Theorem mullimc 39848

Description: Limit of the product of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullimc.f	|- F = ( x e. A |-> B )
mullimc.g	|- G = ( x e. A |-> C )
mullimc.h	|- H = ( x e. A |-> ( B x. C ) )
mullimc.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
mullimc.c	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
mullimc.x	|- ( ph -> X e. ( F lim CC D ) )
mullimc.y	|- ( ph -> Y e. ( G lim CC D ) )

Assertion

Ref	Expression
mullimc	|- ( ph -> ( X x. Y ) e. ( H lim CC D ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, D   x, X   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   F( x)   G( x)   H( x)   Y( x)

Proof of Theorem mullimc

Dummy variables a b e f y z w c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 23639	. . . 4 |- ( F lim CC D ) C_ CC
2		mullimc.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( F lim CC D ) )
3	1, 2	sseldi 3601	. . 3 |- ( ph -> X e. CC )
4		limccl 23639	. . . 4 |- ( G lim CC D ) C_ CC
5		mullimc.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. ( G lim CC D ) )
6	4, 5	sseldi 3601	. . 3 |- ( ph -> Y e. CC )
7	3, 6	mulcld 10060	. 2 |- ( ph -> ( X x. Y ) e. CC )
8		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> w e. RR+ )
9	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> X e. CC )
10	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> Y e. CC )
11		mulcn2 14326	. . . . 5 |- ( ( w e. RR+ /\ X e. CC /\ Y e. CC ) -> E. a e. RR+ E. b e. RR+ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> E. a e. RR+ E. b e. RR+ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
13		mullimc.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
14		mullimc.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F = ( x e. A |-> B )
15	13, 14	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : A --> CC )
16	14, 13	dmmptd 6024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom F = A )
17		limcrcl 23638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X e. ( F lim CC D ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ D e. CC ) )
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ D e. CC ) )
19	18	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom F C_ CC )
20	16, 19	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A C_ CC )
21	18	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. CC )
22	15, 20, 21	ellimc3 23643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X e. ( F lim CC D ) <-> ( X e. CC /\ A. a e. RR+ E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) ) )
23	2, 22	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X e. CC /\ A. a e. RR+ E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) )
24	23	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) )
25	24	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. RR+ ) -> E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) )
26	25	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) )
27		mullimc.c	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
28		mullimc.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- G = ( x e. A |-> C )
29	27, 28	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G : A --> CC )
30	29, 20, 21	ellimc3 23643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Y e. ( G lim CC D ) <-> ( Y e. CC /\ A. b e. RR+ E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) )
31	5, 30	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Y e. CC /\ A. b e. RR+ E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
32	31	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. b e. RR+ E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
33	32	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. RR+ ) -> E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
34	33	adantrl 752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
35		reeanv 3107	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. e e. RR+ E. f e. RR+ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) <-> ( E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
36	26, 34, 35	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. e e. RR+ E. f e. RR+ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
37		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) -> if ( e <_ f , e , f ) e. RR+ )
38	37	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> if ( e <_ f , e , f ) e. RR+ )
39		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) )
40		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z ( e e. RR+ /\ f e. RR+ )
41		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ z A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a )
42		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ z A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b )
43	41, 42	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
44	39, 40, 43	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ z ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
45		simp11l 1172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ph )
46		simp1rl 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> a e. RR+ )
47	46	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> a e. RR+ )
48	45, 47	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( ph /\ a e. RR+ ) )
49		simp12 1092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) )
50		simp13l 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) )
51	48, 49, 50	jca31 557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) )
52		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) )
53		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> z e. A )
54		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> z =/= D )
55		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) -> ph )
56	55	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ph )
57		simp1lr 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) )
58		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) )
59		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ph )
60		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> z e. A )
61	20	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. CC )
62	59, 60, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> z e. CC )
63	59, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> D e. CC )
64	62, 63	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( z - D ) e. CC )
65	64	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) e. RR )
66		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( e e. RR+ -> e e. RR )
67	66	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) -> e e. RR )
68	67	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> e e. RR )
69		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f e. RR+ -> f e. RR )
70	69	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) -> f e. RR )
71	70	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> f e. RR )
72	68, 71	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> if ( e <_ f , e , f ) e. RR )
73		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) )
74		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( e e. RR /\ f e. RR ) -> if ( e <_ f , e , f ) <_ e )
75	68, 71, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> if ( e <_ f , e , f ) <_ e )
76	65, 72, 68, 73, 75	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < e )
77	56, 57, 53, 58, 76	syl211anc 1332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < e )
78	54, 77	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) )
79		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) )
80	52, 53, 78, 79	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a )
81	51, 80	syld3an1 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a )
82		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> ph )
83	82, 46	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> ( ph /\ a e. RR+ ) )
84		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) )
85		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
86	83, 84, 85	jca31 557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
87		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
88		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> z e. A )
89		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> z =/= D )
90		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) -> ph )
91	90	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ph )
92		simp1lr 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) )
93		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) )
94		min2 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( e e. RR /\ f e. RR ) -> if ( e <_ f , e , f ) <_ f )
95	68, 71, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> if ( e <_ f , e , f ) <_ f )
96	65, 72, 71, 73, 95	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < f )
97	91, 92, 88, 93, 96	syl211anc 1332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < f )
98	89, 97	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) )
99		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
100	87, 88, 98, 99	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b )
101	86, 100	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b )
102	81, 101	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
103	102	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) )
104	44, 103	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
105		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = if ( e <_ f , e , f ) -> ( ( abs ` ( z - D ) ) < y <-> ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) )
106	105	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = if ( e <_ f , e , f ) -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) <-> ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) )
107	106	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = if ( e <_ f , e , f ) -> ( ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) <-> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) )
108	107	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = if ( e <_ f , e , f ) -> ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) <-> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) )
109	108	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( if ( e <_ f , e , f ) e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
110	38, 104, 109	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
111	110	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> ( ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) -> ( ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) ) )
112	111	rexlimdvv 3037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> ( E. e e. RR+ E. f e. RR+ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) )
113	36, 112	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
114	113	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
115	114	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
116		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ )
117		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
118	116, 117	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
119		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) -> ph )
120	119	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> ph )
121	120	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ph )
122		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> z e. A )
123		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ph /\ z e. A )
124		mullimc.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- H = ( x e. A |-> ( B x. C ) )
125		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x ( x e. A |-> ( B x. C ) )
126	124, 125	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x H
127		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x z
128	126, 127	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x ( H ` z )
129		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
130	14, 129	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x F
131	130, 127	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( F ` z )
132		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x x.
133		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
134	28, 133	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x G
135	134, 127	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( G ` z )
136	131, 132, 135	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) )
137	128, 136	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( H ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) )
138	123, 137	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ( ( ph /\ z e. A ) -> ( H ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
139		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
140	139	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ z e. A ) ) )
141		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( H ` x ) = ( H ` z ) )
142		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
143		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
144	142, 143	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
145	141, 144	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( ( H ` x ) = ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) <-> ( H ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
146	140, 145	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) <-> ( ( ph /\ z e. A ) -> ( H ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) )
147		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
148	13, 27	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B x. C ) e. CC )
149	124	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. A /\ ( B x. C ) e. CC ) -> ( H ` x ) = ( B x. C ) )
150	147, 148, 149	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( B x. C ) )
151	14	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. A /\ B e. CC ) -> ( F ` x ) = B )
152	147, 13, 151	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = B )
153	152	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( F ` x ) )
154	28	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. A /\ C e. CC ) -> ( G ` x ) = C )
155	147, 27, 154	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = C )
156	155	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C = ( G ` x ) )
157	153, 156	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B x. C ) = ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) )
158	150, 157	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) )
159	138, 146, 158	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( H ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
160	159	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) )
161	160	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) ) )
162	121, 122, 161	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) ) )
163	15	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
164	29	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( G ` z ) e. CC )
165	163, 164	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) )
166	121, 122, 165	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) )
167		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
168	167	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
169		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) )
170	169	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
171	170	3adant1l 1318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
172		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = ( F ` z ) -> ( c - X ) = ( ( F ` z ) - X ) )
173	172	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = ( F ` z ) -> ( abs ` ( c - X ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) )
174	173	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( abs ` ( c - X ) ) < a <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) )
175	174	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) <-> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) ) )
176		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = ( F ` z ) -> ( c x. d ) = ( ( F ` z ) x. d ) )
177	176	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) = ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( X x. Y ) ) )
178	177	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = ( F ` z ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( X x. Y ) ) ) )
179	178	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
180	175, 179	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) <-> ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) )
181		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = ( G ` z ) -> ( d - Y ) = ( ( G ` z ) - Y ) )
182	181	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d = ( G ` z ) -> ( abs ` ( d - Y ) ) = ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) )
183	182	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( abs ` ( d - Y ) ) < b <-> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
184	183	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) <-> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
185		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( F ` z ) x. d ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
186	185	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( X x. Y ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) )
187	186	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = ( G ` z ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( X x. Y ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) ) )
188	187	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
189	184, 188	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) <-> ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) )
190	180, 189	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) -> ( A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) )
191	166, 168, 171, 190	syl3c 66	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) ) < w )
192	162, 191	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w )
193	192	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) )
194	118, 193	ralrimi 2957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
195	194	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) )
196	195	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) )
197	115, 196	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
198	197	3exp 1264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> ( A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) ) )
199	198	rexlimdvv 3037	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( E. a e. RR+ E. b e. RR+ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) )
200	12, 199	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
201	200	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. w e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
202	148, 124	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> H : A --> CC )
203	202, 20, 21	ellimc3 23643	. 2 |- ( ph -> ( ( X x. Y ) e. ( H lim CC D ) <-> ( ( X x. Y ) e. CC /\ A. w e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) ) )
204	7, 201, 203	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( X x. Y ) e. ( H lim CC D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  reclimc  39885  divlimc  39888  fourierdlem73  40396  fourierdlem76  40399  fourierdlem84  40407  fourierdlem85  40408  fourierdlem88  40411