Theorem fiss 8330

Description: Subset relationship for function fi. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiss	|- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( fi ` A ) C_ ( fi ` B ) )

Proof of Theorem fiss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3610	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( B C_ y -> A C_ y ) )
2	1	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( B C_ y -> A C_ y ) )
3	2	anim1d 588	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( ( B C_ y /\ A. x e. y A. z e. y ( x i^i z ) e. y ) -> ( A C_ y /\ A. x e. y A. z e. y ( x i^i z ) e. y ) ) )
4	3	ss2abdv 3675	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> { y | ( B C_ y /\ A. x e. y A. z e. y ( x i^i z ) e. y ) } C_ { y | ( A C_ y /\ A. x e. y A. z e. y ( x i^i z ) e. y ) } )
5		intss 4498	. . 3 |- ( { y | ( B C_ y /\ A. x e. y A. z e. y ( x i^i z ) e. y ) } C_ { y | ( A C_ y /\ A. x e. y A. z e. y ( x i^i z ) e. y ) } -> |^| { y | ( A C_ y /\ A. x e. y A. z e. y ( x i^i z ) e. y ) } C_ |^| { y | ( B C_ y /\ A. x e. y A. z e. y ( x i^i z ) e. y ) } )
6	4, 5	syl 17	. 2 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> |^| { y | ( A C_ y /\ A. x e. y A. z e. y ( x i^i z ) e. y ) } C_ |^| { y | ( B C_ y /\ A. x e. y A. z e. y ( x i^i z ) e. y ) } )
7		ssexg 4804	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. _V )
8	7	ancoms 469	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> A e. _V )
9		dffi2 8329	. . 3 |- ( A e. _V -> ( fi ` A ) = |^| { y | ( A C_ y /\ A. x e. y A. z e. y ( x i^i z ) e. y ) } )
10	8, 9	syl 17	. 2 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( fi ` A ) = |^| { y | ( A C_ y /\ A. x e. y A. z e. y ( x i^i z ) e. y ) } )
11		dffi2 8329	. . 3 |- ( B e. V -> ( fi ` B ) = |^| { y | ( B C_ y /\ A. x e. y A. z e. y ( x i^i z ) e. y ) } )
12	11	adantr 481	. 2 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( fi ` B ) = |^| { y | ( B C_ y /\ A. x e. y A. z e. y ( x i^i z ) e. y ) } )
13	6, 10, 12	3sstr4d 3648	1 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( fi ` A ) C_ ( fi ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   |^|cint 4475   ` cfv 5888   ficfi 8316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317

This theorem is referenced by:  fipwuni  8332  elfiun  8336  tgfiss  20795  ordtbas  20996  leordtval2  21016  lecldbas  21023  2ndcsb  21252  ptbasfi  21384  fclscmpi  21833  prdsxmslem2  22334