ( b u. { c } ) )
69	63, 68	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U. b e. b /\ c C_ U. b ) -> ( U. b u. c ) e. ( b u. { c } ) )
70	62, 69	jaodan 826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U. b e. b /\ ( U. b C_ c \/ c C_ U. b ) ) -> ( U. b u. c ) e. ( b u. { c } ) )
71	48, 56, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. Fin /\ [ C.] Or ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) =/= (/) ) /\ ( b =/= (/) /\ U. b e. b ) ) -> ( U. b u. c ) e. ( b u. { c } ) )
72	47, 71	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( b e. Fin /\ [ C.] Or ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) =/= (/) ) /\ ( b =/= (/) /\ U. b e. b ) ) -> U. ( b u. { c } ) e. ( b u. { c } ) )
73	72	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. Fin /\ [ C.] Or ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) =/= (/) ) /\ b =/= (/) ) -> ( U. b e. b -> U. ( b u. { c } ) e. ( b u. { c } ) ) )
74	44, 73	embantd 59	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b e. Fin /\ [ C.] Or ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) =/= (/) ) /\ b =/= (/) ) -> ( ( [ C.] Or b -> U. b e. b ) -> U. ( b u. { c } ) e. ( b u. { c } ) ) )
75	40, 74	embantd 59	. . . . . . 7 |- ( ( ( b e. Fin /\ [ C.] Or ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) =/= (/) ) /\ b =/= (/) ) -> ( ( b =/= (/) -> ( [ C.] Or b -> U. b e. b ) ) -> U. ( b u. { c } ) e. ( b u. { c } ) ) )
76	39, 75	pm2.61dane 2881	. . . . . 6 |- ( ( b e. Fin /\ [ C.] Or ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) =/= (/) ) -> ( ( b =/= (/) -> ( [ C.] Or b -> U. b e. b ) ) -> U. ( b u. { c } ) e. ( b u. { c } ) ) )
77	76	3exp 1264	. . . . 5 |- ( b e. Fin -> ( [ C.] Or ( b u. { c } ) -> ( ( b u. { c } ) =/= (/) -> ( ( b =/= (/) -> ( [ C.] Or b -> U. b e. b ) ) -> U. ( b u. { c } ) e. ( b u. { c } ) ) ) ) )
78	77	com24 95	. . . 4 |- ( b e. Fin -> ( ( b =/= (/) -> ( [ C.] Or b -> U. b e. b ) ) -> ( ( b u. { c } ) =/= (/) -> ( [ C.] Or ( b u. { c } ) -> U. ( b u. { c } ) e. ( b u. { c } ) ) ) ) )
79	4, 11, 18, 25, 2, 78	findcard2 8200	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A =/= (/) -> ( [ C.] Or A -> U. A e. A ) ) )
80	79	com12 32	. 2 |- ( A =/= (/) -> ( A e. Fin -> ( [ C.] Or A -> U. A e. A ) ) )
81	80	3imp 1256	1 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. Fin /\ [ C.] Or A ) -> U. A e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   Or wor 5034   [ C.] crpss 6936   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  9232  pgpfac1lem5  18478