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Theorem ccatalpha 13375

Description: A concatenation of two arbitrary words is a word over an alphabet iff the symbols of both words belong to the alphabet. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
ccatalpha	Word $/\$ Word ++ Word Word $/\$ Word

Proof of Theorem ccatalpha Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatfval 13358	. . . 4 Word $/\$ Word ++ ..^ ..^
2	1	eleq1d 2686	. . 3 Word $/\$ Word ++ Word ..^ ..^ Word
3		wrdf 13310	. . . 4 ..^ ..^ Word ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
4		funmpt 5926	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
5		fzofi 12773	. . . . . . . . . . 11 ..^
6		mptfi 8265	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ..^ ..^
8		hashfun 13224	. . . . . . . . . 10 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
9	7, 8	mp1i 13	. . . . . . . . 9 Word $/\$ Word ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
10	4, 9	mpbii 223	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word ..^ ..^ ..^ ..^
11		dmmptg 5632	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
12		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13
13		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13
14	12, 13	ifex 4156	. . . . . . . . . . . 12 ..^
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
16	11, 15	mprg 2926	. . . . . . . . . 10 ..^ ..^ ..^
17	16	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 ..^ ..^ ..^
18		lencl 13324	. . . . . . . . . . 11 Word
19		lencl 13324	. . . . . . . . . . 11 Word
20		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . 11 $/\$
21	18, 19, 20	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 Word $/\$ Word
22		hashfzo0 13217	. . . . . . . . . 10 ..^
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 Word $/\$ Word ..^
24	17, 23	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word ..^ ..^
25	10, 24	eqtrd 2656	. . . . . . 7 Word $/\$ Word ..^ ..^
26	25	oveq2d 6666	. . . . . 6 Word $/\$ Word ..^ ..^ ..^ ..^
27	26	feq2d 6031	. . . . 5 Word $/\$ Word ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
28		eqid 2622	. . . . . . 7 ..^ ..^ ..^ ..^
29	28	fmpt 6381	. . . . . 6 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
30		simpl 473	. . . . . . . . 9 Word $/\$ Word Word
31		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
32		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33		addcom 10222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
34	31, 32, 33	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
35		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
36	35	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
37	36	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
38		nn0pzuz 11745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
40	34, 39	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
41	18, 19, 40	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ Word
42		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word ..^ ..^
44	43	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^
45		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
47		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
49	45, 46, 48	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
50	49	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
51	50	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^ ..^ ..^
52	44, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^ ..^ ..^
53		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^
55	54	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^
56	52, 55	sylibd 229	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^ ..^
57	56	impancom 456	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^ ..^
58	57	imp 445	. . . . . . . . . 10 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^ $/\$ ..^
59	58	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^ ..^
60		iswrdsymb 13322	. . . . . . . . 9 Word $/\$ ..^ Word
61	30, 59, 60	syl2an2r 876	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^ Word
62		simpr 477	. . . . . . . . 9 Word $/\$ Word Word
63		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^
64	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ Word $/\$ ..^
66		elincfzoext 12525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$ ..^
67	63, 65, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^
68	18	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word
69	19	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word
70	68, 69, 33	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ Word
71	70	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word ..^ ..^
72	71	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ Word ..^ ..^
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^ ..^
74	67, 73	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^
75		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
76		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
77		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
79	75, 76, 78	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
80	79	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
81	80	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^ ..^ ..^
82	74, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^ ..^ ..^
83	18	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word
84	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ Word
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ Word $/\$ ..^
86		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
87	86	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ $/\$ Word $/\$ Word
89	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ $/\$ Word $/\$ Word
90	88, 89	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ $/\$ Word $/\$ Word
91	90	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ Word $/\$ ..^
92		elfzole1 12478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ Word $/\$ ..^
94		addge02 10539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
95	84, 87, 94	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ Word $/\$ ..^
96	93, 95	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ Word $/\$ ..^
97	85, 91, 96	lensymd 10188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ Word $/\$ ..^
98	97	intn3an3d 1444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$ ..^ $/\$ $/\$
99		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ $/\$ $/\$
100	98, 99	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^
101	100	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^
102	101	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^
103	86	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
104	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ Word
105		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
106	103, 104, 105	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$ ..^
107	106	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ Word $/\$ ..^
108	107	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ ..^
109	108	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ Word $/\$ ..^
110	102, 109	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^
111	82, 110	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^ ..^
112	111	impancom 456	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^ ..^
113	112	imp 445	. . . . . . . . . 10 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^ $/\$ ..^
114	113	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^ ..^
115		iswrdsymb 13322	. . . . . . . . 9 Word $/\$ ..^ Word
116	62, 114, 115	syl2an2r 876	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^ Word
117	61, 116	jca 554	. . . . . . 7 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ..^ Word $/\$ Word
118	117	ex 450	. . . . . 6 Word $/\$ Word ..^ ..^ Word $/\$ Word
119	29, 118	syl5bir 233	. . . . 5 Word $/\$ Word ..^ ..^ ..^ Word $/\$ Word
120	27, 119	sylbid 230	. . . 4 Word $/\$ Word ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ Word $/\$ Word
121	3, 120	syl5 34	. . 3 Word $/\$ Word ..^ ..^ Word Word $/\$ Word
122	2, 121	sylbid 230	. 2 Word $/\$ Word ++ Word Word $/\$ Word
123		ccatcl 13359	. 2 Word $/\$ Word ++ Word
124	122, 123	impbid1 215	1 Word $/\$ Word ++ Word Word $/\$ Word

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

cvv 3200

wss 3574

cif 4086 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

wfun 5882

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687 ..^cfzo 12465

chash 13117 Word cword 13291 ++ cconcat 13293

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-concat 13301

This theorem is referenced by: ccatrcl1 13376

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