Theorem rrhre 30065

Description: The RRHom homomorphism for the real numbers structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rrhre	|- (RRHom ` RRfld ) = ( _I |` RR )

Proof of Theorem rrhre

Dummy variables a b x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniretop 22566	. . 3 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
2		rehaus 22602	. . . 4 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Haus
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> ( topGen ` ran (,) ) e. Haus )
4		rerrext 30053	. . . 4 |- RRfld e. ℝExt
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
6		retopn 23167	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( TopOpen ` RRfld )
7	5, 6	rrhcne 30057	. . . 4 |- (RRfld e. ℝExt -> (RRHom ` RRfld ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
8	4, 7	mp1i 13	. . 3 |- ( T. -> (RRHom ` RRfld ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
9		retop 22565	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
10	1	toptopon 20722	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top <-> ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) )
11	9, 10	mpbi 220	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
12		idcn 21061	. . . . 5 |- ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) -> ( _I |` RR ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 |- ( _I |` RR ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) Cn ( topGen ` ran (,) ) )
14	13	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> ( _I |` RR ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
15	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( topGen ` ran (,) ) e. Top )
16		f1oi 6174	. . . . . . . . . 10 |- ( _I |` QQ ) : QQ -1-1-onto-> QQ
17		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _I |` QQ ) : QQ -1-1-onto-> QQ -> ( _I |` QQ ) : QQ --> QQ )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( _I |` QQ ) : QQ --> QQ
19		qssre 11798	. . . . . . . . 9 |- QQ C_ RR
20		fss 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _I |` QQ ) : QQ --> QQ /\ QQ C_ RR ) -> ( _I |` QQ ) : QQ --> RR )
21	18, 19, 20	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( _I |` QQ ) : QQ --> RR
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( _I |` QQ ) : QQ --> RR )
23	19	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> QQ C_ RR )
24		qdensere 22573	. . . . . . . 8 |- ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) = RR
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) = RR )
26	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. RR /\ a e. ( topGen ` ran (,) ) ) /\ x e. a ) -> ( topGen ` ran (,) ) e. Top )
27		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. RR /\ a e. ( topGen ` ran (,) ) ) /\ x e. a ) -> a e. ( topGen ` ran (,) ) )
28		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. RR /\ a e. ( topGen ` ran (,) ) ) /\ x e. a ) -> x e. a )
29		opnneip 20923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ a e. ( topGen ` ran (,) ) /\ x e. a ) -> a e. ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) )
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. RR /\ a e. ( topGen ` ran (,) ) ) /\ x e. a ) -> a e. ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) )
31		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) e. _V
32		qex 11800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- QQ e. _V
33		elrestr 16089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) e. _V /\ QQ e. _V /\ a e. ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ) -> ( a i^i QQ ) e. ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) )
34	31, 32, 33	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) -> ( a i^i QQ ) e. ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) )
35	30, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR /\ a e. ( topGen ` ran (,) ) ) /\ x e. a ) -> ( a i^i QQ ) e. ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) )
36		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a i^i QQ ) C_ QQ
37		resiima 5480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a i^i QQ ) C_ QQ -> ( ( _I |` QQ ) " ( a i^i QQ ) ) = ( a i^i QQ ) )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _I |` QQ ) " ( a i^i QQ ) ) = ( a i^i QQ )
39		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a i^i QQ ) C_ a
40	38, 39	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( _I |` QQ ) " ( a i^i QQ ) ) C_ a
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR /\ a e. ( topGen ` ran (,) ) ) /\ x e. a ) -> ( ( _I |` QQ ) " ( a i^i QQ ) ) C_ a )
42		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = ( a i^i QQ ) -> ( ( _I |` QQ ) " b ) = ( ( _I |` QQ ) " ( a i^i QQ ) ) )
43	42	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( a i^i QQ ) -> ( ( ( _I |` QQ ) " b ) C_ a <-> ( ( _I |` QQ ) " ( a i^i QQ ) ) C_ a ) )
44	43	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a i^i QQ ) e. ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) /\ ( ( _I |` QQ ) " ( a i^i QQ ) ) C_ a ) -> E. b e. ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) ( ( _I |` QQ ) " b ) C_ a )
45	35, 41, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ a e. ( topGen ` ran (,) ) ) /\ x e. a ) -> E. b e. ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) ( ( _I |` QQ ) " b ) C_ a )
46	45	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ a e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( x e. a -> E. b e. ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) ( ( _I |` QQ ) " b ) C_ a ) )
47	46	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> A. a e. ( topGen ` ran (,) ) ( x e. a -> E. b e. ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) ( ( _I |` QQ ) " b ) C_ a ) )
48	47	ancli 574	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( x e. RR /\ A. a e. ( topGen ` ran (,) ) ( x e. a -> E. b e. ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) ( ( _I |` QQ ) " b ) C_ a ) ) )
49	24	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) <-> x e. RR )
50	49	biimpri 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> x e. ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) )
51		trnei 21696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ QQ C_ RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) <-> ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) e. ( Fil ` QQ ) ) )
52	11, 19, 51	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x e. ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) <-> ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) e. ( Fil ` QQ ) ) )
53	50, 52	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) e. ( Fil ` QQ ) )
54		isflf 21797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) e. ( Fil ` QQ ) /\ ( _I |` QQ ) : QQ --> RR ) -> ( x e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) fLimf ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) ) ` ( _I |` QQ ) ) <-> ( x e. RR /\ A. a e. ( topGen ` ran (,) ) ( x e. a -> E. b e. ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) ( ( _I |` QQ ) " b ) C_ a ) ) ) )
55	11, 21, 54	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) e. ( Fil ` QQ ) -> ( x e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) fLimf ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) ) ` ( _I |` QQ ) ) <-> ( x e. RR /\ A. a e. ( topGen ` ran (,) ) ( x e. a -> E. b e. ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) ( ( _I |` QQ ) " b ) C_ a ) ) ) )
56	53, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( x e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) fLimf ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) ) ` ( _I |` QQ ) ) <-> ( x e. RR /\ A. a e. ( topGen ` ran (,) ) ( x e. a -> E. b e. ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) ( ( _I |` QQ ) " b ) C_ a ) ) ) )
57	48, 56	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> x e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) fLimf ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) ) ` ( _I |` QQ ) ) )
58		ne0i 3921	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) fLimf ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) ) ` ( _I |` QQ ) ) -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) fLimf ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) ) ` ( _I |` QQ ) ) =/= (/) )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) fLimf ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) ) ` ( _I |` QQ ) ) =/= (/) )
60	59	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) fLimf ( ( ( nei ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` { x } ) ↾t QQ ) ) ` ( _I |` QQ ) ) =/= (/) )
61		recusp 23170	. . . . . . . . . 10 |- RRfld e. CUnifSp
62		cuspusp 22104	. . . . . . . . . 10 |- (RRfld e. CUnifSp -> RRfld e. UnifSp )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- RRfld e. UnifSp
64	6	uspreg 22078	. . . . . . . . 9 |- ( (RRfld e. UnifSp /\ ( topGen ` ran (,) ) e. Haus ) -> ( topGen ` ran (,) ) e. Reg )
65	63, 2, 64	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Reg
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( topGen ` ran (,) ) e. Reg )
67		resabs1 5427	. . . . . . . . . 10 |- ( QQ C_ RR -> ( ( _I |` RR ) |` QQ ) = ( _I |` QQ ) )
68	19, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` RR ) |` QQ ) = ( _I |` QQ )
69	1	cnrest 21089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( _I |` RR ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) /\ QQ C_ RR ) -> ( ( _I |` RR ) |` QQ ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t QQ ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
70	13, 19, 69	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` RR ) |` QQ ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t QQ ) Cn ( topGen ` ran (,) ) )
71	68, 70	eqeltrri 2698	. . . . . . . 8 |- ( _I |` QQ ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t QQ ) Cn ( topGen ` ran (,) ) )
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( _I |` QQ ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t QQ ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
73	1, 1, 15, 3, 22, 23, 25, 60, 66, 72	cnextfres1 21872	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( ( ( topGen ` ran (,) )CnExt ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( _I |` QQ ) ) |` QQ ) = ( _I |` QQ ) )
74	73	trud 1493	. . . . 5 |- ( ( ( ( topGen ` ran (,) )CnExt ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( _I |` QQ ) ) |` QQ ) = ( _I |` QQ )
75		recms 23168	. . . . . . . . 9 |- RRfld e. CMetSp
76	75	elexi 3213	. . . . . . . 8 |- RRfld e. _V
77	5, 6	rrhval 30040	. . . . . . . 8 |- (RRfld e. _V -> (RRHom ` RRfld ) = ( ( ( topGen ` ran (,) )CnExt ( topGen ` ran (,) ) ) ` (QQHom ` RRfld ) ) )
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- (RRHom ` RRfld ) = ( ( ( topGen ` ran (,) )CnExt ( topGen ` ran (,) ) ) ` (QQHom ` RRfld ) )
79		qqhre 30064	. . . . . . . 8 |- (QQHom ` RRfld ) = ( _I |` QQ )
80	79	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` ran (,) )CnExt ( topGen ` ran (,) ) ) ` (QQHom ` RRfld ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) )CnExt ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( _I |` QQ ) )
81	78, 80	eqtri 2644	. . . . . 6 |- (RRHom ` RRfld ) = ( ( ( topGen ` ran (,) )CnExt ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( _I |` QQ ) )
82	81	reseq1i 5392	. . . . 5 |- ( (RRHom ` RRfld ) |` QQ ) = ( ( ( ( topGen ` ran (,) )CnExt ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( _I |` QQ ) ) |` QQ )
83	74, 82, 68	3eqtr4i 2654	. . . 4 |- ( (RRHom ` RRfld ) |` QQ ) = ( ( _I |` RR ) |` QQ )
84	83	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> ( (RRHom ` RRfld ) |` QQ ) = ( ( _I |` RR ) |` QQ ) )
85	1, 3, 8, 14, 84, 23, 25	hauseqcn 29941	. 2 |- ( T. -> (RRHom ` RRfld ) = ( _I |` RR ) )
86	85	trud 1493	1 |- (RRHom ` RRfld ) = ( _I |` RR )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   _I cid 5023   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   QQcq 11788   (,)cioo 12175   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098  RRfldcrefld 19950   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   clsccl 20822   neicnei 20901   Cn ccn 21028   Hauscha 21112   Regcreg 21113   Filcfil 21649   fLimf cflf 21739  CnExtccnext 21863  UnifSpcusp 22058  CUnifSpccusp 22101  CMetSpccms 23129  QQHomcqqh 30016  RRHomcrrh 30037   ℝExt crrext 30038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-gz 15634  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-toset 17034  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-nzr 19258  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-metu 19745  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zlm 19853  df-chr 19854  df-refld 19951  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-reg 21120  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-fcls 21745  df-cnext 21864  df-ust 22004  df-utop 22035  df-uss 22060  df-usp 22061  df-ucn 22080  df-cfilu 22091  df-cusp 22102  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-cncf 22681  df-cfil 23053  df-cmet 23055  df-cms 23132  df-omnd 29699  df-ogrp 29700  df-orng 29797  df-ofld 29798  df-qqh 30017  df-rrh 30039  df-rrext 30043

This theorem is referenced by:  sitmcl  30413