Theorem fourierdlem20 40344

Description: Every interval in the partition S is included in an interval of the partition Q. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem20.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem20.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem20.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem20.aleb	|- ( ph -> A <_ B )
fourierdlem20.q	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem20.q0	|- ( ph -> ( Q ` 0 ) <_ A )
fourierdlem20.qm	|- ( ph -> B <_ ( Q ` M ) )
fourierdlem20.j	|- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
fourierdlem20.t	|- T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) )
fourierdlem20.s	|- ( ph -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
fourierdlem20.i	|- I = sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem20	|- ( ph -> E. i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, I   i, J   k, J   i, M   k, M   Q, i   Q, k   S, i   S, k

Allowed substitution hints:   ph( i, k)   A( i, k)   B( i, k)   T( i, k)   I( k)   N( i, k)

Proof of Theorem fourierdlem20

Dummy variables x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem20.i	. . 3 |- I = sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } , RR , < )
2		ssrab2 3687	. . . 4 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } C_ ( 0..^ M )
3		fzossfz 12488	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
4		fzssz 12343	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... M ) C_ ZZ
5	3, 4	sstri 3612	. . . . . . 7 |- ( 0..^ M ) C_ ZZ
6	2, 5	sstri 3612	. . . . . 6 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } C_ ZZ
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } C_ ZZ )
8		0z 11388	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
9		0le0 11110	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 0
10		eluz2 11693	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( 0 e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ 0 <_ 0 ) )
11	8, 8, 9, 10	mpbir3an 1244	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
13		fourierdlem20.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
14	13	nnzd 11481	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
15	13	nngt0d 11064	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < M )
16		elfzo2 12473	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ /\ 0 < M ) )
17	12, 14, 15, 16	syl3anbrc 1246	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ M ) )
18		fourierdlem20.q	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
19	3, 17	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
20	18, 19	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
21		fourierdlem20.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
22		fourierdlem20.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) )
23	21	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR* )
24		fourierdlem20.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. RR )
25	24	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR* )
26		fourierdlem20.aleb	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A <_ B )
27		lbicc2 12288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A e. ( A [,] B ) )
28	23, 25, 26, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
29		ubicc2 12289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. ( A [,] B ) )
30	23, 25, 26, 29	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. ( A [,] B ) )
31	28, 30	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A e. ( A [,] B ) /\ B e. ( A [,] B ) ) )
32		prssg 4350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A e. ( A [,] B ) /\ B e. ( A [,] B ) ) <-> { A , B } C_ ( A [,] B ) ) )
33	23, 25, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A e. ( A [,] B ) /\ B e. ( A [,] B ) ) <-> { A , B } C_ ( A [,] B ) ) )
34	31, 33	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { A , B } C_ ( A [,] B ) )
35		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ ( A (,) B )
36		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
37	35, 36	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ ( A [,] B )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ ( A [,] B ) )
39	34, 38	unssd 3789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) C_ ( A [,] B ) )
40	22, 39	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T C_ ( A [,] B ) )
41	21, 24	iccssred 39727	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
42	40, 41	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T C_ RR )
43		fourierdlem20.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
44		isof1o 6573	. . . . . . . . . . 11 |- ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T )
45		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T -> S : ( 0 ... N ) --> T )
46	43, 44, 45	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> T )
47		fourierdlem20.j	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
48		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ( 0 ... N ) )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. ( 0 ... N ) )
50	46, 49	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S ` J ) e. T )
51	42, 50	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S ` J ) e. RR )
52		fourierdlem20.q0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) <_ A )
53	40, 50	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S ` J ) e. ( A [,] B ) )
54		iccgelb 12230	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( S ` J ) e. ( A [,] B ) ) -> A <_ ( S ` J ) )
55	23, 25, 53, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A <_ ( S ` J ) )
56	20, 21, 51, 52, 55	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) <_ ( S ` J ) )
57		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( Q ` k ) = ( Q ` 0 ) )
58	57	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) <-> ( Q ` 0 ) <_ ( S ` J ) ) )
59	58	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( 0 e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } <-> ( 0 e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` 0 ) <_ ( S ` J ) ) )
60	17, 56, 59	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } )
61		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( 0 e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } =/= (/) )
62	60, 61	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } =/= (/) )
63	13	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
64	2	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } -> j e. ( 0..^ M ) )
65		elfzo0le 12511	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j <_ M )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( j e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } -> j <_ M )
67	66	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } ) -> j <_ M )
68	67	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. j e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } j <_ M )
69		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( j <_ x <-> j <_ M ) )
70	69	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( A. j e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } j <_ x <-> A. j e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } j <_ M ) )
71	70	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ A. j e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } j <_ M ) -> E. x e. RR A. j e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } j <_ x )
72	63, 68, 71	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. RR A. j e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } j <_ x )
73		suprzcl 11457	. . . . 5 |- ( ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } C_ ZZ /\ { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } =/= (/) /\ E. x e. RR A. j e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } j <_ x ) -> sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } , RR , < ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } )
74	7, 62, 72, 73	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } , RR , < ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } )
75	2, 74	sseldi 3601	. . 3 |- ( ph -> sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } , RR , < ) e. ( 0..^ M ) )
76	1, 75	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
77	3, 76	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ph -> I e. ( 0 ... M ) )
78	18, 77	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR )
79	78	rexrd 10089	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR* )
80		fzofzp1 12565	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
81	76, 80	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
82	18, 81	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
83	82	rexrd 10089	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
84	1, 74	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> I e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } )
85		nfrab1 3122	. . . . . . . 8 |- F/_ k { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) }
86		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k RR
87		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k <
88	85, 86, 87	nfsup 8357	. . . . . . 7 |- F/_ k sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } , RR , < )
89	1, 88	nfcxfr 2762	. . . . . 6 |- F/_ k I
90		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ k ( 0..^ M )
91		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k Q
92	91, 89	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ k ( Q ` I )
93		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k <_
94		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k ( S ` J )
95	92, 93, 94	nfbr 4699	. . . . . 6 |- F/ k ( Q ` I ) <_ ( S ` J )
96		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = I -> ( Q ` k ) = ( Q ` I ) )
97	96	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( k = I -> ( ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) <-> ( Q ` I ) <_ ( S ` J ) ) )
98	89, 90, 95, 97	elrabf 3360	. . . . 5 |- ( I e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } <-> ( I e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` I ) <_ ( S ` J ) ) )
99	84, 98	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( I e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` I ) <_ ( S ` J ) ) )
100	99	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` I ) <_ ( S ` J ) )
101		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> -. ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
102	83	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
103		iccssxr 12256	. . . . . . . . . 10 |- ( A [,] B ) C_ RR*
104	40, 103	syl6ss 3615	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T C_ RR* )
105		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
106	47, 105	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
107	46, 106	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. T )
108	104, 107	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR* )
109	108	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR* )
110		xrltnle 10105	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR* ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) <-> -. ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
111	102, 109, 110	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) <-> -. ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
112	101, 111	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
113		fzssz 12343	. . . . . 6 |- ( 0 ... N ) C_ ZZ
114		f1ofo 6144	. . . . . . . . . 10 |- ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T -> S : ( 0 ... N ) -onto-> T )
115	43, 44, 114	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) -onto-> T )
116	115	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> S : ( 0 ... N ) -onto-> T )
117		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Fun Q )
118	18, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun Q )
119		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> dom Q = ( 0 ... M ) )
120	18, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom Q = ( 0 ... M ) )
121	120	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0 ... M ) = dom Q )
122	81, 121	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. dom Q )
123		fvelrn 6352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun Q /\ ( I + 1 ) e. dom Q ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ran Q )
124	118, 122, 123	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ran Q )
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ran Q )
126	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> A e. RR* )
127	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> B e. RR* )
128	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
129	41, 53	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S ` J ) e. RR )
130	4	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( I e. ( 0 ... M ) -> I e. ZZ )
131		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( I e. ZZ -> I e. RR )
132	77, 130, 131	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> I e. RR )
133	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. ( S ` J ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> I e. RR )
134	133	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. ( S ` J ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> I < ( I + 1 ) )
135	134	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR ) /\ -. ( S ` J ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> I < ( I + 1 ) )
136		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR ) /\ -. ( S ` J ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
137	129	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR ) /\ -. ( S ` J ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( S ` J ) e. RR )
138		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR ) /\ -. ( S ` J ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> -. ( S ` J ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
139	136, 137, 138	nltled 10187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR ) /\ -. ( S ` J ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) )
140	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> I e. RR )
141		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> 1 e. RR )
142	140, 141	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> ( I + 1 ) e. RR )
143		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j e. ZZ )
144	143	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j e. RR )
145	144	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0..^ M ) C_ RR
146	2, 145	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } C_ RR
147	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } C_ RR )
148	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } =/= (/) )
149	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> E. x e. RR A. j e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } j <_ x )
150	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
151	129	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> ( S ` J ) e. RR )
152	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> B e. RR )
153		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) )
154	42, 107	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
155	154	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
156		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ZZ )
157		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( J e. ZZ -> J e. RR )
158	47, 156, 157	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> J e. RR )
159	158	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> J < ( J + 1 ) )
160		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) /\ ( J e. ( 0 ... N ) /\ ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( J < ( J + 1 ) <-> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
161	43, 49, 106, 160	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> ( J < ( J + 1 ) <-> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
162	159, 161	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
163	162	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
164	40, 107	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. ( A [,] B ) )
165		iccleub 12229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( S ` ( J + 1 ) ) e. ( A [,] B ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ B )
166	23, 25, 164, 165	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ B )
167	166	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ B )
168	151, 155, 152, 163, 167	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> ( S ` J ) < B )
169	150, 151, 152, 153, 168	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) < B )
170	169	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) < B )
171	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> B e. RR )
172	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
173		fourierdlem20.qm	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> B <_ ( Q ` M ) )
174	173	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> B <_ ( Q ` M ) )
175	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> M e. ZZ )
176	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
177		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( M e. ZZ -> ( 0 ... M ) = ( 0..^ ( M + 1 ) ) )
178	14, 177	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ph -> ( 0 ... M ) = ( 0..^ ( M + 1 ) ) )
179	178	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( 0 ... M ) = ( 0..^ ( M + 1 ) ) )
180	176, 179	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) )
181		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) )
182	180, 181	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( I + 1 ) e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) )
183		elfzonelfzo 12570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( I + 1 ) e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( I + 1 ) e. ( M..^ ( M + 1 ) ) ) )
184	175, 182, 183	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( I + 1 ) e. ( M..^ ( M + 1 ) ) )
185		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = ( M..^ ( M + 1 ) ) )
186	14, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ph -> ( M ... M ) = ( M..^ ( M + 1 ) ) )
187	186	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ph -> ( M..^ ( M + 1 ) ) = ( M ... M ) )
188	187	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( M..^ ( M + 1 ) ) = ( M ... M ) )
189	184, 188	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( I + 1 ) e. ( M ... M ) )
190		elfz1eq 12352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( I + 1 ) e. ( M ... M ) -> ( I + 1 ) = M )
191	189, 190	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( I + 1 ) = M )
192	191	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> M = ( I + 1 ) )
193	192	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` M ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
194	174, 193	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> B <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
195	171, 172, 194	lensymd 10188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) < B )
196	195	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) /\ -. ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) ) -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) < B )
197	170, 196	condan 835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) )
198		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ k +
199		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ k 1
200	89, 198, 199	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ k ( I + 1 )
201	91, 200	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ k ( Q ` ( I + 1 ) )
202	201, 93, 94	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ k ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J )
203		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = ( I + 1 ) -> ( Q ` k ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
204	203	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = ( I + 1 ) -> ( ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) <-> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) )
205	200, 90, 202, 204	elrabf 3360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( I + 1 ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } <-> ( ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) )
206	197, 153, 205	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> ( I + 1 ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } )
207		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } C_ RR /\ { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } =/= (/) /\ E. x e. RR A. j e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } j <_ x ) /\ ( I + 1 ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } ) -> ( I + 1 ) <_ sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } , RR , < ) )
208	147, 148, 149, 206, 207	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> ( I + 1 ) <_ sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) } , RR , < ) )
209	208, 1	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> ( I + 1 ) <_ I )
210	142, 140, 209	lensymd 10188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> -. I < ( I + 1 ) )
211	210	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( S ` J ) ) -> -. I < ( I + 1 ) )
212	139, 211	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR ) /\ -. ( S ` J ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> -. I < ( I + 1 ) )
213	135, 212	condan 835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR ) -> ( S ` J ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
214	82, 213	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S ` J ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
215	21, 129, 82, 55, 214	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
216	215	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> A < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
217	154	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
218	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> B e. RR )
219		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
220	166	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ B )
221	128, 217, 218, 219, 220	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) < B )
222	126, 127, 128, 216, 221	eliood 39720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( A (,) B ) )
223	125, 222	elind 3798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) )
224		elun2 3781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) )
225	223, 224	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) )
226	225, 22	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. T )
227		foelrn 6378	. . . . . . . 8 |- ( ( S : ( 0 ... N ) -onto-> T /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. T ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) )
228	116, 226, 227	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) )
229	214	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> ( S ` J ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
230		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) )
231	229, 230	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> ( S ` J ) < ( S ` j ) )
232	231	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> ( S ` J ) < ( S ` j ) )
233	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
234	49	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( J e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) )
235	234	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> ( J e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) )
236		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) /\ ( J e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( J < j <-> ( S ` J ) < ( S ` j ) ) )
237	233, 235, 236	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> ( J < j <-> ( S ` J ) < ( S ` j ) ) )
238	232, 237	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> J < j )
239	238	adantllr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> J < j )
240		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) <-> ( S ` j ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
241	240	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) -> ( S ` j ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
242	241	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> ( S ` j ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
243		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
244	242, 243	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
245	244	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
246	245	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
247	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
248		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
249	106	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
250		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( j < ( J + 1 ) <-> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
251	247, 248, 249, 250	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( j < ( J + 1 ) <-> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
252	251	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> ( j < ( J + 1 ) <-> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
253	246, 252	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> j < ( J + 1 ) )
254	239, 253	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) ) -> ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
255	254	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) -> ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) )
256	255	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( E. j e. ( 0 ... N ) ( Q ` ( I + 1 ) ) = ( S ` j ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) )
257	228, 256	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
258		ssrexv 3667	. . . . . 6 |- ( ( 0 ... N ) C_ ZZ -> ( E. j e. ( 0 ... N ) ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) -> E. j e. ZZ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) )
259	113, 257, 258	mpsyl 68	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> E. j e. ZZ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
260	112, 259	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> E. j e. ZZ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
261		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ZZ ) /\ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
262	47, 156	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. ZZ )
263	262	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ZZ ) /\ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) -> J e. ZZ )
264		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ZZ ) /\ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) -> J < j )
265		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ZZ ) /\ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) -> j < ( J + 1 ) )
266		btwnnz 11453	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ZZ /\ J < j /\ j < ( J + 1 ) ) -> -. j e. ZZ )
267	263, 264, 265, 266	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ZZ ) /\ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) ) -> -. j e. ZZ )
268	261, 267	pm2.65da 600	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ZZ ) -> -. ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
269	268	nrexdv 3001	. . . . 5 |- ( ph -> -. E. j e. ZZ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
270	269	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> -. E. j e. ZZ ( J < j /\ j < ( J + 1 ) ) )
271	260, 270	condan 835	. . 3 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
272		ioossioo 12265	. . 3 |- ( ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* ) /\ ( ( Q ` I ) <_ ( S ` J ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
273	79, 83, 100, 271, 272	syl22anc 1327	. 2 |- ( ph -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
274		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( i = I -> ( Q ` i ) = ( Q ` I ) )
275		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( i = I -> ( i + 1 ) = ( I + 1 ) )
276	275	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( i = I -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
277	274, 276	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( i = I -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
278	277	sseq2d 3633	. . 3 |- ( i = I -> ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
279	278	rspcev 3309	. 2 |- ( ( I e. ( 0..^ M ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> E. i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
280	76, 273, 279	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  fourierdlem50  40373