Theorem isepi2 16401

Description: Write out the epimorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isepi.b	|- B = ( Base ` C )
isepi.h	|- H = ( Hom ` C )
isepi.o	|- .x. = (comp ` C )
isepi.e	|- E = (Epi ` C )
isepi.c	|- ( ph -> C e. Cat )
isepi.x	|- ( ph -> X e. B )
isepi.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
isepi2	|- ( ph -> ( F e. ( X E Y ) <-> ( F e. ( X H Y ) /\ A. z e. B A. g e. ( Y H z ) A. h e. ( Y H z ) ( ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) = ( h ( <. X , Y >. .x. z ) F ) -> g = h ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, g, B   C, g, z   g, h, H, z   .x. , g, h, z   g, X, h, z   g, F, h, z   ph, g, z   g, Y, h, z

Allowed substitution hints:   ph( h)   B( h)   C( h)   E( z, g, h)

Proof of Theorem isepi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isepi.b	. . 3 |- B = ( Base ` C )
2		isepi.h	. . 3 |- H = ( Hom ` C )
3		isepi.o	. . 3 |- .x. = (comp ` C )
4		isepi.e	. . 3 |- E = (Epi ` C )
5		isepi.c	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
6		isepi.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
7		isepi.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isepi 16400	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( X E Y ) <-> ( F e. ( X H Y ) /\ A. z e. B Fun `' ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) ) ) )
9	5	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ ( z e. B /\ g e. ( Y H z ) ) ) -> C e. Cat )
10	6	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ ( z e. B /\ g e. ( Y H z ) ) ) -> X e. B )
11	7	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ ( z e. B /\ g e. ( Y H z ) ) ) -> Y e. B )
12		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ ( z e. B /\ g e. ( Y H z ) ) ) -> z e. B )
13		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ ( z e. B /\ g e. ( Y H z ) ) ) -> F e. ( X H Y ) )
14		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ ( z e. B /\ g e. ( Y H z ) ) ) -> g e. ( Y H z ) )
15	1, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14	catcocl 16346	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ ( z e. B /\ g e. ( Y H z ) ) ) -> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) e. ( X H z ) )
16	15	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ z e. B ) /\ g e. ( Y H z ) ) -> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) e. ( X H z ) )
17	16	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ z e. B ) -> A. g e. ( Y H z ) ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) e. ( X H z ) )
18		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) = ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) )
19	18	fmpt 6381	. . . . . . 7 |- ( A. g e. ( Y H z ) ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) e. ( X H z ) <-> ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z ) )
20		df-f1 5893	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z ) <-> ( ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z ) /\ Fun `' ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) ) )
21	20	baib 944	. . . . . . 7 |- ( ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z ) -> ( ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z ) <-> Fun `' ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) ) )
22	19, 21	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( A. g e. ( Y H z ) ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) e. ( X H z ) -> ( ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z ) <-> Fun `' ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) ) )
23		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( g = h -> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) = ( h ( <. X , Y >. .x. z ) F ) )
24	18, 23	f1mpt 6518	. . . . . . 7 |- ( ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z ) <-> ( A. g e. ( Y H z ) ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) e. ( X H z ) /\ A. g e. ( Y H z ) A. h e. ( Y H z ) ( ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) = ( h ( <. X , Y >. .x. z ) F ) -> g = h ) ) )
25	24	baib 944	. . . . . 6 |- ( A. g e. ( Y H z ) ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) e. ( X H z ) -> ( ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z ) <-> A. g e. ( Y H z ) A. h e. ( Y H z ) ( ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) = ( h ( <. X , Y >. .x. z ) F ) -> g = h ) ) )
26	22, 25	bitr3d 270	. . . . 5 |- ( A. g e. ( Y H z ) ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) e. ( X H z ) -> ( Fun `' ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) <-> A. g e. ( Y H z ) A. h e. ( Y H z ) ( ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) = ( h ( <. X , Y >. .x. z ) F ) -> g = h ) ) )
27	17, 26	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ z e. B ) -> ( Fun `' ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) <-> A. g e. ( Y H z ) A. h e. ( Y H z ) ( ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) = ( h ( <. X , Y >. .x. z ) F ) -> g = h ) ) )
28	27	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) -> ( A. z e. B Fun `' ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) <-> A. z e. B A. g e. ( Y H z ) A. h e. ( Y H z ) ( ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) = ( h ( <. X , Y >. .x. z ) F ) -> g = h ) ) )
29	28	pm5.32da 673	. 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X H Y ) /\ A. z e. B Fun `' ( g e. ( Y H z ) |-> ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) ) ) <-> ( F e. ( X H Y ) /\ A. z e. B A. g e. ( Y H z ) A. h e. ( Y H z ) ( ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) = ( h ( <. X , Y >. .x. z ) F ) -> g = h ) ) ) )
30	8, 29	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( F e. ( X E Y ) <-> ( F e. ( X H Y ) /\ A. z e. B A. g e. ( Y H z ) A. h e. ( Y H z ) ( ( g ( <. X , Y >. .x. z ) F ) = ( h ( <. X , Y >. .x. z ) F ) -> g = h ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325  Epicepi 16389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-hom 15966  df-cco 15967  df-cat 16329  df-cid 16330  df-oppc 16372  df-mon 16390  df-epi 16391

This theorem is referenced by:  setcepi  16738