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Theorem totbndbnd 33588
Description: A totally bounded metric space is bounded. This theorem fails for extended metrics - a bounded extended metric is a metric, but there are totally bounded extended metrics that are not metrics (if we were to weaken istotbnd 33568 to only require that M be an extended metric). A counterexample is the discrete extended metric (assigning distinct points distance +oo) on a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
totbndbnd |- ( M e. ( TotBnd ` X ) -> M e. ( Bnd ` X ) )
Proof of Theorem totbndbnd
Dummy variables v d w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totbndmet 33571 . 2 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) -> M e. ( Met ` X ) )
2 1rp 11836 . . 3 |- 1 e. RR+
3 istotbnd3 33570 . . . 4 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) )
43simprbi 480 . . 3 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) -> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X )
5 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( d = 1 -> ( x ( ball ` M ) d ) = ( x ( ball ` M ) 1 ) )
65iuneq2d 4547 . . . . . 6 |- ( d = 1 -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) )
76eqeq1d 2624 . . . . 5 |- ( d = 1 -> ( U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X <-> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) )
87rexbidv 3052 . . . 4 |- ( d = 1 -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X <-> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) )
98rspcv 3305 . . 3 |- ( 1 e. RR+ -> ( A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) )
102, 4, 9mpsyl 68 . 2 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X )
11 simplll 798 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> M e. ( Met ` X ) )
12 elfpw 8268 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) <-> ( v C_ X /\ v e. Fin ) )
1312simplbi 476 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) -> v C_ X )
1413ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> v C_ X )
1514sselda 3603 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> z e. X )
16 simpllr 799 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> y e. X )
17 metcl 22137 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ z e. X /\ y e. X ) -> ( z M y ) e. RR )
1811, 15, 16, 17syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( z M y ) e. RR )
19 metge0 22150 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ z e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( z M y ) )
2011, 15, 16, 19syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> 0 <_ ( z M y ) )
2118, 20ge0p1rpd 11902 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( ( z M y ) + 1 ) e. RR+ )
22 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) )
2321, 22fmptd 6385 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) : v --> RR+ )
24 frn 6053 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) : v --> RR+ -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR+ )
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR+ )
2612simprbi 480 . . . . . . . . . 10 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) -> v e. Fin )
27 mptfi 8265 . . . . . . . . . 10 |- ( v e. Fin -> ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin )
28 rnfi 8249 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin )
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . 9 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin )
3029ad2antrl 764 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin )
31 simplr 792 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> y e. X )
32 simprr 796 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X )
3331, 32eleqtrrd 2704 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> y e. U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) )
34 ne0i 3921 . . . . . . . . 9 |- ( y e. U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) =/= (/) )
35 dm0rn0 5342 . . . . . . . . . . 11 |- ( dom ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) <-> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) )
36 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z M y ) + 1 ) e. _V
3736, 22dmmpti 6023 . . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = v
3837eqeq1i 2627 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) <-> v = (/) )
39 iuneq1 4534 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = (/) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = U_ x e. (/) ( x ( ball ` M ) 1 ) )
4038, 39sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 |- ( dom ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = U_ x e. (/) ( x ( ball ` M ) 1 ) )
41 0iun 4577 . . . . . . . . . . . 12 |- U_ x e. (/) ( x ( ball ` M ) 1 ) = (/)
4240, 41syl6eq 2672 . . . . . . . . . . 11 |- ( dom ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = (/) )
4335, 42sylbir 225 . . . . . . . . . 10 |- ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = (/) )
4443necon3i 2826 . . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) =/= (/) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) )
4533, 34, 443syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) )
46 rpssre 11843 . . . . . . . . 9 |- RR+ C_ RR
4725, 46syl6ss 3615 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR )
48 ltso 10118 . . . . . . . . 9 |- < Or RR
49 fisupcl 8375 . . . . . . . . 9 |- ( ( < Or RR /\ ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR ) ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
5048, 49mpan 706 . . . . . . . 8 |- ( ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
5130, 45, 47, 50syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
5225, 51sseldd 3604 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR+ )
53 metxmet 22139 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M e. ( *Met ` X ) )
5453ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
5554adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> M e. ( *Met ` X ) )
56 1red 10055 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> 1 e. RR )
5747, 51sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR )
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR )
5947adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR )
6045adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) )
6130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin )
62 fimaxre2 10969 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin ) -> E. d e. RR A. w e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) w <_ d )
6359, 61, 62syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> E. d e. RR A. w e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) w <_ d )
6422elrnmpt1 5374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. v /\ ( ( z M y ) + 1 ) e. _V ) -> ( ( z M y ) + 1 ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
6536, 64mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. v -> ( ( z M y ) + 1 ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
6665adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( ( z M y ) + 1 ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
67 suprub 10984 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) /\ E. d e. RR A. w e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) w <_ d ) /\ ( ( z M y ) + 1 ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) ) -> ( ( z M y ) + 1 ) <_ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) )
6859, 60, 63, 66, 67syl31anc 1329 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( ( z M y ) + 1 ) <_ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) )
69 leaddsub 10504 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z M y ) e. RR /\ 1 e. RR /\ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR ) -> ( ( ( z M y ) + 1 ) <_ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) <-> ( z M y ) <_ ( sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) - 1 ) ) )
7018, 56, 58, 69syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( ( ( z M y ) + 1 ) <_ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) <-> ( z M y ) <_ ( sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) - 1 ) ) )
7168, 70mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( z M y ) <_ ( sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) - 1 ) )
72 blss2 22209 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ z e. X /\ y e. X ) /\ ( 1 e. RR /\ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR /\ ( z M y ) <_ ( sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) - 1 ) ) ) -> ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
7355, 15, 16, 56, 58, 71, 72syl33anc 1341 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
7473ralrimiva 2966 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> A. z e. v ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
75 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ z ( x ( ball ` M ) 1 )
76 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ z y
77 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ z ( ball ` M )
78 nfmpt1 4747 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ z ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) )
7978nfrn 5368 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ z ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) )
80 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ z RR
81 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ z <
8279, 80, 81nfsup 8357 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ z sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < )
8376, 77, 82nfov 6676 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ z ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) )
8475, 83nfss 3596 . . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) )
85 nfv 1843 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) )
86 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( x ( ball ` M ) 1 ) = ( z ( ball ` M ) 1 ) )
8786sseq1d 3632 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) <-> ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) ) )
8884, 85, 87cbvral 3167 . . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) <-> A. z e. v ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
8974, 88sylibr 224 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> A. x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
90 iunss 4561 . . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) <-> A. x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
9189, 90sylibr 224 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
9232, 91eqsstr3d 3640 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> X C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
9352rpxrd 11873 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR* )
94 blssm 22223 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) C_ X )
9554, 31, 93, 94syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) C_ X )
9692, 95eqssd 3620 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
97 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( d = sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) -> ( y ( ball ` M ) d ) = ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
9897eqeq2d 2632 . . . . . . 7 |- ( d = sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) d ) <-> X = ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) ) )
9998rspcev 3309 . . . . . 6 |- ( ( sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR+ /\ X = ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) ) -> E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) )
10052, 96, 99syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) )
101100rexlimdvaa 3032 . . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X -> E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) ) )
102101ralrimdva 2969 . . 3 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X -> A. y e. X E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) ) )
103 isbnd 33579 . . . 4 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ A. y e. X E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) ) )
104103baib 944 . . 3 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( M e. ( Bnd ` X ) <-> A. y e. X E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) ) )
105102, 104sylibrd 249 . 2 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X -> M e. ( Bnd ` X ) ) )
1061, 10, 105sylc 65 1 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) -> M e. ( Bnd ` X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   ballcbl 19733   TotBndctotbnd 33565   Bndcbnd 33566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-totbnd 33567  df-bnd 33578
This theorem is referenced by:  equivbnd2  33591  prdsbnd2  33594  cntotbnd  33595  cnpwstotbnd  33596
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