Theorem imasleval 16201

Description: The value of the image structure's ordering when the order is compatible with the mapping function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasless.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasless.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasless.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasless.r	|- ( ph -> R e. Z )
imasless.l	|- .<_ = ( le ` U )
imasleval.n	|- N = ( le ` R )
imasleval.e	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` c ) /\ ( F ` b ) = ( F ` d ) ) -> ( a N b <-> c N d ) ) )

Assertion

Ref	Expression
imasleval	|- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) <-> X N Y ) )

Distinct variable groups:   c, d, .<_   a, b, c, d, F   N, a, b, c, d   V, a, b, c, d   Y, d   ph, a, b, c, d   X, c, d

Allowed substitution hints:   B( a, b, c, d)   R( a, b, c, d)   U( a, b, c, d)   .<_ ( a, b)   X( a, b)   Y( a, b, c)   Z( a, b, c, d)

Proof of Theorem imasleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( c = X -> ( F ` c ) = ( F ` X ) )
2	1	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( c = X -> ( ( F ` c ) .<_ ( F ` d ) <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` d ) ) )
3		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( c = X -> ( c N d <-> X N d ) )
4	2, 3	bibi12d 335	. . . . 5 |- ( c = X -> ( ( ( F ` c ) .<_ ( F ` d ) <-> c N d ) <-> ( ( F ` X ) .<_ ( F ` d ) <-> X N d ) ) )
5	4	imbi2d 330	. . . 4 |- ( c = X -> ( ( ph -> ( ( F ` c ) .<_ ( F ` d ) <-> c N d ) ) <-> ( ph -> ( ( F ` X ) .<_ ( F ` d ) <-> X N d ) ) ) )
6		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( d = Y -> ( F ` d ) = ( F ` Y ) )
7	6	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( d = Y -> ( ( F ` X ) .<_ ( F ` d ) <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) )
8		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( d = Y -> ( X N d <-> X N Y ) )
9	7, 8	bibi12d 335	. . . . 5 |- ( d = Y -> ( ( ( F ` X ) .<_ ( F ` d ) <-> X N d ) <-> ( ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) <-> X N Y ) ) )
10	9	imbi2d 330	. . . 4 |- ( d = Y -> ( ( ph -> ( ( F ` X ) .<_ ( F ` d ) <-> X N d ) ) <-> ( ph -> ( ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) <-> X N Y ) ) ) )
11		imasless.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
12		fofn 6117	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : V -onto-> B -> F Fn V )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F Fn V )
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> F Fn V )
15		fndm 5990	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn V -> dom F = V )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> dom F = V )
17	16	rexeqdv 3145	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> ( E. a e. dom F ( a F ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) <-> E. a e. V ( a F ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) ) )
18		fnbrfvb 6236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn V /\ a e. V ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` c ) <-> a F ( F ` c ) ) )
19	14, 18	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` c ) <-> a F ( F ` c ) ) )
20	19	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) <-> ( a F ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) ) )
21		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a N b /\ b F ( F ` d ) ) <-> ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) )
22		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- b e. _V
23		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F ` d ) e. _V
24	22, 23	breldm 5329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b F ( F ` d ) -> b e. dom F )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) -> b e. dom F )
26	25	pm4.71ri 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) <-> ( b e. dom F /\ ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) ) )
27	21, 26	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a N b /\ b F ( F ` d ) ) <-> ( b e. dom F /\ ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) ) )
28	27	exbii 1774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. b ( a N b /\ b F ( F ` d ) ) <-> E. b ( b e. dom F /\ ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) ) )
29		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- a e. _V
30	29, 23	brco 5292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a ( F o. N ) ( F ` d ) <-> E. b ( a N b /\ b F ( F ` d ) ) )
31		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. b e. dom F ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) <-> E. b ( b e. dom F /\ ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) ) )
32	28, 30, 31	3bitr4i 292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a ( F o. N ) ( F ` d ) <-> E. b e. dom F ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) )
33	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) /\ ( F ` a ) = ( F ` c ) ) -> F Fn V )
34		fnbrfvb 6236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F Fn V /\ b e. V ) -> ( ( F ` b ) = ( F ` d ) <-> b F ( F ` d ) ) )
35	33, 34	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) /\ ( F ` a ) = ( F ` c ) ) /\ b e. V ) -> ( ( F ` b ) = ( F ` d ) <-> b F ( F ` d ) ) )
36	35	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) /\ ( F ` a ) = ( F ` c ) ) /\ b e. V ) -> ( ( ( F ` b ) = ( F ` d ) /\ a N b ) <-> ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) ) )
37		imasleval.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` c ) /\ ( F ` b ) = ( F ` d ) ) -> ( a N b <-> c N d ) ) )
38	37	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` c ) /\ ( F ` b ) = ( F ` d ) ) -> ( a N b <-> c N d ) ) )
39	38	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` c ) /\ ( F ` b ) = ( F ` d ) ) -> ( a N b <-> c N d ) ) )
40	39	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` c ) /\ ( F ` b ) = ( F ` d ) ) -> ( a N b <-> c N d ) ) )
41	40	impl 650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) /\ ( F ` a ) = ( F ` c ) ) /\ ( F ` b ) = ( F ` d ) ) -> ( a N b <-> c N d ) )
42	41	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) /\ ( F ` a ) = ( F ` c ) ) -> ( ( ( F ` b ) = ( F ` d ) /\ a N b ) <-> ( ( F ` b ) = ( F ` d ) /\ c N d ) ) )
43	42	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) /\ ( F ` a ) = ( F ` c ) ) /\ b e. V ) -> ( ( ( F ` b ) = ( F ` d ) /\ a N b ) <-> ( ( F ` b ) = ( F ` d ) /\ c N d ) ) )
44	36, 43	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) /\ ( F ` a ) = ( F ` c ) ) /\ b e. V ) -> ( ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) <-> ( ( F ` b ) = ( F ` d ) /\ c N d ) ) )
45	44	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) /\ ( F ` a ) = ( F ` c ) ) -> ( E. b e. V ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) <-> E. b e. V ( ( F ` b ) = ( F ` d ) /\ c N d ) ) )
46		r19.41v 3089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. b e. V ( ( F ` b ) = ( F ` d ) /\ c N d ) <-> ( E. b e. V ( F ` b ) = ( F ` d ) /\ c N d ) )
47	45, 46	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) /\ ( F ` a ) = ( F ` c ) ) -> ( E. b e. V ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) <-> ( E. b e. V ( F ` b ) = ( F ` d ) /\ c N d ) ) )
48	16	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> ( E. b e. dom F ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) <-> E. b e. V ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) ) )
49	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) /\ ( F ` a ) = ( F ` c ) ) -> ( E. b e. dom F ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) <-> E. b e. V ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) ) )
50		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> d e. V )
51		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F ` d ) = ( F ` d )
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = d -> ( F ` b ) = ( F ` d ) )
53	52	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = d -> ( ( F ` b ) = ( F ` d ) <-> ( F ` d ) = ( F ` d ) ) )
54	53	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( d e. V /\ ( F ` d ) = ( F ` d ) ) -> E. b e. V ( F ` b ) = ( F ` d ) )
55	50, 51, 54	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> E. b e. V ( F ` b ) = ( F ` d ) )
56	55	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> ( c N d <-> ( E. b e. V ( F ` b ) = ( F ` d ) /\ c N d ) ) )
57	56	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) /\ ( F ` a ) = ( F ` c ) ) -> ( c N d <-> ( E. b e. V ( F ` b ) = ( F ` d ) /\ c N d ) ) )
58	47, 49, 57	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) /\ ( F ` a ) = ( F ` c ) ) -> ( E. b e. dom F ( b F ( F ` d ) /\ a N b ) <-> c N d ) )
59	32, 58	syl5bb 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) /\ ( F ` a ) = ( F ` c ) ) -> ( a ( F o. N ) ( F ` d ) <-> c N d ) )
60	59	pm5.32da 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) <-> ( ( F ` a ) = ( F ` c ) /\ c N d ) ) )
61	20, 60	bitr3d 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) /\ a e. V ) -> ( ( a F ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) <-> ( ( F ` a ) = ( F ` c ) /\ c N d ) ) )
62	61	rexbidva 3049	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> ( E. a e. V ( a F ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) <-> E. a e. V ( ( F ` a ) = ( F ` c ) /\ c N d ) ) )
63	17, 62	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> ( E. a e. dom F ( a F ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) <-> E. a e. V ( ( F ` a ) = ( F ` c ) /\ c N d ) ) )
64		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ` c ) e. _V
65	64, 29	brcnv 5305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` c ) `' F a <-> a F ( F ` c ) )
66	65	anbi1i 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` c ) `' F a /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) <-> ( a F ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) )
67	29, 64	breldm 5329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a F ( F ` c ) -> a e. dom F )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a F ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) -> a e. dom F )
69	68	pm4.71ri 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a F ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) <-> ( a e. dom F /\ ( a F ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) ) )
70	66, 69	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` c ) `' F a /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) <-> ( a e. dom F /\ ( a F ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) ) )
71	70	exbii 1774	. . . . . . . 8 |- ( E. a ( ( F ` c ) `' F a /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) <-> E. a ( a e. dom F /\ ( a F ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) ) )
72	64, 23	brco 5292	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` c ) ( ( F o. N ) o. `' F ) ( F ` d ) <-> E. a ( ( F ` c ) `' F a /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) )
73		df-rex 2918	. . . . . . . 8 |- ( E. a e. dom F ( a F ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) <-> E. a ( a e. dom F /\ ( a F ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) ) )
74	71, 72, 73	3bitr4ri 293	. . . . . . 7 |- ( E. a e. dom F ( a F ( F ` c ) /\ a ( F o. N ) ( F ` d ) ) <-> ( F ` c ) ( ( F o. N ) o. `' F ) ( F ` d ) )
75		r19.41v 3089	. . . . . . 7 |- ( E. a e. V ( ( F ` a ) = ( F ` c ) /\ c N d ) <-> ( E. a e. V ( F ` a ) = ( F ` c ) /\ c N d ) )
76	63, 74, 75	3bitr3g 302	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> ( ( F ` c ) ( ( F o. N ) o. `' F ) ( F ` d ) <-> ( E. a e. V ( F ` a ) = ( F ` c ) /\ c N d ) ) )
77		imasless.u	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
78		imasless.v	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
79		imasless.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. Z )
80		imasleval.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( le ` R )
81		imasless.l	. . . . . . . . 9 |- .<_ = ( le ` U )
82	77, 78, 11, 79, 80, 81	imasle 16183	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .<_ = ( ( F o. N ) o. `' F ) )
83	82	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> .<_ = ( ( F o. N ) o. `' F ) )
84	83	breqd 4664	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> ( ( F ` c ) .<_ ( F ` d ) <-> ( F ` c ) ( ( F o. N ) o. `' F ) ( F ` d ) ) )
85		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> c e. V )
86		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( F ` c ) = ( F ` c )
87		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( a = c -> ( F ` a ) = ( F ` c ) )
88	87	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( a = c -> ( ( F ` a ) = ( F ` c ) <-> ( F ` c ) = ( F ` c ) ) )
89	88	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. V /\ ( F ` c ) = ( F ` c ) ) -> E. a e. V ( F ` a ) = ( F ` c ) )
90	85, 86, 89	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> E. a e. V ( F ` a ) = ( F ` c ) )
91	90	biantrurd 529	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> ( c N d <-> ( E. a e. V ( F ` a ) = ( F ` c ) /\ c N d ) ) )
92	76, 84, 91	3bitr4d 300	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. V /\ d e. V ) ) -> ( ( F ` c ) .<_ ( F ` d ) <-> c N d ) )
93	92	expcom 451	. . . 4 |- ( ( c e. V /\ d e. V ) -> ( ph -> ( ( F ` c ) .<_ ( F ` d ) <-> c N d ) ) )
94	5, 10, 93	vtocl2ga 3274	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( ph -> ( ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) <-> X N Y ) ) )
95	94	com12 32	. 2 |- ( ph -> ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) <-> X N Y ) ) )
96	95	3impib 1262	1 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) <-> X N Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   "_s cimas 16164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-imas 16168

This theorem is referenced by:  xpsle  16241