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| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lcmgcdlem | Structured version Visualization version Unicode version | ||
Description: Lemma for lcmgcd 15320 and lcmdvds 15321. Prove them for positive  ,
 , and  . (Contributed by Steve
Rodriguez, 20-Jan-2020.)
(Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| lcmgcdlem |
    "){kind=small}  lcm     
 lcm |
are
mutually distinct and distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | nnmulcl 11043 |
. . . . 5
| |
| 2 | 1 | nnred 11035 |
. . . 4
 |
| 3 | nnz 11399 |
. . . . . . 7
 | |
| 4 | 3 | adantr 481 |
. . . . . 6
|
| 5 | 4 | zred 11482 |
. . . . 5
|
| 6 | nnz 11399 |
. . . . . . 7
| |
| 7 | 6 | adantl 482 |
. . . . . 6
|
| 8 | 7 | zred 11482 |
. . . . 5
|
| 9 | 0red 10041 |
. . . . . . 7
 | |
| 10 | nnre 11027 |
. . . . . . 7
| |
| 11 | nngt0 11049 |
. . . . . . 7
 | |
| 12 | 9, 10, 11 | ltled 10185 |
. . . . . 6
 |
| 13 | 12 | adantr 481 |
. . . . 5
|
| 14 | 0red 10041 |
. . . . . . 7
| |
| 15 | nnre 11027 |
. . . . . . 7
| |
| 16 | nngt0 11049 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 14, 15, 16 | ltled 10185 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | adantl 482 |
. . . . 5
|
| 19 | 5, 8, 13, 18 | mulge0d 10604 |
. . . 4
|
| 20 | 2, 19 | absidd 14161 |
. . 3
|
| 21 | 3, 6 | anim12i 590 |
. . . . . 6
|
| 22 | nnne0 11053 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 23 | 22 | neneqd 2799 |
. . . . . . . 8
|
| 24 | nnne0 11053 |
. . . . . . . . 9
| |
| 25 | 24 | neneqd 2799 |
. . . . . . . 8
|
| 26 | 23, 25 | anim12i 590 |
. . . . . . 7
|
| 27 | ioran 511 |
. . . . . . 7
 
| |
| 28 | 26, 27 | sylibr 224 |
. . . . . 6
|
| 29 | lcmn0val 15308 |
. . . . . 6
lcm inf 
  | |
| 30 | 21, 28, 29 | syl2anc 693 |
. . . . 5
lcm inf
|
| 31 | ltso 10118 |
. . . . . . 7
 | |
| 32 | 31 | a1i 11 |
. . . . . 6
|
| 33 | gcddvds 15225 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 33 | simpld 475 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | gcdcl 15228 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 36 | 35 | nn0zd 11480 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 37 | dvdsmultr1 15019 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 38 | 37 | 3expb 1266 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 39 | 36, 38 | mpancom 703 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | 34, 39 | mpd 15 |
. . . . . . . . 9
|
| 41 | 21, 40 | syl 17 |
. . . . . . . 8
|
| 42 | gcdnncl 15229 |
. . . . . . . . 9
| |
| 43 | nndivdvds 14989 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 44 | 1, 42, 43 | syl2anc 693 |
. . . . . . . 8
|
| 45 | 41, 44 | mpbid 222 |
. . . . . . 7
|
| 46 | 45 | nnred 11035 |
. . . . . 6
|
| 47 | breq2 4657 |
. . . . . . . 8
| |
| 48 | breq2 4657 |
. . . . . . . 8
| |
| 49 | 47, 48 | anbi12d 747 |
. . . . . . 7
|
| 50 | 33 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 51 | 21, 50 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 52 | 21, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 53 | 42 | nnne0d 11065 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 54 | dvdsval2 14986 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 55 | 52, 53, 7, 54 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 56 | 51, 55 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . 10
|
| 57 | dvdsmul1 15003 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 58 | 4, 56, 57 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
|
| 59 | nncn 11028 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 60 | 59 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
|
| 61 | nncn 11028 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 62 | 61 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
|
| 63 | 42 | nncnd 11036 |
. . . . . . . . . 10
|
| 64 | 60, 62, 63, 53 | divassd 10836 |
. . . . . . . . 9
|
| 65 | 58, 64 | breqtrrd 4681 |
. . . . . . . 8
|
| 66 | 21, 34 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 67 | dvdsval2 14986 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 68 | 52, 53, 4, 67 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 69 | 66, 68 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . 10
|
| 70 | dvdsmul1 15003 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 71 | 7, 69, 70 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
|
| 72 | 60, 62 | mulcomd 10061 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 73 | 72 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . 10
|
| 74 | 62, 60, 63, 53 | divassd 10836 |
. . . . . . . . . 10
|
| 75 | 73, 74 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . 9
|
| 76 | 71, 75 | breqtrrd 4681 |
. . . . . . . 8
|
| 77 | 65, 76 | jca 554 |
. . . . . . 7
|
| 78 | 49, 45, 77 | elrabd 3365 |
. . . . . 6
|
| 79 | 46 | adantr 481 |
. . . . . . 7
|
| 80 | elrabi 3359 |
. . . . . . . . 9
| |
| 81 | 80 | nnred 11035 |
. . . . . . . 8
|
| 82 | 81 | adantl 482 |
. . . . . . 7
|
| 83 | breq2 4657 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 84 | breq2 4657 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 85 | 83, 84 | anbi12d 747 |
. . . . . . . . 9
|
| 86 | 85 | elrab 3363 |
. . . . . . . 8
|
| 87 | bezout 15260 |
. . . . . . . . . . . . 13
  | |
| 88 | 21, 87 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 89 | 88 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 90 | nncn 11028 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 91 | 90 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 92 | 1 | nncnd 11036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 93 | 92 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 94 | 63 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 95 | 60 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 96 | 61 | ad3antlr 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 97 | 22 | ad3antrrr 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 98 | 24 | ad3antlr 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 99 | 95, 96, 97, 98 | mulne0d 10679 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 100 | 53 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 101 | 91, 93, 94, 99, 100 | divdiv2d 10833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 102 | 101 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 103 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 104 | 103 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 105 | zcn 11382 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 106 | 105 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 107 | 95, 106 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 108 | zcn 11382 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 109 | 108 | ad2antll 765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 110 | 96, 109 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 111 | 91, 107, 110 | adddid 10064 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 112 | 111 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 113 | 91, 107 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 114 | 91, 110 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 115 | 113, 114, 93, 99 | divdird 10839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 116 | 112, 115 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 117 | 104, 116 | sylan9eqr 2678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 118 | 91, 95, 106 | mul12d 10245 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 119 | 118 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 120 | 91, 106 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 121 | 120, 96, 95, 98, 97 | divcan5d 10827 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 122 | 119, 121 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 123 | 91, 96, 109 | mul12d 10245 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 124 | 123 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 125 | 72 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 126 | 125 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 127 | 91, 109 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 128 | 127, 95, 96, 97, 98 | divcan5d 10827 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 129 | 124, 126, 128 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 130 | 122, 129 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 131 | 130 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 132 | 102, 117, 131 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 133 | 132 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 134 | 133 | adantlrr 757 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 135 | 134 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 136 | 6 | ad3antlr 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 137 | nnz 11399 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
| |
| 138 | 137 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 139 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 140 | dvdsmultr1 15019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 141 | 136, 138, 139, 140 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 142 | 138, 139 | zmulcld 11488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 143 | dvdsval2 14986 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 144 | 136, 98, 142, 143 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 145 | 141, 144 | sylibd 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 146 | 145 | adantld 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 147 | 146 | 3impia 1261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 148 | 3 | ad3antrrr 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 149 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 150 | dvdsmultr1 15019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 151 | 148, 138, 149, 150 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 152 | 138, 149 | zmulcld 11488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 153 | dvdsval2 14986 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 154 | 148, 97, 152, 153 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 155 | 151, 154 | sylibd 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 156 | 155 | adantrd 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 157 | 156 | 3impia 1261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 158 | 147, 157 | zaddcld 11486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 159 | 158 | 3expia 1267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 160 | 159 | an32s 846 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 161 | 160 | impr 649 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 162 | 161 | an32s 846 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 163 | 162 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 164 | 135, 163 | eqeltrd 2701 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 165 | 45 | nnzd 11481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 166 | 165 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 167 | 1 | nnne0d 11065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 168 | 92, 63, 167, 53 | divne0d 10817 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 169 | 168 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 170 | 138 | adantlrr 757 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 171 | dvdsval2 14986 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 172 | 166, 169, 170, 171 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 173 | 172 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 174 | 164, 173 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 175 | 174 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 176 | 175 | reximdvva 3019 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 177 | 89, 176 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
|
| 178 | 1z 11407 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 179 | ne0i 3921 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 180 | r19.9rzv 4065 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 181 | 178, 179, 180 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 182 | r19.9rzv 4065 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 183 | 178, 179, 182 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 184 | 181, 183 | bitri 264 |
. . . . . . . . . 10
|
| 185 | 177, 184 | sylibr 224 |
. . . . . . . . 9
|
| 186 | 165 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
|
| 187 | simprl 794 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 188 | dvdsle 15032 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 189 | 186, 187, 188 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
|
| 190 | 185, 189 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
|
| 191 | 86, 190 | sylan2b 492 |
. . . . . . 7
|
| 192 | 79, 82, 191 | lensymd 10188 |
. . . . . 6
|
| 193 | 32, 46, 78, 192 | infmin 8400 |
. . . . 5
inf
|
| 194 | 30, 193 | eqtr2d 2657 |
. . . 4
lcm |
| 195 | 194, 45 | eqeltrrd 2702 |
. . . . . 6
lcm |
| 196 | 195 | nncnd 11036 |
. . . . 5
lcm |
| 197 | 92, 196, 63, 53 | divmul3d 10835 |
. . . 4
lcm
lcm |
| 198 | 194, 197 | mpbid 222 |
. . 3
lcm |
| 199 | 20, 198 | eqtr2d 2657 |
. 2
lcm
|
| 200 | simprl 794 |
. . . 4
| |
| 201 | eleq1 2689 |
. . . . . . . 8
| |
| 202 | breq2 4657 |
. . . . . . . . 9
| |
| 203 | breq2 4657 |
. . . . . . . . 9
| |
| 204 | 202, 203 | anbi12d 747 |
. . . . . . . 8
|
| 205 | 201, 204 | anbi12d 747 |
. . . . . . 7
|
| 206 | 205 | anbi2d 740 |
. . . . . 6
|
| 207 | breq2 4657 |
. . . . . 6
lcm
lcm | |
| 208 | 206, 207 | imbi12d 334 |
. . . . 5
lcm
lcm
|
| 209 | 194 | breq1d 4663 |
. . . . . . 7
lcm |
| 210 | 209 | adantr 481 |
. . . . . 6
lcm |
| 211 | 185, 210 | mpbid 222 |
. . . . 5
lcm
|
| 212 | 208, 211 | vtoclg 3266 |
. . . 4
lcm
|
| 213 | 200, 212 | mpcom 38 |
. . 3
lcm
|
| 214 | 213 | ex 450 |
. 2
lcm |
| 215 | 199, 214 | jca 554 |
1
lcm
lcm |
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wb 196 wo 383 wa 384 w3a 1037 wceq 1483 wcel 1990 wne 2794 wrex 2913 crab 2916 c0 3915 class class class wbr 4653
wor 5034
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(class class class)co 6650 infcinf 8347
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| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-lcm 15303 |
| This theorem is referenced by: lcmgcd 15320 lcmdvds 15321 |
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