Theorem limcperiod 39860

Description: If F is a periodic function with period T, the limit doesn't change if we shift the limiting point by T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcperiod.f	|- ( ph -> F : dom F --> CC )
limcperiod.assc	|- ( ph -> A C_ CC )
limcperiod.3	|- ( ph -> A C_ dom F )
limcperiod.t	|- ( ph -> T e. CC )
limcperiod.b	|- B = { x e. CC | E. y e. A x = ( y + T ) }
limcperiod.bss	|- ( ph -> B C_ dom F )
limcperiod.fper	|- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) )
limcperiod.clim	|- ( ph -> C e. ( ( F |` A ) lim CC D ) )

Assertion

Ref	Expression
limcperiod	|- ( ph -> C e. ( ( F |` B ) lim CC ( D + T ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, C, y   x, D, y   x, F, y   x, T, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem limcperiod

Dummy variables b w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 23639	. . 3 |- ( ( F |` A ) lim CC D ) C_ CC
2		limcperiod.clim	. . 3 |- ( ph -> C e. ( ( F |` A ) lim CC D ) )
3	1, 2	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		limcperiod.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : dom F --> CC )
5		limcperiod.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ dom F )
6	4, 5	fssresd 6071	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F |` A ) : A --> CC )
7		limcperiod.assc	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ CC )
8		limcrcl 23638	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( ( F |` A ) lim CC D ) -> ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> CC /\ dom ( F |` A ) C_ CC /\ D e. CC ) )
9	2, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> CC /\ dom ( F |` A ) C_ CC /\ D e. CC ) )
10	9	simp3d 1075	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. CC )
11	6, 7, 10	ellimc3 23643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C e. ( ( F |` A ) lim CC D ) <-> ( C e. CC /\ A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) ) )
12	2, 11	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C e. CC /\ A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) )
13	12	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) )
14	13	r19.21bi 2932	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) )
15		simpl1l 1112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) -> ph )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) -> ph )
17		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) -> b e. B )
18		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. B -> b e. B )
19		limcperiod.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- B = { x e. CC | E. y e. A x = ( y + T ) }
20		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = z -> ( y + T ) = ( z + T ) )
21	20	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = z -> ( x = ( y + T ) <-> x = ( z + T ) ) )
22	21	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. y e. A x = ( y + T ) <-> E. z e. A x = ( z + T ) )
23		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = w -> ( x = ( z + T ) <-> w = ( z + T ) ) )
24	23	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = w -> ( E. z e. A x = ( z + T ) <-> E. z e. A w = ( z + T ) ) )
25	22, 24	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = w -> ( E. y e. A x = ( y + T ) <-> E. z e. A w = ( z + T ) ) )
26	25	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { x e. CC | E. y e. A x = ( y + T ) } = { w e. CC | E. z e. A w = ( z + T ) }
27	19, 26	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B = { w e. CC | E. z e. A w = ( z + T ) }
28	18, 27	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. B -> b e. { w e. CC | E. z e. A w = ( z + T ) } )
29		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = b -> ( w = ( z + T ) <-> b = ( z + T ) ) )
30	29	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = b -> ( E. z e. A w = ( z + T ) <-> E. z e. A b = ( z + T ) ) )
31	30	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. { w e. CC | E. z e. A w = ( z + T ) } <-> ( b e. CC /\ E. z e. A b = ( z + T ) ) )
32	28, 31	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. B -> ( b e. CC /\ E. z e. A b = ( z + T ) ) )
33	32	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. B -> E. z e. A b = ( z + T ) )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> E. z e. A b = ( z + T ) )
35		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = ( z + T ) -> ( b - T ) = ( ( z + T ) - T ) )
36	35	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. A /\ b = ( z + T ) ) -> ( b - T ) = ( ( z + T ) - T ) )
37	7	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. CC )
38		limcperiod.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> T e. CC )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> T e. CC )
40	37, 39	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( z + T ) - T ) = z )
41	40	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. A /\ b = ( z + T ) ) -> ( ( z + T ) - T ) = z )
42	36, 41	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. A /\ b = ( z + T ) ) -> ( b - T ) = z )
43		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. A /\ b = ( z + T ) ) -> z e. A )
44	42, 43	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. A /\ b = ( z + T ) ) -> ( b - T ) e. A )
45	44	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( z e. A -> ( b = ( z + T ) -> ( b - T ) e. A ) ) )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( z e. A -> ( b = ( z + T ) -> ( b - T ) e. A ) ) )
47	46	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( E. z e. A b = ( z + T ) -> ( b - T ) e. A ) )
48	34, 47	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b - T ) e. A )
49		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { w e. CC | E. z e. A w = ( z + T ) } C_ CC
50	27, 49	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B C_ CC
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B C_ CC )
52	51	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. CC )
53	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> T e. CC )
54	52, 53	npcand 10396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( ( b - T ) + T ) = b )
55	54	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b = ( ( b - T ) + T ) )
56		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( b - T ) -> ( x + T ) = ( ( b - T ) + T ) )
57	56	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( b - T ) -> ( b = ( x + T ) <-> b = ( ( b - T ) + T ) ) )
58	57	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b - T ) e. A /\ b = ( ( b - T ) + T ) ) -> E. x e. A b = ( x + T ) )
59	48, 55, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> E. x e. A b = ( x + T ) )
60	16, 17, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) -> E. x e. A b = ( x + T ) )
61		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) )
62		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x { x e. CC | E. y e. A x = ( y + T ) }
63	19, 62	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x B
64	63	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x b e. B
65	61, 64	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B )
66		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z )
67	65, 66	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) )
68		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x abs
69		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x F
70	69, 63	nfres 5398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( F |` B )
71		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x b
72	70, 71	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( ( F |` B ) ` b )
73		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x -
74		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x C
75	72, 73, 74	nfov 6676	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( ( F |` B ) ` b ) - C )
76	68, 75	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` b ) - C ) )
77		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x <
78		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x w
79	76, 77, 78	nfbr 4699	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` b ) - C ) ) < w
80		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> b = ( x + T ) )
81	80	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( ( F |` B ) ` b ) = ( ( F |` B ) ` ( x + T ) ) )
82	17	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> b e. B )
83	80, 82	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( x + T ) e. B )
84		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x + T ) e. B -> ( ( F |` B ) ` ( x + T ) ) = ( F ` ( x + T ) ) )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( ( F |` B ) ` ( x + T ) ) = ( F ` ( x + T ) ) )
86	16	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ph )
87		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> x e. A )
88		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> ( y e. A <-> x e. A ) )
89	88	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = x -> ( ( ph /\ y e. A ) <-> ( ph /\ x e. A ) ) )
90		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = x -> ( y + T ) = ( x + T ) )
91	90	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` ( x + T ) ) )
92		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
93	91, 92	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = x -> ( ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) <-> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) ) )
94	89, 93	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = x -> ( ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) ) <-> ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) ) ) )
95		limcperiod.fper	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) )
96	94, 95	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
97	86, 87, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
98		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. A -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
99	87, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
100	97, 99	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( ( F |` A ) ` x ) )
101	81, 85, 100	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( ( F |` B ) ` b ) = ( ( F |` A ) ` x ) )
102	101	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( ( ( F |` B ) ` b ) - C ) = ( ( ( F |` A ) ` x ) - C ) )
103	102	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` b ) - C ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` x ) - C ) ) )
104		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) -> A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) )
105	104	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) )
106	105, 87	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) /\ x e. A ) )
107		simp1rl 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> b =/= ( D + T ) )
108	107	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> -. b = ( D + T ) )
109		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = D -> ( x + T ) = ( D + T ) )
110	80, 109	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) /\ x = D ) -> b = ( D + T ) )
111	108, 110	mtand 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> -. x = D )
112	111	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> x =/= D )
113	80	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( b - ( D + T ) ) = ( ( x + T ) - ( D + T ) ) )
114	7	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. CC )
115	86, 87, 114	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> x e. CC )
116	86, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> D e. CC )
117	86, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> T e. CC )
118	115, 116, 117	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( ( x + T ) - ( D + T ) ) = ( x - D ) )
119	113, 118	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( x - D ) = ( b - ( D + T ) ) )
120	119	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( abs ` ( x - D ) ) = ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) )
121		simp1rr 1127	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z )
122	120, 121	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( abs ` ( x - D ) ) < z )
123	112, 122	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( x =/= D /\ ( abs ` ( x - D ) ) < z ) )
124		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( y =/= D <-> x =/= D ) )
125		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = x -> ( y - D ) = ( x - D ) )
126	125	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( abs ` ( y - D ) ) = ( abs ` ( x - D ) ) )
127	126	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( ( abs ` ( y - D ) ) < z <-> ( abs ` ( x - D ) ) < z ) )
128	124, 127	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) <-> ( x =/= D /\ ( abs ` ( x - D ) ) < z ) ) )
129		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = x -> ( ( F |` A ) ` y ) = ( ( F |` A ) ` x ) )
130	129	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) = ( ( ( F |` A ) ` x ) - C ) )
131	130	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` x ) - C ) ) )
132	131	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w <-> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` x ) - C ) ) < w ) )
133	128, 132	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) <-> ( ( x =/= D /\ ( abs ` ( x - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` x ) - C ) ) < w ) ) )
134	133	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) /\ x e. A ) -> ( ( x =/= D /\ ( abs ` ( x - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` x ) - C ) ) < w ) )
135	106, 123, 134	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` x ) - C ) ) < w )
136	103, 135	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) /\ x e. A /\ b = ( x + T ) ) -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` b ) - C ) ) < w )
137	136	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) -> ( x e. A -> ( b = ( x + T ) -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` b ) - C ) ) < w ) ) )
138	67, 79, 137	rexlimd 3026	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) -> ( E. x e. A b = ( x + T ) -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` b ) - C ) ) < w ) )
139	60, 138	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) /\ ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) ) -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` b ) - C ) ) < w )
140	139	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) /\ b e. B ) -> ( ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` b ) - C ) ) < w ) )
141	140	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) ) -> A. b e. B ( ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` b ) - C ) ) < w ) )
142	141	3exp 1264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( z e. RR+ -> ( A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) -> A. b e. B ( ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` b ) - C ) ) < w ) ) ) )
143	142	reximdvai 3015	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( E. z e. RR+ A. y e. A ( ( y =/= D /\ ( abs ` ( y - D ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` y ) - C ) ) < w ) -> E. z e. RR+ A. b e. B ( ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` b ) - C ) ) < w ) ) )
144	14, 143	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. b e. B ( ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` b ) - C ) ) < w ) )
145	144	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. B ( ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` b ) - C ) ) < w ) )
146		limcperiod.bss	. . . 4 |- ( ph -> B C_ dom F )
147	4, 146	fssresd 6071	. . 3 |- ( ph -> ( F |` B ) : B --> CC )
148	10, 38	addcld 10059	. . 3 |- ( ph -> ( D + T ) e. CC )
149	147, 51, 148	ellimc3 23643	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( ( F |` B ) lim CC ( D + T ) ) <-> ( C e. CC /\ A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. B ( ( b =/= ( D + T ) /\ ( abs ` ( b - ( D + T ) ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` b ) - C ) ) < w ) ) ) )
150	3, 145, 149	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> C e. ( ( F |` B ) lim CC ( D + T ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem81  40404  fourierdlem89  40412  fourierdlem91  40414  fourierdlem92  40415