Theorem limcflf 23645

Description: The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of B restricted to A \ { B }, to the topology of the complex numbers. (If B is not a limit point of A, then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limcflf.a	|- ( ph -> A C_ CC )
limcflf.b	|- ( ph -> B e. ( ( limPt ` K ) ` A ) )
limcflf.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
limcflf.c	|- C = ( A \ { B } )
limcflf.l	|- L = ( ( ( nei ` K ) ` { B } ) ↾t C )

Assertion

Ref	Expression
limcflf	|- ( ph -> ( F lim CC B ) = ( ( K fLimf L ) ` ( F |` C ) ) )

Proof of Theorem limcflf

Dummy variables t s u w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- t e. _V
2	1	inex1 4799	. . . . . . . . . 10 |- ( t i^i C ) e. _V
3	2	rgenw 2924	. . . . . . . . 9 |- A. t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) ( t i^i C ) e. _V
4		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) |-> ( t i^i C ) ) = ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) |-> ( t i^i C ) )
5		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( t i^i C ) -> ( ( F |` C ) " s ) = ( ( F |` C ) " ( t i^i C ) ) )
6		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t i^i C ) C_ C
7		resima2 5432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t i^i C ) C_ C -> ( ( F |` C ) " ( t i^i C ) ) = ( F " ( t i^i C ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F |` C ) " ( t i^i C ) ) = ( F " ( t i^i C ) )
9	5, 8	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( t i^i C ) -> ( ( F |` C ) " s ) = ( F " ( t i^i C ) ) )
10	9	sseq1d 3632	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( t i^i C ) -> ( ( ( F |` C ) " s ) C_ u <-> ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) )
11	4, 10	rexrnmpt 6369	. . . . . . . . 9 |- ( A. t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) ( t i^i C ) e. _V -> ( E. s e. ran ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) |-> ( t i^i C ) ) ( ( F |` C ) " s ) C_ u <-> E. t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) )
12	3, 11	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) -> ( E. s e. ran ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) |-> ( t i^i C ) ) ( ( F |` C ) " s ) C_ u <-> E. t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) )
13		limcflf.l	. . . . . . . . . 10 |- L = ( ( ( nei ` K ) ` { B } ) ↾t C )
14		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( nei ` K ) ` { B } ) e. _V
15		limcflf.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C = ( A \ { B } )
16		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A \ { B } ) C_ A
17	15, 16	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- C C_ A
18		limcflf.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ CC )
19	17, 18	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C C_ CC )
20		cnex 10017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC e. _V
21	20	ssex 4802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C C_ CC -> C e. _V )
22	19, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. _V )
23	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) -> C e. _V )
24		restval 16087	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( nei ` K ) ` { B } ) e. _V /\ C e. _V ) -> ( ( ( nei ` K ) ` { B } ) ↾t C ) = ran ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) |-> ( t i^i C ) ) )
25	14, 23, 24	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) -> ( ( ( nei ` K ) ` { B } ) ↾t C ) = ran ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) |-> ( t i^i C ) ) )
26	13, 25	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) -> L = ran ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) |-> ( t i^i C ) ) )
27	26	rexeqdv 3145	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) -> ( E. s e. L ( ( F |` C ) " s ) C_ u <-> E. s e. ran ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) |-> ( t i^i C ) ) ( ( F |` C ) " s ) C_ u ) )
28		limcflf.k	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
29	28	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . . . . 13 |- K e. Top
30		opnneip 20923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ w e. K /\ B e. w ) -> w e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) )
31	29, 30	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. K /\ B e. w ) -> w e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) )
32		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = w -> t = w )
33	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = w -> C = ( A \ { B } ) )
34	32, 33	ineq12d 3815	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = w -> ( t i^i C ) = ( w i^i ( A \ { B } ) ) )
35	34	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = w -> ( F " ( t i^i C ) ) = ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) )
36	35	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = w -> ( ( F " ( t i^i C ) ) C_ u <-> ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) )
37	36	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) -> E. t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) ( F " ( t i^i C ) ) C_ u )
38	31, 37	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w e. K /\ B e. w ) /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) -> E. t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) ( F " ( t i^i C ) ) C_ u )
39	38	anasss 679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. K /\ ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) -> E. t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) ( F " ( t i^i C ) ) C_ u )
40	39	rexlimiva 3028	. . . . . . . . 9 |- ( E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) -> E. t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) ( F " ( t i^i C ) ) C_ u )
41		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) /\ ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) /\ ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) ) -> t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) )
42	28	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K e. (TopOn ` CC )
43	42	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC = U. K
44	43	neii1 20910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) ) -> t C_ CC )
45	29, 41, 44	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) /\ ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) /\ ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) ) -> t C_ CC )
46	43	ntropn 20853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Top /\ t C_ CC ) -> ( ( int ` K ) ` t ) e. K )
47	29, 45, 46	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) /\ ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) /\ ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) ) -> ( ( int ` K ) ` t ) e. K )
48	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) /\ ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) /\ ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) ) -> K e. Top )
49	43	lpss 20946	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. Top /\ A C_ CC ) -> ( ( limPt ` K ) ` A ) C_ CC )
50	29, 18, 49	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( limPt ` K ) ` A ) C_ CC )
51		limcflf.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. ( ( limPt ` K ) ` A ) )
52	50, 51	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. CC )
53	52	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> { B } C_ CC )
54	53	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) /\ ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) /\ ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) ) -> { B } C_ CC )
55	43	neiint 20908	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Top /\ { B } C_ CC /\ t C_ CC ) -> ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) <-> { B } C_ ( ( int ` K ) ` t ) ) )
56	48, 54, 45, 55	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) /\ ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) /\ ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) ) -> ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) <-> { B } C_ ( ( int ` K ) ` t ) ) )
57	41, 56	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) /\ ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) /\ ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) ) -> { B } C_ ( ( int ` K ) ` t ) )
58	52	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) /\ ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) /\ ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) ) -> B e. CC )
59		snssg 4327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. CC -> ( B e. ( ( int ` K ) ` t ) <-> { B } C_ ( ( int ` K ) ` t ) ) )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) /\ ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) /\ ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) ) -> ( B e. ( ( int ` K ) ` t ) <-> { B } C_ ( ( int ` K ) ` t ) ) )
61	57, 60	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) /\ ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) /\ ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) ) -> B e. ( ( int ` K ) ` t ) )
62	43	ntrss2 20861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Top /\ t C_ CC ) -> ( ( int ` K ) ` t ) C_ t )
63	29, 45, 62	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) /\ ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) /\ ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) ) -> ( ( int ` K ) ` t ) C_ t )
64		ssrin 3838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( int ` K ) ` t ) C_ t -> ( ( ( int ` K ) ` t ) i^i C ) C_ ( t i^i C ) )
65		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( int ` K ) ` t ) i^i C ) C_ ( t i^i C ) -> ( F " ( ( ( int ` K ) ` t ) i^i C ) ) C_ ( F " ( t i^i C ) ) )
66	63, 64, 65	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) /\ ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) /\ ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) ) -> ( F " ( ( ( int ` K ) ` t ) i^i C ) ) C_ ( F " ( t i^i C ) ) )
67		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) /\ ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) /\ ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) ) -> ( F " ( t i^i C ) ) C_ u )
68	66, 67	sstrd 3613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) /\ ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) /\ ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) ) -> ( F " ( ( ( int ` K ) ` t ) i^i C ) ) C_ u )
69		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( ( int ` K ) ` t ) -> ( B e. w <-> B e. ( ( int ` K ) ` t ) ) )
70	15	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w i^i C ) = ( w i^i ( A \ { B } ) )
71		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( ( int ` K ) ` t ) -> ( w i^i C ) = ( ( ( int ` K ) ` t ) i^i C ) )
72	70, 71	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( ( int ` K ) ` t ) -> ( w i^i ( A \ { B } ) ) = ( ( ( int ` K ) ` t ) i^i C ) )
73	72	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( ( int ` K ) ` t ) -> ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) = ( F " ( ( ( int ` K ) ` t ) i^i C ) ) )
74	73	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( ( int ` K ) ` t ) -> ( ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u <-> ( F " ( ( ( int ` K ) ` t ) i^i C ) ) C_ u ) )
75	69, 74	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( ( int ` K ) ` t ) -> ( ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) <-> ( B e. ( ( int ` K ) ` t ) /\ ( F " ( ( ( int ` K ) ` t ) i^i C ) ) C_ u ) ) )
76	75	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( int ` K ) ` t ) e. K /\ ( B e. ( ( int ` K ) ` t ) /\ ( F " ( ( ( int ` K ) ` t ) i^i C ) ) C_ u ) ) -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) )
77	47, 61, 68, 76	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) /\ ( t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) /\ ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) ) -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) )
78	77	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) -> ( E. t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) ( F " ( t i^i C ) ) C_ u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
79	40, 78	impbid2 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) -> ( E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) <-> E. t e. ( ( nei ` K ) ` { B } ) ( F " ( t i^i C ) ) C_ u ) )
80	12, 27, 79	3bitr4rd 301	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( u e. K /\ x e. u ) ) -> ( E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) <-> E. s e. L ( ( F |` C ) " s ) C_ u ) )
81	80	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ u e. K ) /\ x e. u ) -> ( E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) <-> E. s e. L ( ( F |` C ) " s ) C_ u ) )
82	81	pm5.74da 723	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ u e. K ) -> ( ( x e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) <-> ( x e. u -> E. s e. L ( ( F |` C ) " s ) C_ u ) ) )
83	82	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( A. u e. K ( x e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) <-> A. u e. K ( x e. u -> E. s e. L ( ( F |` C ) " s ) C_ u ) ) )
84	83	pm5.32da 673	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC /\ A. u e. K ( x e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) <-> ( x e. CC /\ A. u e. K ( x e. u -> E. s e. L ( ( F |` C ) " s ) C_ u ) ) ) )
85		limcflf.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> CC )
86	85, 18, 52, 28	ellimc2 23641	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( F lim CC B ) <-> ( x e. CC /\ A. u e. K ( x e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )
87	42	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
88	85, 18, 51, 28, 15, 13	limcflflem 23644	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( Fil ` C ) )
89		fssres 6070	. . . . 5 |- ( ( F : A --> CC /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C --> CC )
90	85, 17, 89	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` C ) : C --> CC )
91		isflf 21797	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ L e. ( Fil ` C ) /\ ( F |` C ) : C --> CC ) -> ( x e. ( ( K fLimf L ) ` ( F |` C ) ) <-> ( x e. CC /\ A. u e. K ( x e. u -> E. s e. L ( ( F |` C ) " s ) C_ u ) ) ) )
92	87, 88, 90, 91	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( K fLimf L ) ` ( F |` C ) ) <-> ( x e. CC /\ A. u e. K ( x e. u -> E. s e. L ( ( F |` C ) " s ) C_ u ) ) ) )
93	84, 86, 92	3bitr4d 300	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( F lim CC B ) <-> x e. ( ( K fLimf L ) ` ( F |` C ) ) ) )
94	93	eqrdv 2620	1 |- ( ph -> ( F lim CC B ) = ( ( K fLimf L ) ` ( F |` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   neicnei 20901   limPtclp 20938   Filcfil 21649   fLimf cflf 21739   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-cnp 21032  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  limcmo  23646