Theorem inclfusubc 41867

Description: The "inclusion functor" from a subcategory of a category into the category itself. (Contributed by AV, 30-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
inclfusubc.j	|- ( ph -> J e. (Subcat ` C ) )
inclfusubc.s	|- S = ( C |`cat J )
inclfusubc.b	|- B = ( Base ` S )
inclfusubc.f	|- ( ph -> F = ( _I |` B ) )
inclfusubc.g	|- ( ph -> G = ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( x J y ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
inclfusubc	|- ( ph -> F ( S Func C ) G )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, C, y   x, J, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   F( x, y)   G( x, y)

Proof of Theorem inclfusubc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fthfunc 16567	. . 3 |- ( S Faith C ) C_ ( S Func C )
2		inclfusubc.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (Subcat ` C ) )
3		inclfusubc.s	. . . . 5 |- S = ( C |`cat J )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- (idfunc ` S ) = (idfunc ` S )
5	3, 4	rescfth 16597	. . . 4 |- ( J e. (Subcat ` C ) -> (idfunc ` S ) e. ( S Faith C ) )
6	2, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> (idfunc ` S ) e. ( S Faith C ) )
7	1, 6	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> (idfunc ` S ) e. ( S Func C ) )
8		df-br 4654	. . 3 |- ( F ( S Func C ) G <-> <. F , G >. e. ( S Func C ) )
9		inclfusubc.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F = ( _I |` B ) )
10		inclfusubc.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G = ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( x J y ) ) ) )
11	9, 10	opeq12d 4410	. . . . 5 |- ( ph -> <. F , G >. = <. ( _I |` B ) , ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( x J y ) ) ) >. )
12		inclfusubc.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` S )
13	3, 4, 12	idfusubc 41866	. . . . . 6 |- ( J e. (Subcat ` C ) -> (idfunc ` S ) = <. ( _I |` B ) , ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( x J y ) ) ) >. )
14	2, 13	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> (idfunc ` S ) = <. ( _I |` B ) , ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( x J y ) ) ) >. )
15	11, 14	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ph -> <. F , G >. = (idfunc ` S ) )
16	15	eleq1d 2686	. . 3 |- ( ph -> ( <. F , G >. e. ( S Func C ) <-> (idfunc ` S ) e. ( S Func C ) ) )
17	8, 16	syl5bb 272	. 2 |- ( ph -> ( F ( S Func C ) G <-> (idfunc ` S ) e. ( S Func C ) ) )
18	7, 17	mpbird 247	1 |- ( ph -> F ( S Func C ) G )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653   _I cid 5023   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857   |`_cat cresc 16468  Subcatcsubc 16469   Func cfunc 16514  id_funccidfu 16515   Faith cfth 16563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-hom 15966  df-cco 15967  df-cat 16329  df-cid 16330  df-homf 16331  df-ssc 16470  df-resc 16471  df-subc 16472  df-func 16518  df-idfu 16519  df-full 16564  df-fth 16565

This theorem is referenced by:  rngcifuestrc  41997