Theorem rnfi 8249

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	|- ( A e. Fin -> ran A e. Fin )

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5125	. 2 |- ran A = dom `' A
2		cnvfi 8248	. . 3 |- ( A e. Fin -> `' A e. Fin )
3		dmfi 8244	. . 3 |- ( `' A e. Fin -> dom `' A e. Fin )
4	2, 3	syl 17	. 2 |- ( A e. Fin -> dom `' A e. Fin )
5	1, 4	syl5eqel 2705	1 |- ( A e. Fin -> ran A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  8250  unirnffid  8258  abrexfi  8266  gsum2dlem1  18369  gsum2dlem2  18370  tsmsxplem1  21956  prdsmet  22175  relfi  29415  imafi2  29489  cmpcref  29917  carsggect  30380  carsgclctunlem2  30381  carsgclctunlem3  30382  breprexplema  30708  ptrecube  33409  heicant  33444  mblfinlem1  33446  ftc1anclem3  33487  istotbnd3  33570  sstotbnd2  33573  sstotbnd  33574  totbndbnd  33588  rnmptfi  39351  rnffi  39356  choicefi  39392  stoweidlem39  40256  stoweidlem59  40276  fourierdlem31  40355  fourierdlem42  40366  fourierdlem54  40377  aacllem  42547