Theorem mbflimsup 23433

Description: The limit supremum of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbflimsup.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
mbflimsup.2	|- G = ( x e. A |-> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) )
mbflimsup.h	|- H = ( m e. RR |-> sup ( ( ( ( n e. Z |-> B ) " ( m [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) )
mbflimsup.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
mbflimsup.4	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) e. RR )
mbflimsup.5	|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
mbflimsup.6	|- ( ( ph /\ ( n e. Z /\ x e. A ) ) -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
mbflimsup	|- ( ph -> G e. MblFn )

Distinct variable groups:   x, n, A   B, m   ph, n, x   m, M   m, n, x, Z

Allowed substitution hints:   ph( m)   A( m)   B( x, n)   G( x, m, n)   H( x, m, n)   M( x, n)

Proof of Theorem mbflimsup

Dummy variables i k y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbflimsup.2	. . 3 |- G = ( x e. A |-> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) )
2		mbflimsup.h	. . . . . 6 |- H = ( m e. RR |-> sup ( ( ( ( n e. Z |-> B ) " ( m [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) )
3		mbflimsup.1	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- Z e. _V
6	5	mptex 6486	. . . . . . 7 |- ( n e. Z |-> B ) e. _V
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> B ) e. _V )
8		uzssz 11707	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
9	3, 8	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- Z C_ ZZ
10		zssre 11384	. . . . . . . 8 |- ZZ C_ RR
11	9, 10	sstri 3612	. . . . . . 7 |- Z C_ RR
12	11	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Z C_ RR )
13		mbflimsup.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
14	3	uzsup 12662	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
16	15	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
17	2, 7, 12, 16	limsupval2 14211	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) = inf ( ( H " Z ) , RR* , < ) )
18		imassrn 5477	. . . . . . 7 |- ( H " Z ) C_ ran H
19	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> M e. ZZ )
20		mbflimsup.6	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. Z /\ x e. A ) ) -> B e. RR )
21	20	anass1rs 849	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> B e. RR )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. Z |-> B ) = ( n e. Z |-> B )
23	21, 22	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR )
24		mbflimsup.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) e. RR )
25	24	ltpnfd 11955	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) < +oo )
26	2, 3	limsupgre 14212	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR /\ ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) < +oo ) -> H : RR --> RR )
27	19, 23, 25, 26	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> H : RR --> RR )
28		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( H : RR --> RR -> ran H C_ RR )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ran H C_ RR )
30	18, 29	syl5ss 3614	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H " Z ) C_ RR )
31		fdm 6051	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : RR --> RR -> dom H = RR )
32	27, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> dom H = RR )
33	32	ineq1d 3813	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( dom H i^i Z ) = ( RR i^i Z ) )
34		sseqin2 3817	. . . . . . . . . 10 |- ( Z C_ RR <-> ( RR i^i Z ) = Z )
35	11, 34	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- ( RR i^i Z ) = Z
36	33, 35	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( dom H i^i Z ) = Z )
37		uzid 11702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
38	13, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
39	38, 3	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. Z )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> M e. Z )
41		ne0i 3921	. . . . . . . . 9 |- ( M e. Z -> Z =/= (/) )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Z =/= (/) )
43	36, 42	eqnetrd 2861	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( dom H i^i Z ) =/= (/) )
44		imadisj 5484	. . . . . . . 8 |- ( ( H " Z ) = (/) <-> ( dom H i^i Z ) = (/) )
45	44	necon3bii 2846	. . . . . . 7 |- ( ( H " Z ) =/= (/) <-> ( dom H i^i Z ) =/= (/) )
46	43, 45	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H " Z ) =/= (/) )
47	24	leidd 10594	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) )
48	21	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> B e. RR* )
49	48, 22	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR* )
50	24	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) e. RR* )
51	2	limsuple 14209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z C_ RR /\ ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR* /\ ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) e. RR* ) -> ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <-> A. y e. RR ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) ) )
52	12, 49, 50, 51	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <-> A. y e. RR ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) ) )
53	47, 52	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. y e. RR ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) )
54		ssralv 3666	. . . . . . . . 9 |- ( Z C_ RR -> ( A. y e. RR ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) -> A. y e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) ) )
55	11, 53, 54	mpsyl 68	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. y e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) )
56	2	limsupgf 14206	. . . . . . . . . 10 |- H : RR --> RR*
57		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( H : RR --> RR* -> H Fn RR )
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- H Fn RR
59		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( H ` y ) -> ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ z <-> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) ) )
60	59	ralima 6498	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Fn RR /\ Z C_ RR ) -> ( A. z e. ( H " Z ) ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ z <-> A. y e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) ) )
61	58, 12, 60	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. z e. ( H " Z ) ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ z <-> A. y e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) ) )
62	55, 61	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. z e. ( H " Z ) ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ z )
63		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) -> ( y <_ z <-> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ z ) )
64	63	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( y = ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) -> ( A. z e. ( H " Z ) y <_ z <-> A. z e. ( H " Z ) ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ z ) )
65	64	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) e. RR /\ A. z e. ( H " Z ) ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ z ) -> E. y e. RR A. z e. ( H " Z ) y <_ z )
66	24, 62, 65	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. z e. ( H " Z ) y <_ z )
67		infxrre 12166	. . . . . 6 |- ( ( ( H " Z ) C_ RR /\ ( H " Z ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ( H " Z ) y <_ z ) -> inf ( ( H " Z ) , RR* , < ) = inf ( ( H " Z ) , RR , < ) )
68	30, 46, 66, 67	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> inf ( ( H " Z ) , RR* , < ) = inf ( ( H " Z ) , RR , < ) )
69		df-ima 5127	. . . . . . 7 |- ( H " Z ) = ran ( H |` Z )
70	27	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> H = ( i e. RR |-> ( H ` i ) ) )
71	70	reseq1d 5395	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H |` Z ) = ( ( i e. RR |-> ( H ` i ) ) |` Z ) )
72		resmpt 5449	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z C_ RR -> ( ( i e. RR |-> ( H ` i ) ) |` Z ) = ( i e. Z |-> ( H ` i ) ) )
73	11, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. RR |-> ( H ` i ) ) |` Z ) = ( i e. Z |-> ( H ` i ) )
74	71, 73	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H |` Z ) = ( i e. Z |-> ( H ` i ) ) )
75	11	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. Z -> i e. RR )
76		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : RR --> RR /\ i e. RR ) -> ( H ` i ) e. RR )
77	27, 75, 76	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( H ` i ) e. RR )
78	77	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( H ` i ) e. RR* )
79		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ph )
80	3	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` i ) ) -> n e. Z )
81	80	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` i ) ) -> n e. Z )
82		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` i ) ) -> x e. A )
83	79, 81, 82, 20	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` i ) ) -> B e. RR )
84		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) = ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B )
85	83, 84	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) : ( ZZ>= ` i ) --> RR )
86		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) : ( ZZ>= ` i ) --> RR -> ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) C_ RR )
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) C_ RR )
88	84, 83	dmmptd 6024	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> dom ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) = ( ZZ>= ` i ) )
89		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> i e. Z )
90	89, 3	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
91		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( ZZ>= ` M ) -> i e. ZZ )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> i e. ZZ )
93	92	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> i e. ZZ )
94		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ZZ -> i e. ( ZZ>= ` i ) )
95		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( ZZ>= ` i ) -> ( ZZ>= ` i ) =/= (/) )
96	93, 94, 95	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( ZZ>= ` i ) =/= (/) )
97	88, 96	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> dom ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) =/= (/) )
98		dm0rn0 5342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) = (/) <-> ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) = (/) )
99	98	necon3bii 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) =/= (/) <-> ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) =/= (/) )
100	97, 99	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) =/= (/) )
101	90	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
102		uzss 11708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` i ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( ZZ>= ` i ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
104	103, 3	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( ZZ>= ` i ) C_ Z )
105	77	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( H ` i ) <_ ( H ` i ) )
106	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> Z C_ RR )
107	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR* )
108		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> i e. Z )
109	11, 108	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> i e. RR )
110	2	limsupgle 14208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( Z C_ RR /\ ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR* ) /\ i e. RR /\ ( H ` i ) e. RR* ) -> ( ( H ` i ) <_ ( H ` i ) <-> A. k e. Z ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) ) )
111	106, 107, 109, 78, 110	syl211anc 1332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( ( H ` i ) <_ ( H ` i ) <-> A. k e. Z ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) ) )
112	105, 111	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> A. k e. Z ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) )
113		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ZZ>= ` i ) C_ Z -> ( A. k e. Z ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` i ) ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) ) )
114	104, 112, 113	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> A. k e. ( ZZ>= ` i ) ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) )
115	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ZZ>= ` i ) C_ Z )
116	115	resmptd 5452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( n e. Z |-> B ) |` ( ZZ>= ` i ) ) = ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) )
117	116	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( ( n e. Z |-> B ) |` ( ZZ>= ` i ) ) ` k ) = ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) )
118		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( ZZ>= ` i ) -> ( ( ( n e. Z |-> B ) |` ( ZZ>= ` i ) ) ` k ) = ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) )
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( ( n e. Z |-> B ) |` ( ZZ>= ` i ) ) ` k ) = ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) )
120	117, 119	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) = ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) )
121	120	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) <-> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) )
122		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( ZZ>= ` i ) -> i <_ k )
123	122	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> i <_ k )
124		biimt 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i <_ k -> ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) <-> ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) ) )
125	123, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) <-> ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) ) )
126	121, 125	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) <-> ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) ) )
127	126	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` i ) ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` i ) ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) ) )
128	114, 127	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> A. k e. ( ZZ>= ` i ) ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) )
129		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) : ( ZZ>= ` i ) --> RR -> ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) Fn ( ZZ>= ` i ) )
130		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) -> ( z <_ ( H ` i ) <-> ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) )
131	130	ralrn 6362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) Fn ( ZZ>= ` i ) -> ( A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ ( H ` i ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` i ) ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) )
132	85, 129, 131	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ ( H ` i ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` i ) ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) )
133	128, 132	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ ( H ` i ) )
134		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( H ` i ) -> ( z <_ y <-> z <_ ( H ` i ) ) )
135	134	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( H ` i ) -> ( A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y <-> A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ ( H ` i ) ) )
136	135	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( H ` i ) e. RR /\ A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ ( H ` i ) ) -> E. y e. RR A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y )
137	77, 133, 136	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> E. y e. RR A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y )
138		suprcl 10983	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) C_ RR /\ ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y ) -> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) e. RR )
139	87, 100, 137, 138	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) e. RR )
140	139	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) e. RR* )
141	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) C_ RR )
142	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) =/= (/) )
143	137	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> E. y e. RR A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y )
144	9	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
145		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ZZ>= ` i ) <-> i <_ k ) )
146	93, 144, 145	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( k e. ( ZZ>= ` i ) <-> i <_ k ) )
147	146	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( i <_ k -> k e. ( ZZ>= ` i ) ) )
148	147	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> k e. ( ZZ>= ` i ) )
149	148, 120	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) = ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) )
150	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) : ( ZZ>= ` i ) --> RR )
151	150, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) Fn ( ZZ>= ` i ) )
152		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) Fn ( ZZ>= ` i ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) )
153	151, 148, 152	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) )
154	149, 153	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) )
155		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) C_ RR /\ ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y ) /\ ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) )
156	141, 142, 143, 154, 155	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) )
157	156	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
158	157	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> A. k e. Z ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
159	2	limsupgle 14208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Z C_ RR /\ ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR* ) /\ i e. RR /\ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) e. RR* ) -> ( ( H ` i ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) <-> A. k e. Z ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) ) )
160	106, 107, 109, 140, 159	syl211anc 1332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( ( H ` i ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) <-> A. k e. Z ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) ) )
161	158, 160	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( H ` i ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) )
162		suprleub 10989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) C_ RR /\ ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y ) /\ ( H ` i ) e. RR ) -> ( sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) <_ ( H ` i ) <-> A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ ( H ` i ) ) )
163	87, 100, 137, 77, 162	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) <_ ( H ` i ) <-> A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ ( H ` i ) ) )
164	133, 163	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) <_ ( H ` i ) )
165	78, 140, 161, 164	xrletrid 11986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( H ` i ) = sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) )
166	165	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( i e. Z |-> ( H ` i ) ) = ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
167	74, 166	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H |` Z ) = ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
168	167	rneqd 5353	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ran ( H |` Z ) = ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
169	69, 168	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H " Z ) = ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
170	169	infeq1d 8383	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> inf ( ( H " Z ) , RR , < ) = inf ( ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) , RR , < ) )
171	17, 68, 170	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) = inf ( ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) , RR , < ) )
172	171	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) ) = ( x e. A |-> inf ( ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) , RR , < ) ) )
173	1, 172	syl5eq 2668	. 2 |- ( ph -> G = ( x e. A |-> inf ( ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) , RR , < ) ) )
174		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. A |-> inf ( ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) , RR , < ) ) = ( x e. A |-> inf ( ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) , RR , < ) )
175		eqid 2622	. . . 4 |- ( ZZ>= ` i ) = ( ZZ>= ` i )
176		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. A |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) = ( x e. A |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) )
177		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ph )
178	80	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` i ) ) -> n e. Z )
179		mbflimsup.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
180	177, 178, 179	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
181		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` i ) /\ x e. A ) ) -> ph )
182	80	ad2ant2lr 784	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` i ) /\ x e. A ) ) -> n e. Z )
183		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` i ) /\ x e. A ) ) -> x e. A )
184	181, 182, 183, 20	syl12anc 1324	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` i ) /\ x e. A ) ) -> B e. RR )
185	83	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> A. n e. ( ZZ>= ` i ) B e. RR )
186		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( z <_ y <-> B <_ y ) )
187	84, 186	ralrnmpt 6368	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` i ) B e. RR -> ( A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y <-> A. n e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) )
188	185, 187	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y <-> A. n e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) )
189	188	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( E. y e. RR A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y <-> E. y e. RR A. n e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) )
190	137, 189	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> E. y e. RR A. n e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y )
191	190	an32s 846	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. n e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y )
192	175, 176, 92, 180, 184, 191	mbfsup 23431	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( x e. A |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) e. MblFn )
193	139	an32s 846	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ x e. A ) -> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) e. RR )
194	193	anasss 679	. . 3 |- ( ( ph /\ ( i e. Z /\ x e. A ) ) -> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) e. RR )
195	2	limsuple 14209	. . . . . . . 8 |- ( ( Z C_ RR /\ ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR* /\ ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) e. RR* ) -> ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <-> A. i e. RR ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` i ) ) )
196	12, 49, 50, 195	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <-> A. i e. RR ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` i ) ) )
197	47, 196	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. i e. RR ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` i ) )
198		ssralv 3666	. . . . . 6 |- ( Z C_ RR -> ( A. i e. RR ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` i ) -> A. i e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` i ) ) )
199	11, 197, 198	mpsyl 68	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. i e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` i ) )
200	165	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` i ) <-> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
201	200	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. i e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` i ) <-> A. i e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
202	199, 201	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. i e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) )
203		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( y = ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) -> ( y <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) <-> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
204	203	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( y = ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) -> ( A. i e. Z y <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) <-> A. i e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
205	204	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) e. RR /\ A. i e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) -> E. y e. RR A. i e. Z y <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) )
206	24, 202, 205	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. i e. Z y <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) )
207	3, 174, 13, 192, 194, 206	mbfinf 23432	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> inf ( ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) , RR , < ) ) e. MblFn )
208	173, 207	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> G e. MblFn )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346  infcinf 8347   RRcr 9935   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   [,)cico 12177   limsupclsp 14201  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388

This theorem is referenced by:  mbflimlem  23434