Theorem kur14 31198

Description: Kuratowski's closure-complement theorem. There are at most 14 sets which can be obtained by the application of the closure and complement operations to a set in a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
kur14.x	|- X = U. J
kur14.k	|- K = ( cls ` J )
kur14.s	|- S = |^| { x e. ~P ~P X | ( A e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) }

Assertion

Ref	Expression
kur14	|- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( S e. Fin /\ ( # ` S ) <_ ; 1 4 ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, J, y   x, X

Allowed substitution hints:   S( x, y)   K( x, y)   X( y)

Proof of Theorem kur14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kur14.s	. . . . . 6 |- S = |^| { x e. ~P ~P X | ( A e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) }
2		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( A C_ X , A , (/) ) -> ( A e. x <-> if ( A C_ X , A , (/) ) e. x ) )
3	2	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( A C_ X , A , (/) ) -> ( ( A e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) <-> ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) ) )
4	3	rabbidv 3189	. . . . . . 7 |- ( A = if ( A C_ X , A , (/) ) -> { x e. ~P ~P X | ( A e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } = { x e. ~P ~P X | ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } )
5	4	inteqd 4480	. . . . . 6 |- ( A = if ( A C_ X , A , (/) ) -> |^| { x e. ~P ~P X | ( A e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } = |^| { x e. ~P ~P X | ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } )
6	1, 5	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( A = if ( A C_ X , A , (/) ) -> S = |^| { x e. ~P ~P X | ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } )
7	6	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( A = if ( A C_ X , A , (/) ) -> ( S e. Fin <-> |^| { x e. ~P ~P X | ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } e. Fin ) )
8	6	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( A = if ( A C_ X , A , (/) ) -> ( # ` S ) = ( # ` |^| { x e. ~P ~P X | ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } ) )
9	8	breq1d 4663	. . . 4 |- ( A = if ( A C_ X , A , (/) ) -> ( ( # ` S ) <_ ; 1 4 <-> ( # ` |^| { x e. ~P ~P X | ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } ) <_ ; 1 4 ) )
10	7, 9	anbi12d 747	. . 3 |- ( A = if ( A C_ X , A , (/) ) -> ( ( S e. Fin /\ ( # ` S ) <_ ; 1 4 ) <-> ( |^| { x e. ~P ~P X | ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } e. Fin /\ ( # ` |^| { x e. ~P ~P X | ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } ) <_ ; 1 4 ) ) )
11		kur14.x	. . . . . . . . . 10 |- X = U. J
12		unieq 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> U. J = U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) )
13	11, 12	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> X = U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) )
14	13	pweqd 4163	. . . . . . . 8 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> ~P X = ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) )
15	14	pweqd 4163	. . . . . . 7 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> ~P ~P X = ~P ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) )
16	13	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . 11 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> ( A C_ X <-> A C_ U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) )
17		sn0top 20803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { (/) } e. Top
18	17	elimel 4150	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( J e. Top , J , { (/) } ) e. Top
19		uniexg 6955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( if ( J e. Top , J , { (/) } ) e. Top -> U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) e. _V )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) e. _V
21	20	elpw2 4828	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) <-> A C_ U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) )
22	16, 21	syl6bbr 278	. . . . . . . . . 10 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> ( A C_ X <-> A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) )
23	22	ifbid 4108	. . . . . . . . 9 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> if ( A C_ X , A , (/) ) = if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) )
24	23	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x <-> if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) e. x ) )
25	13	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . 11 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> ( X \ y ) = ( U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) \ y ) )
26		kur14.k	. . . . . . . . . . . . 13 |- K = ( cls ` J )
27		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> ( cls ` J ) = ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) )
28	26, 27	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> K = ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) )
29	28	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> ( K ` y ) = ( ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) ` y ) )
30	25, 29	preq12d 4276	. . . . . . . . . 10 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> { ( X \ y ) , ( K ` y ) } = { ( U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) \ y ) , ( ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) ` y ) } )
31	30	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> ( { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x <-> { ( U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) \ y ) , ( ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) ` y ) } C_ x ) )
32	31	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> ( A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x <-> A. y e. x { ( U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) \ y ) , ( ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) ` y ) } C_ x ) )
33	24, 32	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> ( ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) <-> ( if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) \ y ) , ( ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) ` y ) } C_ x ) ) )
34	15, 33	rabeqbidv 3195	. . . . . 6 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> { x e. ~P ~P X | ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } = { x e. ~P ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) | ( if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) \ y ) , ( ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) ` y ) } C_ x ) } )
35	34	inteqd 4480	. . . . 5 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> |^| { x e. ~P ~P X | ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } = |^| { x e. ~P ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) | ( if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) \ y ) , ( ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) ` y ) } C_ x ) } )
36	35	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> ( |^| { x e. ~P ~P X | ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } e. Fin <-> |^| { x e. ~P ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) | ( if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) \ y ) , ( ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) ` y ) } C_ x ) } e. Fin ) )
37	35	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> ( # ` |^| { x e. ~P ~P X | ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } ) = ( # ` |^| { x e. ~P ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) | ( if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) \ y ) , ( ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) ` y ) } C_ x ) } ) )
38	37	breq1d 4663	. . . 4 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> ( ( # ` |^| { x e. ~P ~P X | ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } ) <_ ; 1 4 <-> ( # ` |^| { x e. ~P ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) | ( if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) \ y ) , ( ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) ` y ) } C_ x ) } ) <_ ; 1 4 ) )
39	36, 38	anbi12d 747	. . 3 |- ( J = if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> ( ( |^| { x e. ~P ~P X | ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } e. Fin /\ ( # ` |^| { x e. ~P ~P X | ( if ( A C_ X , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) } ) <_ ; 1 4 ) <-> ( |^| { x e. ~P ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) | ( if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) \ y ) , ( ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) ` y ) } C_ x ) } e. Fin /\ ( # ` |^| { x e. ~P ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) | ( if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) \ y ) , ( ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) ` y ) } C_ x ) } ) <_ ; 1 4 ) ) )
40		eqid 2622	. . . 4 |- U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) = U. if ( J e. Top , J , { (/) } )
41		eqid 2622	. . . 4 |- ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) = ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) )
42		eqid 2622	. . . 4 |- |^| { x e. ~P ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) | ( if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) \ y ) , ( ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) ` y ) } C_ x ) } = |^| { x e. ~P ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) | ( if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) \ y ) , ( ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) ` y ) } C_ x ) }
43		0elpw 4834	. . . . . 6 |- (/) e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } )
44	43	elimel 4150	. . . . 5 |- if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } )
45		elpwi 4168	. . . . 5 |- ( if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) -> if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) C_ U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) )
46	44, 45	ax-mp 5	. . . 4 |- if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) C_ U. if ( J e. Top , J , { (/) } )
47	18, 40, 41, 42, 46	kur14lem10 31197	. . 3 |- ( |^| { x e. ~P ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) | ( if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) \ y ) , ( ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) ` y ) } C_ x ) } e. Fin /\ ( # ` |^| { x e. ~P ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) | ( if ( A e. ~P U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) , A , (/) ) e. x /\ A. y e. x { ( U. if ( J e. Top , J , { (/) } ) \ y ) , ( ( cls ` if ( J e. Top , J , { (/) } ) ) ` y ) } C_ x ) } ) <_ ; 1 4 )
48	10, 39, 47	dedth2h 4140	. 2 |- ( ( A C_ X /\ J e. Top ) -> ( S e. Fin /\ ( # ` S ) <_ ; 1 4 ) )
49	48	ancoms 469	1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( S e. Fin /\ ( # ` S ) <_ ; 1 4 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   U.cuni 4436   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Fincfn 7955   1c1 9937   <_ cle 10075   4c4 11072  ;cdc 11493   #chash 13117   Topctop 20698   clsccl 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825

This theorem is referenced by: (None)