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Theorem istotbnd3 33570
Description: A metric space is totally bounded iff there is a finite ε-net for every positive ε. This differs from the definition in providing a finite set of ball centers rather than a finite set of balls. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
istotbnd3 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) )
Distinct variable groups:   v, d, x, M   X, d, v, x
Proof of Theorem istotbnd3
Dummy variables b f w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istotbnd 33568 . 2 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ A. d e. RR+ E. w e. Fin ( U. w = X /\ A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )
2 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( f ` b ) -> ( x ( ball ` M ) d ) = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) )
32eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( f ` b ) -> ( b = ( x ( ball ` M ) d ) <-> b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) )
43ac6sfi 8204 . . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Fin /\ A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) -> E. f ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) )
54ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( w e. Fin -> ( A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) -> E. f ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) )
65ad2antlr 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ U. w = X ) -> ( A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) -> E. f ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) )
7 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ ( U. w = X /\ ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> f : w --> X )
8 frn 6053 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : w --> X -> ran f C_ X )
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ ( U. w = X /\ ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> ran f C_ X )
10 simplr 792 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ ( U. w = X /\ ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> w e. Fin )
11 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : w --> X -> f Fn w )
127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ ( U. w = X /\ ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> f Fn w )
13 dffn4 6121 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn w <-> f : w -onto-> ran f )
1412, 13sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ ( U. w = X /\ ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> f : w -onto-> ran f )
15 fofi 8252 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. Fin /\ f : w -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
1610, 14, 15syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ ( U. w = X /\ ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
17 elfpw 8268 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ran f e. ( ~P X i^i Fin ) <-> ( ran f C_ X /\ ran f e. Fin ) )
189, 16, 17sylanbrc 698 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ ( U. w = X /\ ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> ran f e. ( ~P X i^i Fin ) )
192eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( f ` b ) -> ( v e. ( x ( ball ` M ) d ) <-> v e. ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) )
2019rexrn 6361 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f Fn w -> ( E. x e. ran f v e. ( x ( ball ` M ) d ) <-> E. b e. w v e. ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) )
2112, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ ( U. w = X /\ ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> ( E. x e. ran f v e. ( x ( ball ` M ) d ) <-> E. b e. w v e. ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) )
22 eliun 4524 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. U_ x e. ran f ( x ( ball ` M ) d ) <-> E. x e. ran f v e. ( x ( ball ` M ) d ) )
23 eliun 4524 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. U_ b e. w ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) <-> E. b e. w v e. ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) )
2421, 22, 233bitr4g 303 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ ( U. w = X /\ ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> ( v e. U_ x e. ran f ( x ( ball ` M ) d ) <-> v e. U_ b e. w ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) )
2524eqrdv 2620 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ ( U. w = X /\ ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> U_ x e. ran f ( x ( ball ` M ) d ) = U_ b e. w ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) )
26 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ ( U. w = X /\ ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) )
27 iuneq2 4537 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) -> U_ b e. w b = U_ b e. w ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ ( U. w = X /\ ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> U_ b e. w b = U_ b e. w ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) )
29 uniiun 4573 . . . . . . . . . . . . 13 |- U. w = U_ b e. w b
30 simprl 794 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ ( U. w = X /\ ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> U. w = X )
3129, 30syl5eqr 2670 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ ( U. w = X /\ ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> U_ b e. w b = X )
3225, 28, 313eqtr2d 2662 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ ( U. w = X /\ ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> U_ x e. ran f ( x ( ball ` M ) d ) = X )
33 iuneq1 4534 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ran f -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = U_ x e. ran f ( x ( ball ` M ) d ) )
3433eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ran f -> ( U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X <-> U_ x e. ran f ( x ( ball ` M ) d ) = X ) )
3534rspcev 3309 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ran f e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. ran f ( x ( ball ` M ) d ) = X ) -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X )
3618, 32, 35syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ ( U. w = X /\ ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X )
3736expr 643 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ U. w = X ) -> ( ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) )
3837exlimdv 1861 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ U. w = X ) -> ( E. f ( f : w --> X /\ A. b e. w b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) )
396, 38syld 47 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) /\ U. w = X ) -> ( A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) )
4039expimpd 629 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ w e. Fin ) -> ( ( U. w = X /\ A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) )
4140rexlimdva 3031 . . . . 5 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. w e. Fin ( U. w = X /\ A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) )
42 elfpw 8268 . . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) <-> ( v C_ X /\ v e. Fin ) )
4342simprbi 480 . . . . . . . . . 10 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) -> v e. Fin )
4443ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) ) -> v e. Fin )
45 mptfi 8265 . . . . . . . . 9 |- ( v e. Fin -> ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) e. Fin )
46 rnfi 8249 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) e. Fin -> ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) e. Fin )
4744, 45, 463syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) ) -> ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) e. Fin )
48 ovex 6678 . . . . . . . . . 10 |- ( x ( ball ` M ) d ) e. _V
4948dfiun3 5380 . . . . . . . . 9 |- U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = U. ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) )
50 simprr 796 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X )
5149, 50syl5eqr 2670 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) ) -> U. ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) = X )
52 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) = ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) )
5352rnmpt 5371 . . . . . . . . 9 |- ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) = { b | E. x e. v b = ( x ( ball ` M ) d ) }
5442simplbi 476 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) -> v C_ X )
5554ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) ) -> v C_ X )
56 ssrexv 3667 . . . . . . . . . . 11 |- ( v C_ X -> ( E. x e. v b = ( x ( ball ` M ) d ) -> E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) )
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) ) -> ( E. x e. v b = ( x ( ball ` M ) d ) -> E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) )
5857ss2abdv 3675 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) ) -> { b | E. x e. v b = ( x ( ball ` M ) d ) } C_ { b | E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) } )
5953, 58syl5eqss 3649 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) ) -> ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) C_ { b | E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) } )
60 unieq 4444 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) -> U. w = U. ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) )
6160eqeq1d 2624 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) -> ( U. w = X <-> U. ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) = X ) )
62 ssabral 3673 . . . . . . . . . . 11 |- ( w C_ { b | E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) } <-> A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) )
63 sseq1 3626 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) -> ( w C_ { b | E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) } <-> ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) C_ { b | E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) } ) )
6462, 63syl5bbr 274 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) -> ( A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) <-> ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) C_ { b | E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) } ) )
6561, 64anbi12d 747 . . . . . . . . 9 |- ( w = ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) -> ( ( U. w = X /\ A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) <-> ( U. ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) = X /\ ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) C_ { b | E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) } ) ) )
6665rspcev 3309 . . . . . . . 8 |- ( ( ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) e. Fin /\ ( U. ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) = X /\ ran ( x e. v |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) C_ { b | E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) } ) ) -> E. w e. Fin ( U. w = X /\ A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) )
6747, 51, 59, 66syl12anc 1324 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) ) -> E. w e. Fin ( U. w = X /\ A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) )
6867expr 643 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ v e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> ( U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X -> E. w e. Fin ( U. w = X /\ A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )
6968rexlimdva 3031 . . . . 5 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X -> E. w e. Fin ( U. w = X /\ A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )
7041, 69impbid 202 . . . 4 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. w e. Fin ( U. w = X /\ A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) <-> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) )
7170ralbidv 2986 . . 3 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( A. d e. RR+ E. w e. Fin ( U. w = X /\ A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) <-> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) )
7271pm5.32i 669 . 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ A. d e. RR+ E. w e. Fin ( U. w = X /\ A. b e. w E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) )
731, 72bitri 264 1 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RR+crp 11832   Metcme 19732   ballcbl 19733   TotBndctotbnd 33565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-totbnd 33567
This theorem is referenced by:  0totbnd  33572  sstotbnd2  33573  equivtotbnd  33577  totbndbnd  33588  prdstotbnd  33593
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