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Theorem addmodlteq 12745

Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. A much shorter proof exists if the "divides" relation

can be used, see addmodlteqALT 15047. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
addmodlteq	..^ $/\$ ..^ $/\$

Proof of Theorem addmodlteq Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 12470	. . . . . . . 8 ..^
2	1	zred 11482	. . . . . . 7 ..^
3	2	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ..^ $/\$ ..^ $/\$
4		simp3 1063	. . . . . . 7 ..^ $/\$ ..^ $/\$
5	4	zred 11482	. . . . . 6 ..^ $/\$ ..^ $/\$
6		elfzo0 12508	. . . . . . . . 9 ..^ $/\$ $/\$
7	6	simp2bi 1077	. . . . . . . 8 ..^
8	7	nnrpd 11870	. . . . . . 7 ..^
9	8	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ..^ $/\$ ..^ $/\$
10		modaddmod 12709	. . . . . 6 $/\$ $/\$
11	3, 5, 9, 10	syl3anc 1326	. . . . 5 ..^ $/\$ ..^ $/\$
12	11	eqcomd 2628	. . . 4 ..^ $/\$ ..^ $/\$
13		elfzoelz 12470	. . . . . . . 8 ..^
14	13	zred 11482	. . . . . . 7 ..^
15	14	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 ..^ $/\$ ..^ $/\$
16		modaddmod 12709	. . . . . 6 $/\$ $/\$
17	15, 5, 9, 16	syl3anc 1326	. . . . 5 ..^ $/\$ ..^ $/\$
18	17	eqcomd 2628	. . . 4 ..^ $/\$ ..^ $/\$
19	12, 18	eqeq12d 2637	. . 3 ..^ $/\$ ..^ $/\$
20		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . 12
21		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . 12
22	20, 21	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
23	22	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
24		modcl 12672	. . . . . . . . . 10 $/\$
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
26	6, 25	sylbi 207	. . . . . . . 8 ..^
27	26	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 ..^ $/\$ ..^ $/\$
28	27, 5	readdcld 10069	. . . . . 6 ..^ $/\$ ..^ $/\$
29		modcl 12672	. . . . . . 7 $/\$
30	29	recnd 10068	. . . . . 6 $/\$
31	28, 9, 30	syl2anc 693	. . . . 5 ..^ $/\$ ..^ $/\$
32		elfzo0 12508	. . . . . . . . 9 ..^ $/\$ $/\$
33		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . 12
34	33, 21	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
35	34	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
36		modcl 12672	. . . . . . . . . 10 $/\$
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
38	32, 37	sylbi 207	. . . . . . . 8 ..^
39	38	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 ..^ $/\$ ..^ $/\$
40	39, 5	readdcld 10069	. . . . . 6 ..^ $/\$ ..^ $/\$
41		modcl 12672	. . . . . . 7 $/\$
42	41	recnd 10068	. . . . . 6 $/\$
43	40, 9, 42	syl2anc 693	. . . . 5 ..^ $/\$ ..^ $/\$
44	31, 43	subeq0ad 10402	. . . 4 ..^ $/\$ ..^ $/\$
45		oveq1 6657	. . . . 5
46		modsubmodmod 12729	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
47	28, 40, 9, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ..^ $/\$ ..^ $/\$
48	26	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ..^
49	48	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 ..^ $/\$ ..^ $/\$
50	38	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ..^
51	50	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 ..^ $/\$ ..^ $/\$
52	4	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 ..^ $/\$ ..^ $/\$
53	49, 51, 52	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . 9 ..^ $/\$ ..^ $/\$
54	53	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ..^ $/\$ ..^ $/\$
55	47, 54	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ..^ $/\$ ..^ $/\$
56	32	simp2bi 1077	. . . . . . . . . 10 ..^
57	56	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 ..^
58		0mod 12701	. . . . . . . . 9
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ..^
60	59	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 ..^ $/\$ ..^ $/\$
61	55, 60	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ..^ $/\$ ..^ $/\$
62		zmodidfzoimp 12700	. . . . . . . . . . 11 ..^
63	62	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 ..^ $/\$ ..^ $/\$
64		zmodidfzoimp 12700	. . . . . . . . . . 11 ..^
65	64	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 ..^ $/\$ ..^ $/\$
66	63, 65	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ..^ $/\$ ..^ $/\$
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ..^ $/\$ ..^ $/\$
68	67	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 ..^ $/\$ ..^ $/\$
69		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
70	1, 13, 69	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$ ..^
71	70	zred 11482	. . . . . . . . . 10 ..^ $/\$ ..^
72	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ..^ $/\$ ..^
73		mod0 12675	. . . . . . . . . 10 $/\$
74	71, 72, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ..^ $/\$ ..^
75		zdiv 11447	. . . . . . . . . . 11 $/\$
76	7, 70, 75	syl2an2r 876	. . . . . . . . . 10 ..^ $/\$ ..^
77		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		elfzoel2 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
79	78	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
80	79	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ $/\$ ..^
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$ ..^ $/\$
83	77, 82	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$
84	83	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$
85		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
86	1	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
87	13	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
88		subeq0 10307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
89	86, 87, 88	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ $/\$ ..^
90	89	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ $/\$ ..^
91	85, 90	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$ ..^
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ ..^ $/\$
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$
94	84, 93	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$
95	94	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ..^ $/\$ ..^ $/\$
96		subfzo0 12590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ ..^ $/\$
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$
98		elz 11379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\/$ $\/$
99		pm2.24 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
100	99	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
101	100	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ $/\$ ..^ $/\$
102		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
103		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
104	103	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
106	105	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
107	106	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
108		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
109	108	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
110		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
111	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
112	109, 110, 111	ltmul2d 11914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
113		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
114		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
115	114, 108	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
116		pm2.21 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
117	115, 116	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
118	113, 117	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
120	112, 119	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
121	107, 120	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
122	121	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
123	122	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
124	32, 123	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^
125	124	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^ $/\$ ..^
126	125	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^ $/\$ ..^
127	126	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^ $/\$ ..^
128	102, 127	syl6bir 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^ $/\$ ..^
129	128	com15 101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ $/\$ ..^
130	129	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ $/\$ ..^
131	130	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ ..^ $/\$ ..^
132	131	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ $/\$ ..^ $/\$
133	132	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ $/\$ ..^ $/\$
134		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
135		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
136		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
137		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
138	135, 136, 137	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
139	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
140	138, 139	possumd 10652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
141	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$
142	141	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
143	142	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$
144	143	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
145		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
146	145	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
147	146	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$
148		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$
149	141, 147, 148	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
150	144, 149	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
151	150	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
152		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
153	152	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
154	153	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$
155	139, 154	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
156		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
157		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
158	157	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
159		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
160		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
161		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
162	160, 161	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
163	161, 160	subnegd 10399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
164	162, 163	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
165	145, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
166	165	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$
167		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
168		renegcl 10344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
169	167, 168	suble0d 10618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
170	169	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$
171	166, 170	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$
172	159, 171	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$
173	158, 172	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $/\$
174	173	olcd 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
175		mulle0b 10894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
176	135, 153, 175	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
177	174, 176	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
178	155, 156, 177	lensymd 10188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
179	178	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
180	151, 179	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
181	140, 180	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
182	181	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
183	182	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
184	183	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
185	6, 184	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^ $/\$
186	185	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^ $/\$ ..^ $/\$
187	186	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ ..^ $/\$ ..^
188	134, 187	syl6bir 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ ..^ $/\$ ..^
189	188	com15 101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ $/\$ ..^ $/\$
190	189	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ $/\$ ..^ $/\$
191	190	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$
192	191	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$
193	192	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ $/\$ ..^ $/\$
194	101, 133, 193	3jaoi 1391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$ $\/$ ..^ $/\$ ..^ $/\$
195	194	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\/$ $\/$ ..^ $/\$ ..^ $/\$
196	98, 195	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ ..^ $/\$
197	196	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$
198	97, 197	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ $/\$ ..^ $/\$
199	198	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ..^ $/\$ ..^ $/\$
200	95, 199	pm2.61i 176	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$ ..^ $/\$
201	200	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . 10 ..^ $/\$ ..^
202	76, 201	sylbird 250	. . . . . . . . 9 ..^ $/\$ ..^
203	74, 202	sylbid 230	. . . . . . . 8 ..^ $/\$ ..^
204	203	3adant3 1081	. . . . . . 7 ..^ $/\$ ..^ $/\$
205	68, 204	sylbid 230	. . . . . 6 ..^ $/\$ ..^ $/\$
206	61, 205	sylbid 230	. . . . 5 ..^ $/\$ ..^ $/\$
207	45, 206	syl5 34	. . . 4 ..^ $/\$ ..^ $/\$
208	44, 207	sylbird 250	. . 3 ..^ $/\$ ..^ $/\$
209	19, 208	sylbid 230	. 2 ..^ $/\$ ..^ $/\$
210		oveq1 6657	. . 3
211	210	oveq1d 6665	. 2
212	209, 211	impbid1 215	1 ..^ $/\$ ..^ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wrex 2913 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

crp 11832 ..^cfzo 12465

cmo 12668

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669

This theorem is referenced by: cshf1 13556

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