Theorem pgpfac1lem5 18478

Description: Lemma for pgpfac1 18479. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgpfac1.k	|- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
pgpfac1.s	|- S = ( K ` { A } )
pgpfac1.b	|- B = ( Base ` G )
pgpfac1.o	|- O = ( od ` G )
pgpfac1.e	|- E = (gEx ` G )
pgpfac1.z	|- .0. = ( 0g ` G )
pgpfac1.l	|- .(+) = ( LSSum ` G )
pgpfac1.p	|- ( ph -> P pGrp G )
pgpfac1.g	|- ( ph -> G e. Abel )
pgpfac1.n	|- ( ph -> B e. Fin )
pgpfac1.oe	|- ( ph -> ( O ` A ) = E )
pgpfac1.u	|- ( ph -> U e. (SubGrp ` G ) )
pgpfac1.au	|- ( ph -> A e. U )
pgpfac1.3	|- ( ph -> A. s e. (SubGrp ` G ) ( ( s C. U /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pgpfac1lem5	|- ( ph -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) )

Distinct variable groups:   t, s, .0.   A, s, t   .(+) , s, t   P, s, t   B, s, t   G, s, t   U, s, t   S, s, t   ph, s, t   K, s, t

Allowed substitution hints:   E( t, s)   O( t, s)

Proof of Theorem pgpfac1lem5

Dummy variables b u v y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfac1.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. Fin )
2		pwfi 8261	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. Fin <-> ~P B e. Fin )
3	1, 2	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ~P B e. Fin )
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ S C. U ) -> ~P B e. Fin )
5		pgpfac1.b	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( Base ` G )
6	5	subgss 17595	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. (SubGrp ` G ) -> v C_ B )
7	6	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ S C. U ) /\ v e. (SubGrp ` G ) /\ ( v C. U /\ A e. v ) ) -> v C_ B )
8		selpw 4165	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. ~P B <-> v C_ B )
9	7, 8	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S C. U ) /\ v e. (SubGrp ` G ) /\ ( v C. U /\ A e. v ) ) -> v e. ~P B )
10	9	rabssdv 3682	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ S C. U ) -> { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } C_ ~P B )
11		ssfi 8180	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P B e. Fin /\ { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } C_ ~P B ) -> { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } e. Fin )
12	4, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ S C. U ) -> { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } e. Fin )
13		finnum 8774	. . . . . . 7 |- ( { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } e. Fin -> { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } e. dom card )
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S C. U ) -> { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } e. dom card )
15		pgpfac1.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( K ` { A } )
16		pgpfac1.g	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. Abel )
17		ablgrp 18198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. Grp )
19	5	subgacs 17629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. Grp -> (SubGrp ` G ) e. (ACS ` B ) )
20		acsmre 16313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (SubGrp ` G ) e. (ACS ` B ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` B ) )
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` B ) )
22		pgpfac1.u	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. (SubGrp ` G ) )
23	5	subgss 17595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. (SubGrp ` G ) -> U C_ B )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U C_ B )
25		pgpfac1.au	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. U )
26	24, 25	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. B )
27		pgpfac1.k	. . . . . . . . . . . 12 |- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
28	27	mrcsncl 16272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` B ) /\ A e. B ) -> ( K ` { A } ) e. (SubGrp ` G ) )
29	21, 26, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K ` { A } ) e. (SubGrp ` G ) )
30	15, 29	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. (SubGrp ` G ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ S C. U ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
32		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ S C. U ) -> S C. U )
33	25	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { A } C_ U )
34	33, 24	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { A } C_ B )
35	21, 27, 34	mrcssidd 16285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { A } C_ ( K ` { A } ) )
36	35, 15	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { A } C_ S )
37		snssg 4327	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. B -> ( A e. S <-> { A } C_ S ) )
38	26, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A e. S <-> { A } C_ S ) )
39	36, 38	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. S )
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ S C. U ) -> A e. S )
41		psseq1 3694	. . . . . . . . . 10 |- ( v = S -> ( v C. U <-> S C. U ) )
42		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( v = S -> ( A e. v <-> A e. S ) )
43	41, 42	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( v = S -> ( ( v C. U /\ A e. v ) <-> ( S C. U /\ A e. S ) ) )
44	43	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ ( S C. U /\ A e. S ) ) -> E. v e. (SubGrp ` G ) ( v C. U /\ A e. v ) )
45	31, 32, 40, 44	syl12anc 1324	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ S C. U ) -> E. v e. (SubGrp ` G ) ( v C. U /\ A e. v ) )
46		rabn0 3958	. . . . . . 7 |- ( { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } =/= (/) <-> E. v e. (SubGrp ` G ) ( v C. U /\ A e. v ) )
47	45, 46	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S C. U ) -> { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } =/= (/) )
48		simpr1 1067	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S C. U ) /\ ( u C_ { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } /\ u =/= (/) /\ [ C.] Or u ) ) -> u C_ { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } )
49		simpr2 1068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ S C. U ) /\ ( u C_ { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } /\ u =/= (/) /\ [ C.] Or u ) ) -> u =/= (/) )
50	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ S C. U ) /\ ( u C_ { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } /\ u =/= (/) /\ [ C.] Or u ) ) -> { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } e. Fin )
51		ssfi 8180	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } e. Fin /\ u C_ { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } ) -> u e. Fin )
52	50, 48, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ S C. U ) /\ ( u C_ { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } /\ u =/= (/) /\ [ C.] Or u ) ) -> u e. Fin )
53		simpr3 1069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ S C. U ) /\ ( u C_ { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } /\ u =/= (/) /\ [ C.] Or u ) ) -> [ C.] Or u )
54		fin1a2lem10 9231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u =/= (/) /\ u e. Fin /\ [ C.] Or u ) -> U. u e. u )
55	49, 52, 53, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S C. U ) /\ ( u C_ { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } /\ u =/= (/) /\ [ C.] Or u ) ) -> U. u e. u )
56	48, 55	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S C. U ) /\ ( u C_ { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } /\ u =/= (/) /\ [ C.] Or u ) ) -> U. u e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } )
57	56	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ S C. U ) -> ( ( u C_ { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } /\ u =/= (/) /\ [ C.] Or u ) -> U. u e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } ) )
58	57	alrimiv 1855	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S C. U ) -> A. u ( ( u C_ { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } /\ u =/= (/) /\ [ C.] Or u ) -> U. u e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } ) )
59		zornn0g 9327	. . . . . 6 |- ( ( { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } e. dom card /\ { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } =/= (/) /\ A. u ( ( u C_ { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } /\ u =/= (/) /\ [ C.] Or u ) -> U. u e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } ) ) -> E. s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } A. w e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } -. s C. w )
60	14, 47, 58, 59	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S C. U ) -> E. s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } A. w e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } -. s C. w )
61		psseq1 3694	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( v C. U <-> w C. U ) )
62		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( A e. v <-> A e. w ) )
63	61, 62	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( v = w -> ( ( v C. U /\ A e. v ) <-> ( w C. U /\ A e. w ) ) )
64	63	ralrab 3368	. . . . . 6 |- ( A. w e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } -. s C. w <-> A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) )
65	64	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } A. w e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } -. s C. w <-> E. s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) )
66	60, 65	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ S C. U ) -> E. s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) )
67	66	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( S C. U -> E. s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) )
68		pgpfac1.3	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. (SubGrp ` G ) ( ( s C. U /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) )
69		psseq1 3694	. . . . . . 7 |- ( v = s -> ( v C. U <-> s C. U ) )
70		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( v = s -> ( A e. v <-> A e. s ) )
71	69, 70	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( v = s -> ( ( v C. U /\ A e. v ) <-> ( s C. U /\ A e. s ) ) )
72	71	ralrab 3368	. . . . 5 |- ( A. s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) <-> A. s e. (SubGrp ` G ) ( ( s C. U /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) )
73	68, 72	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> A. s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) )
74		r19.29 3072	. . . . 5 |- ( ( A. s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) /\ E. s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) -> E. s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } ( E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) )
75	71	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } <-> ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) )
76		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = v -> ( S i^i t ) = ( S i^i v ) )
77	76	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = v -> ( ( S i^i t ) = { .0. } <-> ( S i^i v ) = { .0. } ) )
78		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = v -> ( S .(+) t ) = ( S .(+) v ) )
79	78	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = v -> ( ( S .(+) t ) = s <-> ( S .(+) v ) = s ) )
80	77, 79	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( t = v -> ( ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) <-> ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s ) ) )
81	80	cbvrexv 3172	. . . . . . . . 9 |- ( E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) <-> E. v e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s ) )
82		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) -> s C. U )
83	82	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) ) -> s C. U )
84		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) ) -> ( S .(+) v ) = s )
85	84	psseq1d 3699	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) ) -> ( ( S .(+) v ) C. U <-> s C. U ) )
86	83, 85	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) ) -> ( S .(+) v ) C. U )
87		pssdif 3945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S .(+) v ) C. U -> ( U \ ( S .(+) v ) ) =/= (/) )
88		n0 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U \ ( S .(+) v ) ) =/= (/) <-> E. b b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) )
89	87, 88	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S .(+) v ) C. U -> E. b b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) )
90	86, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) ) -> E. b b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) )
91		pgpfac1.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- O = ( od ` G )
92		pgpfac1.e	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- E = (gEx ` G )
93		pgpfac1.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .0. = ( 0g ` G )
94		pgpfac1.l	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .(+) = ( LSSum ` G )
95		pgpfac1.p	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P pGrp G )
96	95	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) /\ b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) ) ) -> P pGrp G )
97	16	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) /\ b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) ) ) -> G e. Abel )
98	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) /\ b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) ) ) -> B e. Fin )
99		pgpfac1.oe	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( O ` A ) = E )
100	99	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) /\ b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) ) ) -> ( O ` A ) = E )
101	22	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) /\ b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) ) ) -> U e. (SubGrp ` G ) )
102	25	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) /\ b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) ) ) -> A e. U )
103		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) /\ b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) ) ) -> v e. (SubGrp ` G ) )
104		simprl1 1106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) /\ b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) ) ) -> ( S i^i v ) = { .0. } )
105	86	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) /\ b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) ) ) -> ( S .(+) v ) C. U )
106	105	pssssd 3704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) /\ b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) ) ) -> ( S .(+) v ) C_ U )
107		simprl3 1108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) /\ b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) ) ) -> A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) )
108	84	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) /\ b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) ) ) -> ( S .(+) v ) = s )
109		psseq1 3694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( S .(+) v ) = s -> ( ( S .(+) v ) C. y <-> s C. y ) )
110	109	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( S .(+) v ) = s -> ( -. ( S .(+) v ) C. y <-> -. s C. y ) )
111	110	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S .(+) v ) = s -> ( ( ( y C. U /\ A e. y ) -> -. ( S .(+) v ) C. y ) <-> ( ( y C. U /\ A e. y ) -> -. s C. y ) ) )
112	111	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S .(+) v ) = s -> ( A. y e. (SubGrp ` G ) ( ( y C. U /\ A e. y ) -> -. ( S .(+) v ) C. y ) <-> A. y e. (SubGrp ` G ) ( ( y C. U /\ A e. y ) -> -. s C. y ) ) )
113		psseq1 3694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = w -> ( y C. U <-> w C. U ) )
114		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = w -> ( A e. y <-> A e. w ) )
115	113, 114	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = w -> ( ( y C. U /\ A e. y ) <-> ( w C. U /\ A e. w ) ) )
116		psseq2 3695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = w -> ( s C. y <-> s C. w ) )
117	116	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = w -> ( -. s C. y <-> -. s C. w ) )
118	115, 117	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = w -> ( ( ( y C. U /\ A e. y ) -> -. s C. y ) <-> ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) )
119	118	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. y e. (SubGrp ` G ) ( ( y C. U /\ A e. y ) -> -. s C. y ) <-> A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) )
120	112, 119	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S .(+) v ) = s -> ( A. y e. (SubGrp ` G ) ( ( y C. U /\ A e. y ) -> -. ( S .(+) v ) C. y ) <-> A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) )
121	108, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) /\ b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) ) ) -> ( A. y e. (SubGrp ` G ) ( ( y C. U /\ A e. y ) -> -. ( S .(+) v ) C. y ) <-> A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) )
122	107, 121	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) /\ b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) ) ) -> A. y e. (SubGrp ` G ) ( ( y C. U /\ A e. y ) -> -. ( S .(+) v ) C. y ) )
123		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) /\ b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) ) ) -> b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) )
124		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
125	27, 15, 5, 91, 92, 93, 94, 96, 97, 98, 100, 101, 102, 103, 104, 106, 122, 123, 124	pgpfac1lem4 18477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) /\ b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) ) ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) )
126	125	expr 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) ) -> ( b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) ) )
127	126	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) ) -> ( E. b b e. ( U \ ( S .(+) v ) ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) ) )
128	90, 127	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) )
129	128	3exp2 1285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( S i^i v ) = { .0. } -> ( ( S .(+) v ) = s -> ( A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) ) ) ) )
130	129	impd 447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) /\ v e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s ) -> ( A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) ) ) )
131	130	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) -> ( E. v e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i v ) = { .0. } /\ ( S .(+) v ) = s ) -> ( A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) ) ) )
132	81, 131	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) -> ( E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) -> ( A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) ) ) )
133	132	impd 447	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( s e. (SubGrp ` G ) /\ ( s C. U /\ A e. s ) ) ) -> ( ( E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) ) )
134	75, 133	sylan2b 492	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } ) -> ( ( E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) ) )
135	134	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } ( E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) /\ A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) ) )
136	74, 135	syl5 34	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A. s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) /\ E. s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) ) )
137	73, 136	mpand 711	. . 3 |- ( ph -> ( E. s e. { v e. (SubGrp ` G ) | ( v C. U /\ A e. v ) } A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. s C. w ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) ) )
138	67, 137	syld 47	. 2 |- ( ph -> ( S C. U -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) ) )
139	93	0subg 17619	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> { .0. } e. (SubGrp ` G ) )
140	18, 139	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> { .0. } e. (SubGrp ` G ) )
141	140	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ S = U ) -> { .0. } e. (SubGrp ` G ) )
142	93	subg0cl 17602	. . . . . . . 8 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. S )
143	30, 142	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> .0. e. S )
144	143	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( ph -> { .0. } C_ S )
145	144	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S = U ) -> { .0. } C_ S )
146		sseqin2 3817	. . . . 5 |- ( { .0. } C_ S <-> ( S i^i { .0. } ) = { .0. } )
147	145, 146	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ S = U ) -> ( S i^i { .0. } ) = { .0. } )
148	94	lsmss2 18081	. . . . . . 7 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ { .0. } e. (SubGrp ` G ) /\ { .0. } C_ S ) -> ( S .(+) { .0. } ) = S )
149	30, 140, 144, 148	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S .(+) { .0. } ) = S )
150	149	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S .(+) { .0. } ) = U <-> S = U ) )
151	150	biimpar 502	. . . 4 |- ( ( ph /\ S = U ) -> ( S .(+) { .0. } ) = U )
152		ineq2 3808	. . . . . . 7 |- ( t = { .0. } -> ( S i^i t ) = ( S i^i { .0. } ) )
153	152	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( t = { .0. } -> ( ( S i^i t ) = { .0. } <-> ( S i^i { .0. } ) = { .0. } ) )
154		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( t = { .0. } -> ( S .(+) t ) = ( S .(+) { .0. } ) )
155	154	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( t = { .0. } -> ( ( S .(+) t ) = U <-> ( S .(+) { .0. } ) = U ) )
156	153, 155	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( t = { .0. } -> ( ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) <-> ( ( S i^i { .0. } ) = { .0. } /\ ( S .(+) { .0. } ) = U ) ) )
157	156	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( { .0. } e. (SubGrp ` G ) /\ ( ( S i^i { .0. } ) = { .0. } /\ ( S .(+) { .0. } ) = U ) ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) )
158	141, 147, 151, 157	syl12anc 1324	. . 3 |- ( ( ph /\ S = U ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) )
159	158	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( S = U -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) ) )
160	27	mrcsscl 16280	. . . . 5 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` B ) /\ { A } C_ U /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( K ` { A } ) C_ U )
161	21, 33, 22, 160	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( K ` { A } ) C_ U )
162	15, 161	syl5eqss 3649	. . 3 |- ( ph -> S C_ U )
163		sspss 3706	. . 3 |- ( S C_ U <-> ( S C. U \/ S = U ) )
164	162, 163	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ( S C. U \/ S = U ) )
165	138, 159, 164	mpjaod 396	1 |- ( ph -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   Or wor 5034   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   [ C.] crpss 6936   Fincfn 7955   cardccrd 8761   Basecbs 15857   0gc0g 16100  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243  ACScacs 16245   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540  SubGrpcsubg 17588   odcod 17944  gExcgex 17945   pGrp cpgp 17946   LSSumclsm 18049   Abelcabl 18194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-ga 17723  df-cntz 17750  df-od 17948  df-gex 17949  df-pgp 17950  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196

This theorem is referenced by:  pgpfac1  18479