Theorem fin1a2lem11 9232

Description: Lemma for fin1a2 9237. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem11	|- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ran ( b e. om |-> U. { c e. A | c ~<_ b } ) = ( A u. { (/) } ) )

Distinct variable group:   b, c, A

Proof of Theorem fin1a2lem11

Dummy variable d is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( b e. om |-> U. { c e. A | c ~<_ b } ) = ( b e. om |-> U. { c e. A | c ~<_ b } )
2	1	rnmpt 5371	. 2 |- ran ( b e. om |-> U. { c e. A | c ~<_ b } ) = { d | E. b e. om d = U. { c e. A | c ~<_ b } }
3		unieq 4444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { c e. A | c ~<_ b } = (/) -> U. { c e. A | c ~<_ b } = U. (/) )
4		uni0 4465	. . . . . . . . . . . 12 |- U. (/) = (/)
5	3, 4	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( { c e. A | c ~<_ b } = (/) -> U. { c e. A | c ~<_ b } = (/) )
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } = (/) ) -> U. { c e. A | c ~<_ b } = (/) )
7		0ex 4790	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
8	7	elsn2 4211	. . . . . . . . . 10 |- ( U. { c e. A | c ~<_ b } e. { (/) } <-> U. { c e. A | c ~<_ b } = (/) )
9	6, 8	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } = (/) ) -> U. { c e. A | c ~<_ b } e. { (/) } )
10	9	olcd 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } = (/) ) -> ( U. { c e. A | c ~<_ b } e. A \/ U. { c e. A | c ~<_ b } e. { (/) } ) )
11		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { c e. A | c ~<_ b } C_ A
12		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) -> { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) )
13		simplll 798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) -> [ C.] Or A )
14		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) -> A C_ Fin )
15		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) -> b e. om )
16		fin1a2lem9 9230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin /\ b e. om ) -> { c e. A | c ~<_ b } e. Fin )
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) -> { c e. A | c ~<_ b } e. Fin )
18		soss 5053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { c e. A | c ~<_ b } C_ A -> ( [ C.] Or A -> [ C.] Or { c e. A | c ~<_ b } ) )
19	11, 13, 18	mpsyl 68	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) -> [ C.] Or { c e. A | c ~<_ b } )
20		fin1a2lem10 9231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) /\ { c e. A | c ~<_ b } e. Fin /\ [ C.] Or { c e. A | c ~<_ b } ) -> U. { c e. A | c ~<_ b } e. { c e. A | c ~<_ b } )
21	12, 17, 19, 20	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) -> U. { c e. A | c ~<_ b } e. { c e. A | c ~<_ b } )
22	11, 21	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) -> U. { c e. A | c ~<_ b } e. A )
23	22	orcd 407	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. om ) /\ { c e. A | c ~<_ b } =/= (/) ) -> ( U. { c e. A | c ~<_ b } e. A \/ U. { c e. A | c ~<_ b } e. { (/) } ) )
24	10, 23	pm2.61dane 2881	. . . . . . 7 |- ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. om ) -> ( U. { c e. A | c ~<_ b } e. A \/ U. { c e. A | c ~<_ b } e. { (/) } ) )
25		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( d = U. { c e. A | c ~<_ b } -> ( d e. A <-> U. { c e. A | c ~<_ b } e. A ) )
26		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( d = U. { c e. A | c ~<_ b } -> ( d e. { (/) } <-> U. { c e. A | c ~<_ b } e. { (/) } ) )
27	25, 26	orbi12d 746	. . . . . . 7 |- ( d = U. { c e. A | c ~<_ b } -> ( ( d e. A \/ d e. { (/) } ) <-> ( U. { c e. A | c ~<_ b } e. A \/ U. { c e. A | c ~<_ b } e. { (/) } ) ) )
28	24, 27	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ b e. om ) -> ( d = U. { c e. A | c ~<_ b } -> ( d e. A \/ d e. { (/) } ) ) )
29	28	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( E. b e. om d = U. { c e. A | c ~<_ b } -> ( d e. A \/ d e. { (/) } ) ) )
30		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> A C_ Fin )
31	30	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> d e. Fin )
32		ficardom 8787	. . . . . . . . 9 |- ( d e. Fin -> ( card ` d ) e. om )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> ( card ` d ) e. om )
34		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> d e. A )
35		ficardid 8788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. Fin -> ( card ` d ) ~~ d )
36	31, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> ( card ` d ) ~~ d )
37		ensym 8005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( card ` d ) ~~ d -> d ~~ ( card ` d ) )
38		endom 7982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d ~~ ( card ` d ) -> d ~<_ ( card ` d ) )
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> d ~<_ ( card ` d ) )
40		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = d -> ( c ~<_ ( card ` d ) <-> d ~<_ ( card ` d ) ) )
41	40	elrab 3363	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } <-> ( d e. A /\ d ~<_ ( card ` d ) ) )
42	34, 39, 41	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> d e. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } )
43		elssuni 4467	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } -> d C_ U. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> d C_ U. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } )
45		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = b -> ( c ~<_ ( card ` d ) <-> b ~<_ ( card ` d ) ) )
46	45	elrab 3363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } <-> ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) )
47		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> b ~<_ ( card ` d ) )
48	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> ( card ` d ) ~~ d )
49		domentr 8015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b ~<_ ( card ` d ) /\ ( card ` d ) ~~ d ) -> b ~<_ d )
50	47, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> b ~<_ d )
51		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> A C_ Fin )
52		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> b e. A )
53	51, 52	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> b e. Fin )
54	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> d e. Fin )
55		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> [ C.] Or A )
56		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> d e. A )
57		sorpssi 6943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( [ C.] Or A /\ ( b e. A /\ d e. A ) ) -> ( b C_ d \/ d C_ b ) )
58	55, 52, 56, 57	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> ( b C_ d \/ d C_ b ) )
59		fincssdom 9145	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. Fin /\ d e. Fin /\ ( b C_ d \/ d C_ b ) ) -> ( b ~<_ d <-> b C_ d ) )
60	53, 54, 58, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> ( b ~<_ d <-> b C_ d ) )
61	50, 60	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) /\ ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) ) -> b C_ d )
62	61	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> ( ( b e. A /\ b ~<_ ( card ` d ) ) -> b C_ d ) )
63	46, 62	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> ( b e. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } -> b C_ d ) )
64	63	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> A. b e. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } b C_ d )
65		unissb 4469	. . . . . . . . . 10 |- ( U. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } C_ d <-> A. b e. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } b C_ d )
66	64, 65	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> U. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } C_ d )
67	44, 66	eqssd 3620	. . . . . . . 8 |- ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> d = U. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } )
68		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( card ` d ) -> ( c ~<_ b <-> c ~<_ ( card ` d ) ) )
69	68	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( card ` d ) -> { c e. A | c ~<_ b } = { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } )
70	69	unieqd 4446	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( card ` d ) -> U. { c e. A | c ~<_ b } = U. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } )
71	70	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( card ` d ) -> ( d = U. { c e. A | c ~<_ b } <-> d = U. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } ) )
72	71	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( card ` d ) e. om /\ d = U. { c e. A | c ~<_ ( card ` d ) } ) -> E. b e. om d = U. { c e. A | c ~<_ b } )
73	33, 67, 72	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) /\ d e. A ) -> E. b e. om d = U. { c e. A | c ~<_ b } )
74	73	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( d e. A -> E. b e. om d = U. { c e. A | c ~<_ b } ) )
75		velsn 4193	. . . . . . 7 |- ( d e. { (/) } <-> d = (/) )
76		peano1 7085	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
77		dom0 8088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b ~<_ (/) <-> b = (/) )
78	77	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b ~<_ (/) -> b = (/) )
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. A /\ b ~<_ (/) ) -> b = (/) )
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( ( b e. A /\ b ~<_ (/) ) -> b = (/) ) )
81		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = b -> ( c ~<_ (/) <-> b ~<_ (/) ) )
82	81	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. { c e. A | c ~<_ (/) } <-> ( b e. A /\ b ~<_ (/) ) )
83		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. { (/) } <-> b = (/) )
84	80, 82, 83	3imtr4g 285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( b e. { c e. A | c ~<_ (/) } -> b e. { (/) } ) )
85	84	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> { c e. A | c ~<_ (/) } C_ { (/) } )
86		uni0b 4463	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. { c e. A | c ~<_ (/) } = (/) <-> { c e. A | c ~<_ (/) } C_ { (/) } )
87	85, 86	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> U. { c e. A | c ~<_ (/) } = (/) )
88	87	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> (/) = U. { c e. A | c ~<_ (/) } )
89		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = (/) -> ( c ~<_ b <-> c ~<_ (/) ) )
90	89	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = (/) -> { c e. A | c ~<_ b } = { c e. A | c ~<_ (/) } )
91	90	unieqd 4446	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = (/) -> U. { c e. A | c ~<_ b } = U. { c e. A | c ~<_ (/) } )
92	91	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( b = (/) -> ( (/) = U. { c e. A | c ~<_ b } <-> (/) = U. { c e. A | c ~<_ (/) } ) )
93	92	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) e. om /\ (/) = U. { c e. A | c ~<_ (/) } ) -> E. b e. om (/) = U. { c e. A | c ~<_ b } )
94	76, 88, 93	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> E. b e. om (/) = U. { c e. A | c ~<_ b } )
95		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( d = (/) -> ( d = U. { c e. A | c ~<_ b } <-> (/) = U. { c e. A | c ~<_ b } ) )
96	95	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( d = (/) -> ( E. b e. om d = U. { c e. A | c ~<_ b } <-> E. b e. om (/) = U. { c e. A | c ~<_ b } ) )
97	94, 96	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( d = (/) -> E. b e. om d = U. { c e. A | c ~<_ b } ) )
98	75, 97	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( d e. { (/) } -> E. b e. om d = U. { c e. A | c ~<_ b } ) )
99	74, 98	jaod 395	. . . . 5 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( ( d e. A \/ d e. { (/) } ) -> E. b e. om d = U. { c e. A | c ~<_ b } ) )
100	29, 99	impbid 202	. . . 4 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( E. b e. om d = U. { c e. A | c ~<_ b } <-> ( d e. A \/ d e. { (/) } ) ) )
101		elun 3753	. . . 4 |- ( d e. ( A u. { (/) } ) <-> ( d e. A \/ d e. { (/) } ) )
102	100, 101	syl6bbr 278	. . 3 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ( E. b e. om d = U. { c e. A | c ~<_ b } <-> d e. ( A u. { (/) } ) ) )
103	102	abbi1dv 2743	. 2 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> { d | E. b e. om d = U. { c e. A | c ~<_ b } } = ( A u. { (/) } ) )
104	2, 103	syl5eq 2668	1 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ran ( b e. om |-> U. { c e. A | c ~<_ b } ) = ( A u. { (/) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   ran crn 5115   ` cfv 5888   [ C.] crpss 6936   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765

This theorem is referenced by:  fin1a2lem12  9233