MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxrre Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem infxrre 12166
Description: The real and extended real infima match when the real infimum exists. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infxrre |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> inf ( A , RR* , < ) = inf ( A , RR , < ) )
Distinct variable group:   x, A, y
Proof of Theorem infxrre
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1061 . . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> A C_ RR )
2 ressxr 10083 . . . 4 |- RR C_ RR*
31, 2syl6ss 3615 . . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> A C_ RR* )
4 infxrcl 12163 . . 3 |- ( A C_ RR* -> inf ( A , RR* , < ) e. RR* )
53, 4syl 17 . 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> inf ( A , RR* , < ) e. RR* )
6 infrecl 11005 . . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
76rexrd 10089 . 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR* )
8 xrleid 11983 . . . 4 |- (inf ( A , RR* , < ) e. RR* -> inf ( A , RR* , < ) <_ inf ( A , RR* , < ) )
95, 8syl 17 . . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> inf ( A , RR* , < ) <_ inf ( A , RR* , < ) )
10 infxrgelb 12165 . . . . 5 |- ( ( A C_ RR* /\ inf ( A , RR* , < ) e. RR* ) -> (inf ( A , RR* , < ) <_ inf ( A , RR* , < ) <-> A. x e. A inf ( A , RR* , < ) <_ x ) )
113, 5, 10syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> (inf ( A , RR* , < ) <_ inf ( A , RR* , < ) <-> A. x e. A inf ( A , RR* , < ) <_ x ) )
12 simp2 1062 . . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> A =/= (/) )
13 n0 3931 . . . . . . 7 |- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A )
1412, 13sylib 208 . . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> E. z z e. A )
155adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) /\ z e. A ) -> inf ( A , RR* , < ) e. RR* )
161sselda 3603 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
17 mnfxr 10096 . . . . . . . . . 10 |- -oo e. RR*
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> -oo e. RR* )
196mnfltd 11958 . . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> -oo < inf ( A , RR , < ) )
206leidd 10594 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> inf ( A , RR , < ) <_ inf ( A , RR , < ) )
21 infregelb 11007 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) /\ inf ( A , RR , < ) e. RR ) -> (inf ( A , RR , < ) <_ inf ( A , RR , < ) <-> A. x e. A inf ( A , RR , < ) <_ x ) )
226, 21mpdan 702 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> (inf ( A , RR , < ) <_ inf ( A , RR , < ) <-> A. x e. A inf ( A , RR , < ) <_ x ) )
23 infxrgelb 12165 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR* /\ inf ( A , RR , < ) e. RR* ) -> (inf ( A , RR , < ) <_ inf ( A , RR* , < ) <-> A. x e. A inf ( A , RR , < ) <_ x ) )
243, 7, 23syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> (inf ( A , RR , < ) <_ inf ( A , RR* , < ) <-> A. x e. A inf ( A , RR , < ) <_ x ) )
2522, 24bitr4d 271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> (inf ( A , RR , < ) <_ inf ( A , RR , < ) <-> inf ( A , RR , < ) <_ inf ( A , RR* , < ) ) )
2620, 25mpbid 222 . . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> inf ( A , RR , < ) <_ inf ( A , RR* , < ) )
2718, 7, 5, 19, 26xrltletrd 11992 . . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> -oo < inf ( A , RR* , < ) )
2827adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) /\ z e. A ) -> -oo < inf ( A , RR* , < ) )
29 infxrlb 12164 . . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR* /\ z e. A ) -> inf ( A , RR* , < ) <_ z )
303, 29sylan 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) /\ z e. A ) -> inf ( A , RR* , < ) <_ z )
31 xrre 12000 . . . . . . 7 |- ( ( (inf ( A , RR* , < ) e. RR* /\ z e. RR ) /\ ( -oo < inf ( A , RR* , < ) /\ inf ( A , RR* , < ) <_ z ) ) -> inf ( A , RR* , < ) e. RR )
3215, 16, 28, 30, 31syl22anc 1327 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) /\ z e. A ) -> inf ( A , RR* , < ) e. RR )
3314, 32exlimddv 1863 . . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> inf ( A , RR* , < ) e. RR )
34 infregelb 11007 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) /\ inf ( A , RR* , < ) e. RR ) -> (inf ( A , RR* , < ) <_ inf ( A , RR , < ) <-> A. x e. A inf ( A , RR* , < ) <_ x ) )
3533, 34mpdan 702 . . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> (inf ( A , RR* , < ) <_ inf ( A , RR , < ) <-> A. x e. A inf ( A , RR* , < ) <_ x ) )
3611, 35bitr4d 271 . . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> (inf ( A , RR* , < ) <_ inf ( A , RR* , < ) <-> inf ( A , RR* , < ) <_ inf ( A , RR , < ) ) )
379, 36mpbid 222 . 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> inf ( A , RR* , < ) <_ inf ( A , RR , < ) )
385, 7, 37, 26xrletrid 11986 1 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> inf ( A , RR* , < ) = inf ( A , RR , < ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653  infcinf 8347   RRcr 9935   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269
This theorem is referenced by:  mbflimsup  23433  infxrrefi  39601  supminfxr  39694  climinf2lem  39938  limsupvaluz2  39970
  Copyright terms: Public domain W3C validator