Theorem fourierdlem10 40334

Description: Condition on the bounds of a non empty subinterval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem10.1	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem10.2	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem10.3	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem10.4	|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem10.5	|- ( ph -> C < D )
fourierdlem10.6	|- ( ph -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem10	|- ( ph -> ( A <_ C /\ D <_ B ) )

Proof of Theorem fourierdlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem10.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		fourierdlem10.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
3		fourierdlem10.6	. . . . 5 |- ( ph -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
4	3	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ C < A ) -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
5	2	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR* )
6	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C < A ) -> C e. RR* )
7		fourierdlem10.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. RR )
8	7	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. RR* )
9	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C < A ) -> D e. RR* )
10	2, 1	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C + A ) e. RR )
11	10	rehalfcld 11279	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C + A ) / 2 ) e. RR )
12	2, 7	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C + D ) e. RR )
13	12	rehalfcld 11279	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C + D ) / 2 ) e. RR )
14	11, 13	ifcld 4131	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. RR )
15	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C < A ) -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. RR )
16		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C < A ) /\ A <_ D ) -> C < A )
17	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C < A ) /\ A <_ D ) -> C e. RR )
18	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C < A ) /\ A <_ D ) -> A e. RR )
19		avglt1 11270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. RR /\ A e. RR ) -> ( C < A <-> C < ( ( C + A ) / 2 ) ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C < A ) /\ A <_ D ) -> ( C < A <-> C < ( ( C + A ) / 2 ) ) )
21	16, 20	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C < A ) /\ A <_ D ) -> C < ( ( C + A ) / 2 ) )
22		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 |- ( A <_ D -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) = ( ( C + A ) / 2 ) )
23	22	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C < A ) /\ A <_ D ) -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) = ( ( C + A ) / 2 ) )
24	21, 23	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C < A ) /\ A <_ D ) -> C < if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
25		fourierdlem10.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C < D )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> C < D )
27	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> C e. RR )
28	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> D e. RR )
29		avglt1 11270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( C < D <-> C < ( ( C + D ) / 2 ) ) )
30	27, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> ( C < D <-> C < ( ( C + D ) / 2 ) ) )
31	26, 30	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> C < ( ( C + D ) / 2 ) )
32		iffalse 4095	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A <_ D -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) = ( ( C + D ) / 2 ) )
33	32	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A <_ D -> ( ( C + D ) / 2 ) = if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> ( ( C + D ) / 2 ) = if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
35	31, 34	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> C < if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
36	35	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C < A ) /\ -. A <_ D ) -> C < if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
37	24, 36	pm2.61dan 832	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C < A ) -> C < if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
38	22	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A <_ D ) -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) = ( ( C + A ) / 2 ) )
39	10	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A <_ D ) -> ( C + A ) e. RR )
40	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A <_ D ) -> ( C + D ) e. RR )
41		2rp 11837	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR+
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A <_ D ) -> 2 e. RR+ )
43	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ A <_ D ) -> A e. RR )
44	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ A <_ D ) -> D e. RR )
45	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ A <_ D ) -> C e. RR )
46		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ A <_ D ) -> A <_ D )
47	43, 44, 45, 46	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A <_ D ) -> ( C + A ) <_ ( C + D ) )
48	39, 40, 42, 47	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A <_ D ) -> ( ( C + A ) / 2 ) <_ ( ( C + D ) / 2 ) )
49	38, 48	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A <_ D ) -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) <_ ( ( C + D ) / 2 ) )
50	32	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) = ( ( C + D ) / 2 ) )
51	13	leidd 10594	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( C + D ) / 2 ) <_ ( ( C + D ) / 2 ) )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> ( ( C + D ) / 2 ) <_ ( ( C + D ) / 2 ) )
53	50, 52	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) <_ ( ( C + D ) / 2 ) )
54	49, 53	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) <_ ( ( C + D ) / 2 ) )
55		avglt2 11271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( C < D <-> ( ( C + D ) / 2 ) < D ) )
56	2, 7, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C < D <-> ( ( C + D ) / 2 ) < D ) )
57	25, 56	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C + D ) / 2 ) < D )
58	14, 13, 7, 54, 57	lelttrd 10195	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) < D )
59	58	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C < A ) -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) < D )
60	6, 9, 15, 37, 59	eliood 39720	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C < A ) -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. ( C (,) D ) )
61	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C < A ) -> A e. RR )
62	11	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C < A ) -> ( ( C + A ) / 2 ) e. RR )
63	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ A <_ D ) -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. RR )
64	63, 38	eqled 10140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A <_ D ) -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) <_ ( ( C + A ) / 2 ) )
65	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. RR )
66	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> ( ( C + A ) / 2 ) e. RR )
67		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> -. A <_ D )
68	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> A e. RR )
69	28, 68	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> ( D < A <-> -. A <_ D ) )
70	67, 69	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> D < A )
71	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ D < A ) -> ( C + D ) e. RR )
72	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ D < A ) -> ( C + A ) e. RR )
73	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ D < A ) -> 2 e. RR+ )
74	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ D < A ) -> D e. RR )
75	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ D < A ) -> A e. RR )
76	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ D < A ) -> C e. RR )
77		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ D < A ) -> D < A )
78	74, 75, 76, 77	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ D < A ) -> ( C + D ) < ( C + A ) )
79	71, 72, 73, 78	ltdiv1dd 11929	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ D < A ) -> ( ( C + D ) / 2 ) < ( ( C + A ) / 2 ) )
80	70, 79	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> ( ( C + D ) / 2 ) < ( ( C + A ) / 2 ) )
81	50, 80	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) < ( ( C + A ) / 2 ) )
82	65, 66, 81	ltled 10185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. A <_ D ) -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) <_ ( ( C + A ) / 2 ) )
83	64, 82	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) <_ ( ( C + A ) / 2 ) )
84	83	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C < A ) -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) <_ ( ( C + A ) / 2 ) )
85		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C < A ) -> C < A )
86	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C < A ) -> C e. RR )
87		avglt2 11271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. RR /\ A e. RR ) -> ( C < A <-> ( ( C + A ) / 2 ) < A ) )
88	86, 61, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C < A ) -> ( C < A <-> ( ( C + A ) / 2 ) < A ) )
89	85, 88	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C < A ) -> ( ( C + A ) / 2 ) < A )
90	15, 62, 61, 84, 89	lelttrd 10195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C < A ) -> if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) < A )
91	15, 61, 90	ltnsymd 10186	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C < A ) -> -. A < if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
92	91	intn3an2d 1443	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C < A ) -> -. ( if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. RR /\ A < if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) /\ if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) < B ) )
93	1	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
94	93	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C < A ) -> A e. RR* )
95		fourierdlem10.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
96	95	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
97	96	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C < A ) -> B e. RR* )
98		elioo2 12216	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. ( A (,) B ) <-> ( if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. RR /\ A < if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) /\ if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) < B ) ) )
99	94, 97, 98	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C < A ) -> ( if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. ( A (,) B ) <-> ( if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. RR /\ A < if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) /\ if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) < B ) ) )
100	92, 99	mtbird 315	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C < A ) -> -. if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. ( A (,) B ) )
101		nelss 3664	. . . . 5 |- ( ( if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. ( C (,) D ) /\ -. if ( A <_ D , ( ( C + A ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. ( A (,) B ) ) -> -. ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
102	60, 100, 101	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ C < A ) -> -. ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
103	4, 102	pm2.65da 600	. . 3 |- ( ph -> -. C < A )
104	1, 2, 103	nltled 10187	. 2 |- ( ph -> A <_ C )
105	3	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ B < D ) -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
106	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < D ) -> C e. RR* )
107	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < D ) -> D e. RR* )
108	95, 7	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B + D ) e. RR )
109	108	rehalfcld 11279	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B + D ) / 2 ) e. RR )
110	109, 13	ifcld 4131	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. RR )
111	110	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < D ) -> if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. RR )
112	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C <_ B ) -> C e. RR )
113	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C <_ B ) -> ( ( C + D ) / 2 ) e. RR )
114	110	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C <_ B ) -> if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. RR )
115	2, 7, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C < D <-> C < ( ( C + D ) / 2 ) ) )
116	25, 115	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C < ( ( C + D ) / 2 ) )
117	116	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C <_ B ) -> C < ( ( C + D ) / 2 ) )
118	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C <_ B ) -> ( C + D ) e. RR )
119	108	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C <_ B ) -> ( B + D ) e. RR )
120	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C <_ B ) -> 2 e. RR+ )
121	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ C <_ B ) -> B e. RR )
122	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ C <_ B ) -> D e. RR )
123		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ C <_ B ) -> C <_ B )
124	112, 121, 122, 123	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C <_ B ) -> ( C + D ) <_ ( B + D ) )
125	118, 119, 120, 124	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C <_ B ) -> ( ( C + D ) / 2 ) <_ ( ( B + D ) / 2 ) )
126		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( C <_ B -> if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) = ( ( B + D ) / 2 ) )
127	126	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C <_ B ) -> if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) = ( ( B + D ) / 2 ) )
128	125, 127	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C <_ B ) -> ( ( C + D ) / 2 ) <_ if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
129	112, 113, 114, 117, 128	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C <_ B ) -> C < if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
130	116	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. C <_ B ) -> C < ( ( C + D ) / 2 ) )
131		iffalse 4095	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. C <_ B -> if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) = ( ( C + D ) / 2 ) )
132	131	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( -. C <_ B -> ( ( C + D ) / 2 ) = if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
133	132	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. C <_ B ) -> ( ( C + D ) / 2 ) = if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
134	130, 133	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C <_ B ) -> C < if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
135	129, 134	pm2.61dan 832	. . . . . . 7 |- ( ph -> C < if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
136	135	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < D ) -> C < if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
137	126	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B < D ) /\ C <_ B ) -> if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) = ( ( B + D ) / 2 ) )
138		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B < D ) -> B < D )
139	95	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B < D ) -> B e. RR )
140	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B < D ) -> D e. RR )
141		avglt2 11271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR /\ D e. RR ) -> ( B < D <-> ( ( B + D ) / 2 ) < D ) )
142	139, 140, 141	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B < D ) -> ( B < D <-> ( ( B + D ) / 2 ) < D ) )
143	138, 142	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B < D ) -> ( ( B + D ) / 2 ) < D )
144	143	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B < D ) /\ C <_ B ) -> ( ( B + D ) / 2 ) < D )
145	137, 144	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ B < D ) /\ C <_ B ) -> if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) < D )
146	131	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. C <_ B ) -> if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) = ( ( C + D ) / 2 ) )
147	57	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. C <_ B ) -> ( ( C + D ) / 2 ) < D )
148	146, 147	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C <_ B ) -> if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) < D )
149	148	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ B < D ) /\ -. C <_ B ) -> if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) < D )
150	145, 149	pm2.61dan 832	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < D ) -> if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) < D )
151	106, 107, 111, 136, 150	eliood 39720	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < D ) -> if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. ( C (,) D ) )
152	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B < D ) -> ( ( B + D ) / 2 ) e. RR )
153		avglt1 11270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ D e. RR ) -> ( B < D <-> B < ( ( B + D ) / 2 ) ) )
154	139, 140, 153	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ B < D ) -> ( B < D <-> B < ( ( B + D ) / 2 ) ) )
155	138, 154	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B < D ) -> B < ( ( B + D ) / 2 ) )
156	139, 152, 155	ltled 10185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B < D ) -> B <_ ( ( B + D ) / 2 ) )
157	156	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B < D ) /\ C <_ B ) -> B <_ ( ( B + D ) / 2 ) )
158	157, 137	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B < D ) /\ C <_ B ) -> B <_ if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
159	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. C <_ B ) -> B e. RR )
160	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. C <_ B ) -> ( ( C + D ) / 2 ) e. RR )
161	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. C <_ B ) -> C e. RR )
162		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. C <_ B ) -> -. C <_ B )
163	159, 161	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. C <_ B ) -> ( B < C <-> -. C <_ B ) )
164	162, 163	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. C <_ B ) -> B < C )
165	159, 161, 160, 164, 130	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. C <_ B ) -> B < ( ( C + D ) / 2 ) )
166	159, 160, 165	ltled 10185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. C <_ B ) -> B <_ ( ( C + D ) / 2 ) )
167	166, 133	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. C <_ B ) -> B <_ if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
168	167	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B < D ) /\ -. C <_ B ) -> B <_ if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
169	158, 168	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B < D ) -> B <_ if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) )
170	139, 111, 169	lensymd 10188	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B < D ) -> -. if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) < B )
171	170	intn3an3d 1444	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < D ) -> -. ( if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. RR /\ A < if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) /\ if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) < B ) )
172	93	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B < D ) -> A e. RR* )
173	96	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B < D ) -> B e. RR* )
174		elioo2 12216	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. ( A (,) B ) <-> ( if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. RR /\ A < if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) /\ if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) < B ) ) )
175	172, 173, 174	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < D ) -> ( if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. ( A (,) B ) <-> ( if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. RR /\ A < if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) /\ if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) < B ) ) )
176	171, 175	mtbird 315	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < D ) -> -. if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. ( A (,) B ) )
177		nelss 3664	. . . . 5 |- ( ( if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. ( C (,) D ) /\ -. if ( C <_ B , ( ( B + D ) / 2 ) , ( ( C + D ) / 2 ) ) e. ( A (,) B ) ) -> -. ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
178	151, 176, 177	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ B < D ) -> -. ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
179	105, 178	pm2.65da 600	. . 3 |- ( ph -> -. B < D )
180	7, 95, 179	nltled 10187	. 2 |- ( ph -> D <_ B )
181	104, 180	jca 554	1 |- ( ph -> ( A <_ C /\ D <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-ioo 12179

This theorem is referenced by:  fourierdlem32  40356  fourierdlem33  40357  fourierdlem46  40369  fourierdlem50  40373  fourierdlem72  40395  fourierdlem76  40399  fourierdlem89  40412  fourierdlem91  40414  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427