Theorem limccnp 23655

Description: If the limit of F at B is C and G is continuous at C, then the limit of G o. F at B is G ( C ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp.f	|- ( ph -> F : A --> D )
limccnp.d	|- ( ph -> D C_ CC )
limccnp.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
limccnp.j	|- J = ( K ↾t D )
limccnp.c	|- ( ph -> C e. ( F lim CC B ) )
limccnp.b	|- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` C ) )

Assertion

Ref	Expression
limccnp	|- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( G o. F ) lim CC B ) )

Proof of Theorem limccnp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` C ) )
2		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. J = U. J
3	2	cnprcl 21049	. . . . . . . . 9 |- ( G e. ( ( J CnP K ) ` C ) -> C e. U. J )
4	1, 3	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. U. J )
5		limccnp.j	. . . . . . . . . 10 |- J = ( K ↾t D )
6		limccnp.k	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
7	6	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . 11 |- K e. (TopOn ` CC )
8		limccnp.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D C_ CC )
9		resttopon 20965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( K ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
10	7, 8, 9	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
11	5, 10	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. (TopOn ` D ) )
12		toponuni 20719	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` D ) -> D = U. J )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D = U. J )
14	4, 13	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. D )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ x = B ) -> C e. D )
16		limccnp.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : A --> D )
17	16	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> F : A --> D )
18		elun 3753	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A u. { B } ) <-> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
19		elsni 4194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { B } -> x = B )
20	19	orim2i 540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A \/ x e. { B } ) -> ( x e. A \/ x = B ) )
21	18, 20	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A u. { B } ) -> ( x e. A \/ x = B ) )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( x e. A \/ x = B ) )
23	22	orcomd 403	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( x = B \/ x e. A ) )
24	23	orcanai 952	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> x e. A )
25	17, 24	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> ( F ` x ) e. D )
26	15, 25	ifclda 4120	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) e. D )
27		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) )
28	7	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
29		cnpf2 21054	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` D ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ G e. ( ( J CnP K ) ` C ) ) -> G : D --> CC )
30	11, 28, 1, 29	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> G : D --> CC )
31	30	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( ph -> G = ( y e. D |-> ( G ` y ) ) )
32		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( y = if ( x = B , C , ( F ` x ) ) -> ( G ` y ) = ( G ` if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) )
33	26, 27, 31, 32	fmptco 6396	. . . 4 |- ( ph -> ( G o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> ( G ` if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) ) )
34		fvco3 6275	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> D /\ x e. A ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
35	17, 24, 34	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
36	35	ifeq2da 4117	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> if ( x = B , ( G ` C ) , ( ( G o. F ) ` x ) ) = if ( x = B , ( G ` C ) , ( G ` ( F ` x ) ) ) )
37		fvif 6204	. . . . . 6 |- ( G ` if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) = if ( x = B , ( G ` C ) , ( G ` ( F ` x ) ) )
38	36, 37	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> if ( x = B , ( G ` C ) , ( ( G o. F ) ` x ) ) = ( G ` if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) )
39	38	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( G ` C ) , ( ( G o. F ) ` x ) ) ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> ( G ` if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) ) )
40	33, 39	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ph -> ( G o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( G ` C ) , ( ( G o. F ) ` x ) ) ) )
41		limccnp.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. ( F lim CC B ) )
42		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
43		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) )
44	16, 8	fssd 6057	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : A --> CC )
45		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> D -> dom F = A )
46	16, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom F = A )
47		limcrcl 23638	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
48	41, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
49	48	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom F C_ CC )
50	46, 49	eqsstr3d 3640	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ CC )
51	48	simp3d 1075	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. CC )
52	42, 6, 43, 44, 50, 51	ellimc 23637	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
53	41, 52	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
54	6	cnfldtop 22587	. . . . . . . 8 |- K e. Top
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. Top )
56	26, 43	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) : ( A u. { B } ) --> D )
57	51	snssd 4340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { B } C_ CC )
58	50, 57	unssd 3789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A u. { B } ) C_ CC )
59		resttopon 20965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( A u. { B } ) C_ CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
60	7, 58, 59	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
61		toponuni 20719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) -> ( A u. { B } ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) )
63	62	feq2d 6031	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) : ( A u. { B } ) --> D <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> D ) )
64	56, 63	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> D )
65		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) )
66	7	toponunii 20721	. . . . . . . 8 |- CC = U. K
67	65, 66	cnprest2 21094	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> D /\ D C_ CC ) -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K ↾t D ) ) ` B ) ) )
68	55, 64, 8, 67	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K ↾t D ) ) ` B ) ) )
69	53, 68	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K ↾t D ) ) ` B ) )
70	5	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) = ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K ↾t D ) )
71	70	fveq1i 6192	. . . . 5 |- ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) = ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K ↾t D ) ) ` B )
72	69, 71	syl6eleqr 2712	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) )
73		ssun2 3777	. . . . . . . 8 |- { B } C_ ( A u. { B } )
74		snssg 4327	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
75	51, 74	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
76	73, 75	mpbiri 248	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( A u. { B } ) )
77		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) = C )
78	77, 43	fvmptg 6280	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( A u. { B } ) /\ C e. D ) -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) ` B ) = C )
79	76, 14, 78	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) ` B ) = C )
80	79	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) ` B ) ) = ( ( J CnP K ) ` C ) )
81	1, 80	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) ` B ) ) )
82		cnpco 21071	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) /\ G e. ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) ` B ) ) ) -> ( G o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
83	72, 81, 82	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( G o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , ( F ` x ) ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
84	40, 83	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( G ` C ) , ( ( G o. F ) ` x ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
85		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( G ` C ) , ( ( G o. F ) ` x ) ) ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( G ` C ) , ( ( G o. F ) ` x ) ) )
86		fco 6058	. . . 4 |- ( ( G : D --> CC /\ F : A --> D ) -> ( G o. F ) : A --> CC )
87	30, 16, 86	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( G o. F ) : A --> CC )
88	42, 6, 85, 87, 50, 51	ellimc 23637	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` C ) e. ( ( G o. F ) lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( G ` C ) , ( ( G o. F ) ` x ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
89	84, 88	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( G o. F ) lim CC B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   CnP ccnp 21029   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  limcco  23657  dvcjbr  23712  dvcnvlem  23739