Theorem imasless 16200

Description: The order relation defined on an image set is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasless.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasless.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasless.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasless.r	|- ( ph -> R e. Z )
imasless.l	|- .<_ = ( le ` U )

Assertion

Ref	Expression
imasless	|- ( ph -> .<_ C_ ( B X. B ) )

Proof of Theorem imasless

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasless.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imasless.v	. . 3 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imasless.f	. . 3 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
4		imasless.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Z )
5		eqid 2622	. . 3 |- ( le ` R ) = ( le ` R )
6		imasless.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` U )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	imasle 16183	. 2 |- ( ph -> .<_ = ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) )
8		relco 5633	. . . 4 |- Rel ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F )
9		relssdmrn 5656	. . . 4 |- ( Rel ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) -> ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) C_ ( dom ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) C_ ( dom ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) )
11		dmco 5643	. . . . 5 |- dom ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) = ( `' `' F " dom ( F o. ( le ` R ) ) )
12		fof 6115	. . . . . . . . 9 |- ( F : V -onto-> B -> F : V --> B )
13		frel 6050	. . . . . . . . 9 |- ( F : V --> B -> Rel F )
14	3, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Rel F )
15		dfrel2 5583	. . . . . . . 8 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
16	14, 15	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> `' `' F = F )
17	16	imaeq1d 5465	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' `' F " dom ( F o. ( le ` R ) ) ) = ( F " dom ( F o. ( le ` R ) ) ) )
18		imassrn 5477	. . . . . . 7 |- ( F " dom ( F o. ( le ` R ) ) ) C_ ran F
19		forn 6118	. . . . . . . 8 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
20	3, 19	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran F = B )
21	18, 20	syl5sseq 3653	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F " dom ( F o. ( le ` R ) ) ) C_ B )
22	17, 21	eqsstrd 3639	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' `' F " dom ( F o. ( le ` R ) ) ) C_ B )
23	11, 22	syl5eqss 3649	. . . 4 |- ( ph -> dom ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) C_ B )
24		rncoss 5386	. . . . 5 |- ran ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) C_ ran ( F o. ( le ` R ) )
25		rnco2 5642	. . . . . 6 |- ran ( F o. ( le ` R ) ) = ( F " ran ( le ` R ) )
26		imassrn 5477	. . . . . . 7 |- ( F " ran ( le ` R ) ) C_ ran F
27	26, 20	syl5sseq 3653	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F " ran ( le ` R ) ) C_ B )
28	25, 27	syl5eqss 3649	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( F o. ( le ` R ) ) C_ B )
29	24, 28	syl5ss 3614	. . . 4 |- ( ph -> ran ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) C_ B )
30		xpss12 5225	. . . 4 |- ( ( dom ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) C_ B /\ ran ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) C_ B ) -> ( dom ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) ) C_ ( B X. B ) )
31	23, 29, 30	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( dom ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) ) C_ ( B X. B ) )
32	10, 31	syl5ss 3614	. 2 |- ( ph -> ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) C_ ( B X. B ) )
33	7, 32	eqsstrd 3639	1 |- ( ph -> .<_ C_ ( B X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   "_s cimas 16164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-imas 16168

This theorem is referenced by:  xpsless  16240