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Theorem gsmsymgrfixlem1 17847
Description: Lemma 1 for gsmsymgrfix 17848. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s |- S = ( SymGrp ` N )
gsmsymgrfix.b |- B = ( Base ` S )
Assertion
Ref Expression
gsmsymgrfixlem1 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) + 1 ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg ( W ++ <" P "> ) ) ` K ) = K ) )
Distinct variable groups:   B, i   i, K   i, N   P, i   i, W
Allowed substitution hint:   S( i)
Proof of Theorem gsmsymgrfixlem1
StepHypRef Expression
1 lencl 13324 . . . . . . . 8 |- ( W e. Word B -> ( # ` W ) e. NN0 )
2 elnn0uz 11725 . . . . . . . 8 |- ( ( # ` W ) e. NN0 <-> ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
31, 2sylib 208 . . . . . . 7 |- ( W e. Word B -> ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
43adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( W e. Word B /\ P e. B ) -> ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
543ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
6 fzosplitsn 12576 . . . . 5 |- ( ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0..^ ( ( # ` W ) + 1 ) ) = ( ( 0..^ ( # ` W ) ) u. { ( # ` W ) } ) )
75, 6syl 17 . . . 4 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( 0..^ ( ( # ` W ) + 1 ) ) = ( ( 0..^ ( # ` W ) ) u. { ( # ` W ) } ) )
87raleqdv 3144 . . 3 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) + 1 ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K <-> A. i e. ( ( 0..^ ( # ` W ) ) u. { ( # ` W ) } ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K ) )
91adantr 481 . . . . 5 |- ( ( W e. Word B /\ P e. B ) -> ( # ` W ) e. NN0 )
1093ad2ant1 1082 . . . 4 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( # ` W ) e. NN0 )
11 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( i = ( # ` W ) -> ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) = ( ( W ++ <" P "> ) ` ( # ` W ) ) )
1211fveq1d 6193 . . . . . 6 |- ( i = ( # ` W ) -> ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = ( ( ( W ++ <" P "> ) ` ( # ` W ) ) ` K ) )
1312eqeq1d 2624 . . . . 5 |- ( i = ( # ` W ) -> ( ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K <-> ( ( ( W ++ <" P "> ) ` ( # ` W ) ) ` K ) = K ) )
1413ralunsn 4422 . . . 4 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( A. i e. ( ( 0..^ ( # ` W ) ) u. { ( # ` W ) } ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K <-> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K /\ ( ( ( W ++ <" P "> ) ` ( # ` W ) ) ` K ) = K ) ) )
1510, 14syl 17 . . 3 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( A. i e. ( ( 0..^ ( # ` W ) ) u. { ( # ` W ) } ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K <-> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K /\ ( ( ( W ++ <" P "> ) ` ( # ` W ) ) ` K ) = K ) ) )
168, 15bitrd 268 . 2 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) + 1 ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K <-> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K /\ ( ( ( W ++ <" P "> ) ` ( # ` W ) ) ` K ) = K ) ) )
17 simpl 473 . . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word B /\ P e. B ) -> W e. Word B )
18 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word B /\ P e. B ) -> P e. B )
19 eqidd 2623 . . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word B /\ P e. B ) -> ( # ` W ) = ( # ` W ) )
2017, 18, 193jca 1242 . . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word B /\ P e. B ) -> ( W e. Word B /\ P e. B /\ ( # ` W ) = ( # ` W ) ) )
2120adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) ) -> ( W e. Word B /\ P e. B /\ ( # ` W ) = ( # ` W ) ) )
22 ccats1val2 13404 . . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word B /\ P e. B /\ ( # ` W ) = ( # ` W ) ) -> ( ( W ++ <" P "> ) ` ( # ` W ) ) = P )
2322fveq1d 6193 . . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word B /\ P e. B /\ ( # ` W ) = ( # ` W ) ) -> ( ( ( W ++ <" P "> ) ` ( # ` W ) ) ` K ) = ( P ` K ) )
2423eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( ( W e. Word B /\ P e. B /\ ( # ` W ) = ( # ` W ) ) -> ( ( ( ( W ++ <" P "> ) ` ( # ` W ) ) ` K ) = K <-> ( P ` K ) = K ) )
2521, 24syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) ) -> ( ( ( ( W ++ <" P "> ) ` ( # ` W ) ) ` K ) = K <-> ( P ` K ) = K ) )
26253adant3 1081 . . . . 5 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( ( ( ( W ++ <" P "> ) ` ( # ` W ) ) ` K ) = K <-> ( P ` K ) = K ) )
27 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ K e. N ) -> N e. Fin )
2827adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) ) -> N e. Fin )
2917adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) ) -> W e. Word B )
3018adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) ) -> P e. B )
3128, 29, 303jca 1242 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) ) -> ( N e. Fin /\ W e. Word B /\ P e. B ) )
32313adant3 1081 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( N e. Fin /\ W e. Word B /\ P e. B ) )
3332adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) /\ ( ( P ` K ) = K /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K ) ) -> ( N e. Fin /\ W e. Word B /\ P e. B ) )
34 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . 10 |- S = ( SymGrp ` N )
35 gsmsymgrfix.b . . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` S )
3634, 35gsumccatsymgsn 17846 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ W e. Word B /\ P e. B ) -> ( S gsumg ( W ++ <" P "> ) ) = ( ( S gsumg W ) o. P ) )
3736fveq1d 6193 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ W e. Word B /\ P e. B ) -> ( ( S gsumg ( W ++ <" P "> ) ) ` K ) = ( ( ( S gsumg W ) o. P ) ` K ) )
3833, 37syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) /\ ( ( P ` K ) = K /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K ) ) -> ( ( S gsumg ( W ++ <" P "> ) ) ` K ) = ( ( ( S gsumg W ) o. P ) ` K ) )
3934, 35symgbasf 17804 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. B -> P : N --> N )
40 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( P : N --> N -> P Fn N )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. B -> P Fn N )
4241adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word B /\ P e. B ) -> P Fn N )
43 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ K e. N ) -> K e. N )
4442, 43anim12i 590 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) ) -> ( P Fn N /\ K e. N ) )
45443adant3 1081 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( P Fn N /\ K e. N ) )
4645adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) /\ ( ( P ` K ) = K /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K ) ) -> ( P Fn N /\ K e. N ) )
47 fvco2 6273 . . . . . . . 8 |- ( ( P Fn N /\ K e. N ) -> ( ( ( S gsumg W ) o. P ) ` K ) = ( ( S gsumg W ) ` ( P ` K ) ) )
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) /\ ( ( P ` K ) = K /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K ) ) -> ( ( ( S gsumg W ) o. P ) ` K ) = ( ( S gsumg W ) ` ( P ` K ) ) )
49 fveq2 6191 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` ( P ` K ) ) = ( ( S gsumg W ) ` K ) )
5049adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ` K ) = K /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K ) -> ( ( S gsumg W ) ` ( P ` K ) ) = ( ( S gsumg W ) ` K ) )
5150adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) /\ ( ( P ` K ) = K /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K ) ) -> ( ( S gsumg W ) ` ( P ` K ) ) = ( ( S gsumg W ) ` K ) )
5229adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> W e. Word B )
5330adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> P e. B )
54 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) )
55 ccats1val1 13403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( W e. Word B /\ P e. B /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) = ( W ` i ) )
5652, 53, 54, 55syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) = ( W ` i ) )
5756fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = ( ( W ` i ) ` K ) )
5857eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K <-> ( ( W ` i ) ` K ) = K ) )
5958ralbidva 2985 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K <-> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K ) )
6059biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K -> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K ) )
6160adantld 483 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) ) -> ( ( ( P ` K ) = K /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K ) )
62613adant3 1081 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( ( ( P ` K ) = K /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K ) )
63 simp3 1063 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) )
6462, 63syld 47 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( ( ( P ` K ) = K /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K ) -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) )
6564imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) /\ ( ( P ` K ) = K /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K ) ) -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K )
6651, 65eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) /\ ( ( P ` K ) = K /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K ) ) -> ( ( S gsumg W ) ` ( P ` K ) ) = K )
6738, 48, 663eqtrd 2660 . . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) /\ ( ( P ` K ) = K /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K ) ) -> ( ( S gsumg ( W ++ <" P "> ) ) ` K ) = K )
6867exp32 631 . . . . 5 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( ( P ` K ) = K -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg ( W ++ <" P "> ) ) ` K ) = K ) ) )
6926, 68sylbid 230 . . . 4 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( ( ( ( W ++ <" P "> ) ` ( # ` W ) ) ` K ) = K -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg ( W ++ <" P "> ) ) ` K ) = K ) ) )
7069com23 86 . . 3 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K -> ( ( ( ( W ++ <" P "> ) ` ( # ` W ) ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg ( W ++ <" P "> ) ) ` K ) = K ) ) )
7170impd 447 . 2 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K /\ ( ( ( W ++ <" P "> ) ` ( # ` W ) ) ` K ) = K ) -> ( ( S gsumg ( W ++ <" P "> ) ) ` K ) = K ) )
7216, 71sylbid 230 1 |- ( ( ( W e. Word B /\ P e. B ) /\ ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( W ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg W ) ` K ) = K ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) + 1 ) ) ( ( ( W ++ <" P "> ) ` i ) ` K ) = K -> ( ( S gsumg ( W ++ <" P "> ) ) ` K ) = K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   {csn 4177   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   <"cs1 13294   Basecbs 15857   gsumg cgsu 16101   SymGrpcsymg 17797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-symg 17798
This theorem is referenced by:  gsmsymgrfix  17848
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