Theorem unblimceq0lem 32497

Description: Lemma for unblimceq0 32498. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unblimceq0lem.0	|- ( ph -> S C_ CC )
unblimceq0lem.1	|- ( ph -> F : S --> CC )
unblimceq0lem.2	|- ( ph -> A e. CC )
unblimceq0lem.3	|- ( ph -> A. b e. RR+ A. d e. RR+ E. x e. S ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ b <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
unblimceq0lem	|- ( ph -> A. c e. RR+ A. d e. RR+ E. y e. S ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( F ` y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, b, d, x   y, A, d, x   F, b, d, x   y, F   S, b, d, x   y, S   ph, b, c, d, x   ph, y, c

Allowed substitution hints:   A( c)   S( c)   F( c)

Proof of Theorem unblimceq0lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( b = if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) -> ( b <_ ( abs ` ( F ` x ) ) <-> if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
2	1	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( b = if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) -> ( ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ b <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) <-> ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) )
3	2	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( b = if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) -> ( E. x e. S ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ b <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) <-> E. x e. S ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) )
4	3	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( b = if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) -> ( A. d e. RR+ E. x e. S ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ b <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) <-> A. d e. RR+ E. x e. S ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) )
5		unblimceq0lem.3	. . . . . 6 |- ( ph -> A. b e. RR+ A. d e. RR+ E. x e. S ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ b <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
6	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> A. b e. RR+ A. d e. RR+ E. x e. S ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ b <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
7		unblimceq0lem.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : S --> CC )
8	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A e. S ) -> F : S --> CC )
9		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A e. S ) -> A e. S )
10	8, 9	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A e. S ) -> ( F ` A ) e. CC )
11	10	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A e. S ) -> ( abs ` ( F ` A ) ) e. RR )
12		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> c e. RR+ )
13	12	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> c e. RR )
14	13	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A e. S ) -> c e. RR )
15	11, 14	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A e. S ) -> ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) e. RR )
16	10	absge0d 14183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A e. S ) -> 0 <_ ( abs ` ( F ` A ) ) )
17	12	rpgt0d 11875	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> 0 < c )
18	17	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A e. S ) -> 0 < c )
19	11, 14, 16, 18	addgegt0d 10601	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A e. S ) -> 0 < ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) )
20	15, 19	elrpd 11869	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A e. S ) -> ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) e. RR+ )
21		simplrl 800	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ -. A e. S ) -> c e. RR+ )
22	20, 21	ifclda 4120	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) e. RR+ )
23	4, 6, 22	rspcdva 3316	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> A. d e. RR+ E. x e. S ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
24		simprr 796	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> d e. RR+ )
25		rsp 2929	. . . 4 |- ( A. d e. RR+ E. x e. S ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) -> ( d e. RR+ -> E. x e. S ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) )
26	23, 24, 25	sylc 65	. . 3 |- ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> E. x e. S ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
27		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) -> x e. S )
28		neeq1 2856	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( y =/= A <-> x =/= A ) )
29		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( y - A ) = ( x - A ) )
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( abs ` ( y - A ) ) = ( abs ` ( x - A ) ) )
31	30	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ( abs ` ( y - A ) ) < d <-> ( abs ` ( x - A ) ) < d ) )
32		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
33	32	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( abs ` ( F ` y ) ) = ( abs ` ( F ` x ) ) )
34	33	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( c <_ ( abs ` ( F ` y ) ) <-> c <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
35	28, 31, 34	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( y = x -> ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( F ` y ) ) ) <-> ( x =/= A /\ ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) )
36	35	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ y = x ) -> ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( F ` y ) ) ) <-> ( x =/= A /\ ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) )
37	15	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) e. RR )
38	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) -> F : S --> CC )
39	38, 27	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
40	39	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
41	40	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
42		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> A e. S )
43	42	iftrued 4094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) = ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) )
44	43	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) = if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) )
45		simprrr 805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) -> if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) )
47	44, 46	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) )
48	37, 41, 47	lensymd 10188	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> -. ( abs ` ( F ` x ) ) < ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) )
49		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = A -> ( F ` x ) = ( F ` A ) )
50	49	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( F ` A ) ) )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A e. S ) /\ x = A ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( F ` A ) ) )
52	14, 11	ltaddposd 10611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A e. S ) -> ( 0 < c <-> ( abs ` ( F ` A ) ) < ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) ) )
53	18, 52	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A e. S ) -> ( abs ` ( F ` A ) ) < ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A e. S ) /\ x = A ) -> ( abs ` ( F ` A ) ) < ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) )
55	51, 54	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A e. S ) /\ x = A ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) < ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) )
56	55	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ A e. S ) -> ( x = A -> ( abs ` ( F ` x ) ) < ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) ) )
57	56	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> ( x = A -> ( abs ` ( F ` x ) ) < ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) ) )
58	57	necon3bd 2808	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> ( -. ( abs ` ( F ` x ) ) < ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) -> x =/= A ) )
59	48, 58	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> x =/= A )
60		simprrl 804	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) < d )
61	60	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> ( abs ` ( x - A ) ) < d )
62	14	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> c e. RR )
63	10	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> ( F ` A ) e. CC )
64	63	absge0d 14183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> 0 <_ ( abs ` ( F ` A ) ) )
65	11	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> ( abs ` ( F ` A ) ) e. RR )
66	62, 65	addge02d 10616	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> ( 0 <_ ( abs ` ( F ` A ) ) <-> c <_ ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) ) )
67	64, 66	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> c <_ ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) )
68	62, 37, 41, 67, 47	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> c <_ ( abs ` ( F ` x ) ) )
69	59, 61, 68	3jca 1242	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ A e. S ) -> ( x =/= A /\ ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
70		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ -. A e. S ) -> -. A e. S )
71		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ -. A e. S ) /\ x = A ) -> x = A )
72	27	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ -. A e. S ) -> x e. S )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ -. A e. S ) /\ x = A ) -> x e. S )
74	71, 73	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ -. A e. S ) /\ x = A ) -> A e. S )
75	74	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ -. A e. S ) -> ( x = A -> A e. S ) )
76	75	necon3bd 2808	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ -. A e. S ) -> ( -. A e. S -> x =/= A ) )
77	70, 76	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ -. A e. S ) -> x =/= A )
78	60	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ -. A e. S ) -> ( abs ` ( x - A ) ) < d )
79	70	iffalsed 4097	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ -. A e. S ) -> if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) = c )
80	79	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ -. A e. S ) -> c = if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) )
81	45	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ -. A e. S ) -> if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) )
82	80, 81	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ -. A e. S ) -> c <_ ( abs ` ( F ` x ) ) )
83	77, 78, 82	3jca 1242	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) /\ -. A e. S ) -> ( x =/= A /\ ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
84	69, 83	pm2.61dan 832	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) -> ( x =/= A /\ ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
85	27, 36, 84	rspcedvd 3317	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. S /\ ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ if ( A e. S , ( ( abs ` ( F ` A ) ) + c ) , c ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) ) -> E. y e. S ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( F ` y ) ) ) )
86	26, 85	rexlimddv 3035	. 2 |- ( ( ph /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> E. y e. S ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( F ` y ) ) ) )
87	86	ralrimivva 2971	1 |- ( ph -> A. c e. RR+ A. d e. RR+ E. y e. S ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( F ` y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  unblimceq0  32498