Theorem kur14lem10 31197

Description: Lemma for kur14 31198. Discharge the set T. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
kur14lem10.j	|- J e. Top
kur14lem10.x	|- X = U. J
kur14lem10.k	|- K = ( cls ` J )
kur14lem10.s	|- S = |^| { x e. ~P ~P X | ( A e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) }
kur14lem10.a	|- A C_ X

Assertion

Ref	Expression
kur14lem10	|- ( S e. Fin /\ ( # ` S ) <_ ; 1 4 )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, J, y   x, K, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   S( x, y)

Proof of Theorem kur14lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kur14lem10.j	. 2 |- J e. Top
2		kur14lem10.x	. 2 |- X = U. J
3		kur14lem10.k	. 2 |- K = ( cls ` J )
4		eqid 2622	. 2 |- ( int ` J ) = ( int ` J )
5		kur14lem10.a	. 2 |- A C_ X
6		eqid 2622	. 2 |- ( X \ ( K ` A ) ) = ( X \ ( K ` A ) )
7		eqid 2622	. 2 |- ( K ` ( X \ A ) ) = ( K ` ( X \ A ) )
8		eqid 2622	. 2 |- ( ( int ` J ) ` ( K ` A ) ) = ( ( int ` J ) ` ( K ` A ) )
9		eqid 2622	. 2 |- ( ( ( { A , ( X \ A ) , ( K ` A ) } u. { ( X \ ( K ` A ) ) , ( K ` ( X \ A ) ) , ( ( int ` J ) ` A ) } ) u. { ( K ` ( X \ ( K ` A ) ) ) , ( ( int ` J ) ` ( K ` A ) ) , ( K ` ( ( int ` J ) ` A ) ) } ) u. ( { ( ( int ` J ) ` ( K ` ( X \ A ) ) ) , ( K ` ( ( int ` J ) ` ( K ` A ) ) ) , ( ( int ` J ) ` ( K ` ( X \ ( K ` A ) ) ) ) } u. { ( K ` ( ( int ` J ) ` ( K ` ( X \ A ) ) ) ) , ( ( int ` J ) ` ( K ` ( ( int ` J ) ` A ) ) ) } ) ) = ( ( ( { A , ( X \ A ) , ( K ` A ) } u. { ( X \ ( K ` A ) ) , ( K ` ( X \ A ) ) , ( ( int ` J ) ` A ) } ) u. { ( K ` ( X \ ( K ` A ) ) ) , ( ( int ` J ) ` ( K ` A ) ) , ( K ` ( ( int ` J ) ` A ) ) } ) u. ( { ( ( int ` J ) ` ( K ` ( X \ A ) ) ) , ( K ` ( ( int ` J ) ` ( K ` A ) ) ) , ( ( int ` J ) ` ( K ` ( X \ ( K ` A ) ) ) ) } u. { ( K ` ( ( int ` J ) ` ( K ` ( X \ A ) ) ) ) , ( ( int ` J ) ` ( K ` ( ( int ` J ) ` A ) ) ) } ) )
10		kur14lem10.s	. 2 |- S = |^| { x e. ~P ~P X | ( A e. x /\ A. y e. x { ( X \ y ) , ( K ` y ) } C_ x ) }
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	kur14lem9 31196	1 |- ( S e. Fin /\ ( # ` S ) <_ ; 1 4 )

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   {ctp 4181   U.cuni 4436   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Fincfn 7955   1c1 9937   <_ cle 10075   4c4 11072  ;cdc 11493   #chash 13117   Topctop 20698   intcnt 20821   clsccl 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-top 20699  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825

This theorem is referenced by:  kur14  31198