Theorem hmeores 21574

Description: The restriction of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hmeores.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
hmeores	|- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Homeo ( K ↾t ( F " Y ) ) ) )

Proof of Theorem hmeores

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 21563	. . . . 5 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> F e. ( J Cn K ) )
3		hmeores.1	. . . . 5 |- X = U. J
4	3	cnrest 21089	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) )
5	2, 4	sylancom 701	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) )
6		cntop2 21045	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
7	2, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> K e. Top )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. K = U. K
9	8	toptopon 20722	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
10	7, 9	sylib 208	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
11		df-ima 5127	. . . . . 6 |- ( F " Y ) = ran ( F |` Y )
12	11	eqimss2i 3660	. . . . 5 |- ran ( F |` Y ) C_ ( F " Y )
13	12	a1i 11	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran ( F |` Y ) C_ ( F " Y ) )
14		imassrn 5477	. . . . 5 |- ( F " Y ) C_ ran F
15	3, 8	cnf 21050	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> U. K )
16	2, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> F : X --> U. K )
17		frn 6053	. . . . . 6 |- ( F : X --> U. K -> ran F C_ U. K )
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran F C_ U. K )
19	14, 18	syl5ss 3614	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F " Y ) C_ U. K )
20		cnrest2 21090	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ran ( F |` Y ) C_ ( F " Y ) /\ ( F " Y ) C_ U. K ) -> ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) <-> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) ) )
21	10, 13, 19, 20	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) <-> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) ) )
22	5, 21	mpbid 222	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) )
23		hmeocnvcn 21564	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
24	23	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
25	8, 3	cnf 21050	. . . . 5 |- ( `' F e. ( K Cn J ) -> `' F : U. K --> X )
26		ffun 6048	. . . . 5 |- ( `' F : U. K --> X -> Fun `' F )
27		funcnvres 5967	. . . . 5 |- ( Fun `' F -> `' ( F |` Y ) = ( `' F |` ( F " Y ) ) )
28	24, 25, 26, 27	4syl 19	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' ( F |` Y ) = ( `' F |` ( F " Y ) ) )
29	8	cnrest 21089	. . . . 5 |- ( ( `' F e. ( K Cn J ) /\ ( F " Y ) C_ U. K ) -> ( `' F |` ( F " Y ) ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) )
30	24, 19, 29	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( `' F |` ( F " Y ) ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) )
31	28, 30	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) )
32		cntop1 21044	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
33	2, 32	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> J e. Top )
34	3	toptopon 20722	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
35	33, 34	sylib 208	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
36		dfdm4 5316	. . . . . 6 |- dom ( F |` Y ) = ran `' ( F |` Y )
37		fssres 6070	. . . . . . . 8 |- ( ( F : X --> U. K /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) : Y --> U. K )
38	16, 37	sylancom 701	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) : Y --> U. K )
39		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( ( F |` Y ) : Y --> U. K -> dom ( F |` Y ) = Y )
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> dom ( F |` Y ) = Y )
41	36, 40	syl5eqr 2670	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran `' ( F |` Y ) = Y )
42		eqimss 3657	. . . . 5 |- ( ran `' ( F |` Y ) = Y -> ran `' ( F |` Y ) C_ Y )
43	41, 42	syl 17	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ran `' ( F |` Y ) C_ Y )
44		simpr 477	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> Y C_ X )
45		cnrest2 21090	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ran `' ( F |` Y ) C_ Y /\ Y C_ X ) -> ( `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) <-> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) ) )
46	35, 43, 44, 45	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn J ) <-> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) ) )
47	31, 46	mpbid 222	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) )
48		ishmeo 21562	. 2 |- ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Homeo ( K ↾t ( F " Y ) ) ) <-> ( ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn ( K ↾t ( F " Y ) ) ) /\ `' ( F |` Y ) e. ( ( K ↾t ( F " Y ) ) Cn ( J ↾t Y ) ) ) )
49	22, 47, 48	sylanbrc 698	1 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ Y C_ X ) -> ( F |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Homeo ( K ↾t ( F " Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Homeochmeo 21556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-hmeo 21558

This theorem is referenced by:  cvmsss2  31256