Theorem climinf2lem 39938

Description: A convergent, non-increasing sequence, converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climinf2lem.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climinf2lem.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climinf2lem.3	|- ( ph -> F : Z --> RR )
climinf2lem.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
climinf2lem.5	|- ( ph -> E. x e. RR A. k e. Z x <_ ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
climinf2lem	|- ( ph -> F ~~> inf ( ran F , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   k, F, x   k, Z, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   M( x, k)

Proof of Theorem climinf2lem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climinf2lem.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climinf2lem.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climinf2lem.3	. . 3 |- ( ph -> F : Z --> RR )
4		climinf2lem.4	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
5		climinf2lem.5	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR A. k e. Z x <_ ( F ` k ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	climinf 39838	. 2 |- ( ph -> F ~~> inf ( ran F , RR , < ) )
7	3	frnd 39426	. . 3 |- ( ph -> ran F C_ RR )
8	3	ffnd 6046	. . . . 5 |- ( ph -> F Fn Z )
9	2, 1	uzidd2 39643	. . . . 5 |- ( ph -> M e. Z )
10		fnfvelrn 6356	. . . . 5 |- ( ( F Fn Z /\ M e. Z ) -> ( F ` M ) e. ran F )
11	8, 9, 10	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` M ) e. ran F )
12	11	ne0d 39308	. . 3 |- ( ph -> ran F =/= (/) )
13		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ran F ) -> y e. ran F )
14		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn Z -> ( y e. ran F <-> E. k e. Z ( F ` k ) = y ) )
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. ran F <-> E. k e. Z ( F ` k ) = y ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ran F ) -> ( y e. ran F <-> E. k e. Z ( F ` k ) = y ) )
17	13, 16	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ran F ) -> E. k e. Z ( F ` k ) = y )
18	17	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. k e. Z x <_ ( F ` k ) ) /\ y e. ran F ) -> E. k e. Z ( F ` k ) = y )
19		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k ph
20		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k A. k e. Z x <_ ( F ` k )
21	19, 20	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( ph /\ A. k e. Z x <_ ( F ` k ) )
22		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k x <_ y
23		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. k e. Z x <_ ( F ` k ) /\ k e. Z ) -> x <_ ( F ` k ) )
24		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x <_ ( F ` k ) /\ ( F ` k ) = y ) -> x <_ ( F ` k ) )
25		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x <_ ( F ` k ) /\ ( F ` k ) = y ) -> ( F ` k ) = y )
26	24, 25	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x <_ ( F ` k ) /\ ( F ` k ) = y ) -> x <_ y )
27	26	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x <_ ( F ` k ) -> ( ( F ` k ) = y -> x <_ y ) )
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. k e. Z x <_ ( F ` k ) /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) = y -> x <_ y ) )
29	28	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. Z x <_ ( F ` k ) -> ( k e. Z -> ( ( F ` k ) = y -> x <_ y ) ) )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A. k e. Z x <_ ( F ` k ) ) -> ( k e. Z -> ( ( F ` k ) = y -> x <_ y ) ) )
31	21, 22, 30	rexlimd 3026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A. k e. Z x <_ ( F ` k ) ) -> ( E. k e. Z ( F ` k ) = y -> x <_ y ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. k e. Z x <_ ( F ` k ) ) /\ y e. ran F ) -> ( E. k e. Z ( F ` k ) = y -> x <_ y ) )
33	18, 32	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. k e. Z x <_ ( F ` k ) ) /\ y e. ran F ) -> x <_ y )
34	33	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. k e. Z x <_ ( F ` k ) ) -> A. y e. ran F x <_ y )
35	34	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. k e. Z x <_ ( F ` k ) ) -> A. y e. ran F x <_ y )
36	35	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. k e. Z x <_ ( F ` k ) -> A. y e. ran F x <_ y ) )
37	36	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR A. k e. Z x <_ ( F ` k ) -> E. x e. RR A. y e. ran F x <_ y ) )
38	5, 37	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. ran F x <_ y )
39		infxrre 12166	. . 3 |- ( ( ran F C_ RR /\ ran F =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. ran F x <_ y ) -> inf ( ran F , RR* , < ) = inf ( ran F , RR , < ) )
40	7, 12, 38, 39	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> inf ( ran F , RR* , < ) = inf ( ran F , RR , < ) )
41	6, 40	breqtrrd 4681	1 |- ( ph -> F ~~> inf ( ran F , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  climinf2  39939