mblfinlem2 - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem mblfinlem2 33447

Description: Lemma for ismblfin 33450, effectively one direction of the same fact for open sets, made necessary by Viaclovsky's slightly different defintion of outer measure. Note that unlike the main theorem, this holds for sets of infinite measure. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Feb-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 13-Jul-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
mblfinlem2	$/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem mblfinlem2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 22565	. . . 4
2		0cld 20842	. . . 4
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3
4		simpl3 1066	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
5		fveq2 6191	. . . . . 6
6	5	adantl 482	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
7	4, 6	breqtrd 4679	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
8		0ss 3972	. . . 4
9	7, 8	jctil 560	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		sseq1 3626	. . . . 5
11		fveq2 6191	. . . . . 6
12	11	breq2d 4665	. . . . 5
13	10, 12	anbi12d 747	. . . 4 $/\$ $/\$
14	13	rspcev 3309	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
15	3, 9, 14	sylancr 695	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16		mblfinlem1 33446	. . . 4 $/\$
17	16	3ad2antl1 1223	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
18		simpl3 1066	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
19		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . 15
20		rnco2 5642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21		forn 6118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22	21	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
23	20, 22	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	23	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	19, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
27		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
28		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
29	28	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
30	27, 29	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32	31	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
33	31	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
34	32, 33	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35	30, 34	cbvmpt2v 6735	. . . . . . . . . . . . . . 15
36		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37	36	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
39	37, 38	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
40	39	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . 16
41	40	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . 15
42		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
44	35, 41, 43	dyadmbllem 23367	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
46	26, 45	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
47		opnmbllem0 33445	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
50	46, 49	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
51	50	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
52		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . 13
53		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . 14
54	35	dyadf 23359	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
57	42, 56	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . 14
58	53, 57	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13
59		fss 6056	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
60	52, 58, 59	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12
61	53, 42	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
62		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
63	61, 62	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
64	63	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
65		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
66	61, 65	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
67	66	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
68	35	dyaddisj 23364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\/$ $\/$
69	64, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
70	52, 69	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
71		df-3or 1038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
72	70, 71	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
73		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
74		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
75	74	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
76		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
77	75, 76	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
78	77	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
79	78	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
80	79	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
81		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
82	81	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
83		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
84	82, 83	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
85	84	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
86	73, 80, 85	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
87		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
88		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
89	88	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
90		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
91	89, 90	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
92	91	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
93	92	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
94	93	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
95		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
96	95	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
97		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
98	96, 97	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
99	98	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
100	87, 94, 99	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
101		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
102	100, 101	syl6ib 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
103	86, 102	jaod 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\/$
104	62, 65, 103	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
105	104	anandis 873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\/$
106	52, 105	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\/$
107		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108		f1veqaeq 6514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
109	107, 108	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
110	106, 109	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
111	110	orim1d 884	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
112	72, 111	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$
113	112	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$
114		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
116	115	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117	116	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118	117	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
119	114, 118	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$
120	119	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$ $\/$
121	120	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\/$
122		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
123		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	123	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125	124	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126	125	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
127	122, 126	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$
128	127	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$ $\/$
129	128	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\/$
130	124	disjor 4634	. . . . . . . . . . . . . 14 Disj $\/$
131	121, 129, 130	3bitr4ri 293	. . . . . . . . . . . . 13 Disj $\/$
132	113, 131	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 Disj
133		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12
134	60, 132, 133	uniiccvol 23348	. . . . . . . . . . 11
135	134	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
136	51, 135	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
137	18, 136	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
138		absf 14077	. . . . . . . . . . . 12
139		subf 10283	. . . . . . . . . . . 12
140		fco 6058	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
141	138, 139, 140	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11
142		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
145	143, 144	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
146		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
147		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
148		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
149		expne0i 12892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
150	146, 147, 148, 149	mp3an12i 1428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151	145, 150	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
152		redivcl 10744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
153		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
154		redivcl 10744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
155	153, 154	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
156	152, 155	opelxpd 5149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
157	156	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
158	142, 151, 157	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
159	158	rgen2 2975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
161	160	fmpt2 7237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
162	159, 161	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16
163		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . 16
164	162, 163	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
165	42, 164	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . 14
166	53, 165	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13
167		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . 14
168		xpss12 5225	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	167, 167, 168	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13
170	166, 169	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12
171		fss 6056	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
172	170, 171	mpan2 707	. . . . . . . . . . 11
173		fco 6058	. . . . . . . . . . 11 $/\$
174	141, 172, 173	sylancr 695	. . . . . . . . . 10
175		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11
176		1z 11407	. . . . . . . . . . . 12
177	176	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
178		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 $/\$
179	175, 177, 178	serfre 12830	. . . . . . . . . 10
180		frn 6053	. . . . . . . . . . 11
181		ressxr 10083	. . . . . . . . . . 11
182	180, 181	syl6ss 3615	. . . . . . . . . 10
183	52, 174, 179, 182	4syl 19	. . . . . . . . 9
184		rexr 10085	. . . . . . . . . 10
185	184	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
186		supxrlub 12155	. . . . . . . . 9 $/\$
187	183, 185, 186	syl2anr 495	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
188	137, 187	mpbid 222	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
189		seqfn 12813	. . . . . . . . . 10
190	176, 189	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
191	175	fneq2i 5986	. . . . . . . . 9
192	190, 191	mpbir 221	. . . . . . . 8
193		breq2 4657	. . . . . . . . 9
194	193	rexrn 6361	. . . . . . . 8
195	192, 194	ax-mp 5	. . . . . . 7
196	188, 195	sylib 208	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
197	60	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
198		0le0 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
199		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
200	198, 199	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
201		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
202		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
203	201, 201, 202	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
204		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
205	200, 203, 204	mpbir2an 955	. . . . . . . . . . . . . . . 16
206		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
207	197, 205, 206	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
208		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15
209	207, 208	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . 14
210		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
211		iooid 12203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
212	210, 211	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
213	212	ineq1i 3810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
214		0in 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
215	213, 214	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
216	215	olci 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\/$
217		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
218	217	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
219	218	orbi2d 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\/$ $\/$
220		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
221	220	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
222	221	orbi2d 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\/$ $\/$
223	219, 222	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
224	112, 216, 223	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\/$
225	212	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
226		in0 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
227	225, 226	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
228	227	olci 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$
229		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
230	229	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
231	230	orbi2d 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\/$ $\/$
232		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
233	232	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
234	233	orbi2d 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\/$ $\/$
235	231, 234	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
236	224, 228, 235	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
237	236	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
238		disjeq2 4624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Disj Disj
239		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
240		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
241	239, 240	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
242		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
243		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
244	242, 243	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
245	241, 208, 244	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
246	245	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
247		fvif 6204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
248	246, 247	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
249	238, 248	mprg 2926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Disj Disj
250		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
251	250, 116	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
252	251	disjor 4634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Disj $\/$
253	249, 252	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 Disj $\/$
254	237, 253	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 Disj
255		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14
256	209, 254, 255	uniiccvol 23348	. . . . . . . . . . . . 13
257	256	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
258		rexpssxrxp 10084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
259	166, 258	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
260	259, 65	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
261		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
262		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
263	261, 261, 262	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
264		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
265	260, 263, 264	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
266		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
267		iccf 12272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
268	267	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
269	268	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
270		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
271	265, 266, 269, 270	fmptco 6396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
272	52, 271	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
273	272	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . . 15
274	273	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . 14
275		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
276	275, 175	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
277		fzouzsplit 12503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
278	276, 277	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
279	175, 278	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
280		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
281		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
282	280, 281	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
283	282	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
284	279, 283	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
285		fvif 6204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
286	285	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
287	284, 286	iuneq12d 4546	. . . . . . . . . . . . . . . 16
288		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
289	288	dfiun3 5380	. . . . . . . . . . . . . . . 16
290		iunxun 4605	. . . . . . . . . . . . . . . 16
291	287, 289, 290	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . . . . . 15
292		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
293	292	iuneq2i 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
294	293	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
295		uznfz 12423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
296	295	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
297		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
298		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
299		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
300	297, 298, 299	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
301	300	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
302	301	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
303	302	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
304	303	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
305	296, 304	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
306	305	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
307	306	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . . . . . . 16
308	294, 307	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . 15
309	291, 308	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14
310	274, 309	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
311	310	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
312		xrltso 11974	. . . . . . . . . . . . . . 15
313	312	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
314		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
315	314	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
316	315	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
317		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
318	174	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
319	317, 318	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
320	319	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
321		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
322	321	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
323	316, 320, 322	seqcl 12821	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
324	323	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
325		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
326		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
327	241, 326	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
328		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
329	242	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
330	325, 327, 328, 329	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
331	330	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
332	331	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
333		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
334	333, 243	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
335	334, 208	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
336		fvco2 6273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
337	335, 328, 336	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
338	337	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
339		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
340		fvco2 6273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
341	339, 328, 340	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
342	332, 338, 341	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
343	342	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
344	316, 343	seqfveq 12825	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
345	176	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
346	170, 65	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
347		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
348		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
349	347, 347, 348	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
350		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
351	346, 349, 350	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
352	351, 208	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
353		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
354	141, 352, 353	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
355	354	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
356	175, 345, 355	serfre 12830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
357	356	ffnd 6046	. . . . . . . . . . . . . . . 16
358		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
359	357, 358	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
360	344, 359	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
361		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
362	356, 361	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
363	362	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
364	363	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
365	323	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
366		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
367	366	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
368		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
369		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
370		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
371		addass 10023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
372	368, 369, 370, 371	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
373	372	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
374		nnltp1le 11433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
375	374	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
376	275	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
377		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
378		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
379	376, 377, 378	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
380	379	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
381	375, 380	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
382	381	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
383	315	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
384		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
385		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
386	384, 385, 355	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
387	367, 373, 382, 383, 386	seqsplit 12834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
388	344	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
389		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
390	389	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
391		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
392	275	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
393	392	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
394	389	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
395	394	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
396	275	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
397	396	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
398		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
399	398	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
400	391, 393, 395, 397, 399	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
401		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
402	390, 400, 401	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
403	335, 402, 336	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
404		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
405		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
406	405	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$
407	392	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$
408	394	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$
409	405	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
410	409	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$
411	398	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$
412	406, 407, 408, 410, 411	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
413	412	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$
414	406, 408	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
415		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
416	415	equcoms 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
417	416	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
418	414, 417	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$
419	413, 418	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
420		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
421	419, 420	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
422	421	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
423	389	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
424		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
425	396	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
426	424, 407, 408, 425, 411	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
427	423, 426, 401	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
428	243	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
429	404, 422, 427, 428	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
430	429	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
431	430	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
432	403, 431	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
433		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
434	139, 349, 433	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
435		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
436		0m0e0 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
437	435, 436	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
438	437	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
439		abs0 14025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
440	438, 439	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
441	434, 440	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
442	432, 441	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
443		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
444		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
445	444	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
446	443, 445	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
447	446	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
448	442, 447	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
449	381, 448	seqfveq 12825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
450		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
451	450	ser0 12853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
452	381, 451	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
453	449, 452	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
454	453	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
455	388, 454	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
456	174	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
457	328, 456	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
458	457	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
459		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
460	459	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
461	316, 458, 460	seqcl 12821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
462	461	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
463	462	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
464	463	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
465	455, 464	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
466	387, 465	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
467	456	ad5ant15 1303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
468	328, 467	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
469	383, 468, 367	seqcl 12821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
470	469	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
471	466, 470	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
472		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
473	472	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
474	473	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
475		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
476		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
477		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
478	477	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
479	385	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
480	479	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
481		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
482	481	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
483	405	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
484		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
485	484	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
486		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
487	480, 482, 483, 485, 486	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
488		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
489	280	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
490		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
491	176, 490	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
492	488, 489, 491	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
493	478, 487, 492	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
494	493	ad5ant2345 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
495	494	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
496	476, 495	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
497		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
498	496, 497	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
499	240	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
500	498, 499	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
501	385	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
502	242	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
503	475, 500, 501, 502	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
504	503	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
505	335, 385, 336	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
506	505	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
507		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
508		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
509	507, 385, 508	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
510	504, 506, 509	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
511	474, 510	seqfveq 12825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
512		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
513	377, 280, 512	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
514	513	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
515	514	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
516	507, 328, 456	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
517		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
518	517	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
519		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
520		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
521	520	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
522	521	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
523	517	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
524	523	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
525	520	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
526	525	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
527		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
528	527	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
529	519, 522, 524, 526, 528	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
530	518, 529, 401	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
531	530	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
532	531	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
533	172	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
534		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
535	139, 533, 534	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
536	535	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
537		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
538	139, 533, 537	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
539	508, 538	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
540	536, 539	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
541	540	ad5ant15 1303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
542	532, 541	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
543	474, 515, 516, 542	sermono 12833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
544	511, 543	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
545	405	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
546	481	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
547	471, 544, 545, 546	ltlecasei 10145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
548	547	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
549		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
550	549	ralrn 6362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
551	357, 550	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
552	551	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
553	548, 552	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
554	553	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
555	364, 365, 554	lensymd 10188	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
556	313, 324, 360, 555	supmax 8373	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
557	52, 556	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
558	257, 311, 557	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
559		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . 16
560	166, 65	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
561		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
562	561	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
563		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
564	562, 563	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
565		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
566		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
567		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
568	565, 566, 567	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
569	564, 568	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
570	560, 569	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
571	52, 559, 570	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
572	571	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . 14
573		iunss 4561	. . . . . . . . . . . . . 14
574	572, 573	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13
575	574	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
576		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . . . 16
577		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . 16
578		iunconst 4529	. . . . . . . . . . . . . . . 16
579	376, 576, 577, 578	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15
580		iccid 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
581	261, 580	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
582		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . 16
583	581, 582	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . 15
584	579, 583	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14
585		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . . 15
586	201, 585	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
587	584, 586	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . . . 13
588	587	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
589	584	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
590	589	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
591		ovolsn 23263	. . . . . . . . . . . . . 14
592	201, 591	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
593	590, 592	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
594		ovolunnul 23268	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
595	575, 588, 593, 594	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$
596	558, 595	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
597	596	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 $/\$
598	597	biimpd 219	. . . . . . . 8 $/\$
599	598	reximdva 3017	. . . . . . 7
600	599	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
601	196, 600	mpd 15	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
602		fzfi 12771	. . . . . . . . . 10
603		icccld 22570	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
604	565, 566, 603	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14
605	564, 604	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13
606	560, 605	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
607	559, 606	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 $/\$
608	607	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10
609		uniretop 22566	. . . . . . . . . . 11
610	609	iuncld 20849	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
611	1, 602, 608, 610	mp3an12i 1428	. . . . . . . . 9
612	611	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
613		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
614	613	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . 15
615	614	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
616	615	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13
617	65, 73, 616	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
618	559, 617	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 $/\$
619	618	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10
620		iunss 4561	. . . . . . . . . 10
621	619, 620	sylibr 224	. . . . . . . . 9
622	621	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
623		simprr 796	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
624		sseq1 3626	. . . . . . . . . 10
625		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11
626	625	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10
627	624, 626	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
628	627	rspcev 3309	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
629	612, 622, 623, 628	syl12anc 1324	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
630	52, 629	sylan 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
631	630	adantll 750	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
632	601, 631	rexlimddv 3035	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
633	632	adantlr 751	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
634	17, 633	exlimddv 1863	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
635	15, 634	pm2.61dane 2881	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

cvv 3200

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cif 4086

cpw 4158

csn 4177

cop 4183

cuni 4436

ciun 4520 Disj wdisj 4620 class class class wbr 4653

cmpt 4729

wor 5034

cxp 5112

crn 5115

cima 5117

ccom 5118

wfn 5883

wf 5884

wf1 5885

wfo 5886

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

c1st 7166

c2nd 7167

cfn 7955

csup 8346

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cioo 12175

cicc 12178

cfz 12326 ..^cfzo 12465

cseq 12801

cexp 12860

cabs 13974

ctg 16098

ctop 20698

ccld 20820

covol 23231

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-rest 16083 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cld 20823 df-cmp 21190 df-conn 21215 df-ovol 23233 df-vol 23234

This theorem is referenced by: mblfinlem4 33449 ismblfin 33450

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