Theorem limcco 23657

Description: Composition of two limits. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcco.r	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ R =/= C ) ) -> R e. B )
limcco.s	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> S e. CC )
limcco.c	|- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC X ) )
limcco.d	|- ( ph -> D e. ( ( y e. B |-> S ) lim CC C ) )
limcco.1	|- ( y = R -> S = T )
limcco.2	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ R = C ) ) -> T = D )

Assertion

Ref	Expression
limcco	|- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> T ) lim CC X ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   x, C, y   x, D, y   ph, x, y   y, R   x, S   y, T

Allowed substitution hints:   A( y)   R( x)   S( y)   T( x)   X( x, y)

Proof of Theorem limcco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcco.r	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ R =/= C ) ) -> R e. B )
2	1	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R =/= C -> R e. B ) )
3	2	necon1bd 2812	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -. R e. B -> R = C ) )
4		limccl 23639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A |-> R ) lim CC X ) C_ CC
5		limcco.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC X ) )
6	4, 5	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
8		elsn2g 4210	. . . . . . . 8 |- ( C e. CC -> ( R e. { C } <-> R = C ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R e. { C } <-> R = C ) )
10	3, 9	sylibrd 249	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -. R e. B -> R e. { C } ) )
11	10	orrd 393	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R e. B \/ R e. { C } ) )
12		elun 3753	. . . . 5 |- ( R e. ( B u. { C } ) <-> ( R e. B \/ R e. { C } ) )
13	11, 12	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. ( B u. { C } ) )
14		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R )
15	13, 14	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> R ) : A --> ( B u. { C } ) )
16		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( y e. B |-> S ) = ( y e. B |-> S )
17		limcco.s	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> S e. CC )
18	16, 17	dmmptd 6024	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( y e. B |-> S ) = B )
19		limcco.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( ( y e. B |-> S ) lim CC C ) )
20		limcrcl 23638	. . . . . . 7 |- ( D e. ( ( y e. B |-> S ) lim CC C ) -> ( ( y e. B |-> S ) : dom ( y e. B |-> S ) --> CC /\ dom ( y e. B |-> S ) C_ CC /\ C e. CC ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) : dom ( y e. B |-> S ) --> CC /\ dom ( y e. B |-> S ) C_ CC /\ C e. CC ) )
22	21	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( y e. B |-> S ) C_ CC )
23	18, 22	eqsstr3d 3640	. . . 4 |- ( ph -> B C_ CC )
24	6	snssd 4340	. . . 4 |- ( ph -> { C } C_ CC )
25	23, 24	unssd 3789	. . 3 |- ( ph -> ( B u. { C } ) C_ CC )
26		eqid 2622	. . 3 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
27		eqid 2622	. . 3 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( B u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( B u. { C } ) )
28	23, 6, 17, 27, 26	limcmpt 23647	. . . 4 |- ( ph -> ( D e. ( ( y e. B |-> S ) lim CC C ) <-> ( y e. ( B u. { C } ) |-> if ( y = C , D , S ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( B u. { C } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) ) )
29	19, 28	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( B u. { C } ) |-> if ( y = C , D , S ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( B u. { C } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) )
30	15, 25, 26, 27, 5, 29	limccnp 23655	. 2 |- ( ph -> ( ( y e. ( B u. { C } ) |-> if ( y = C , D , S ) ) ` C ) e. ( ( ( y e. ( B u. { C } ) |-> if ( y = C , D , S ) ) o. ( x e. A |-> R ) ) lim CC X ) )
31		ssun2 3777	. . . 4 |- { C } C_ ( B u. { C } )
32		snssg 4327	. . . . 5 |- ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC X ) -> ( C e. ( B u. { C } ) <-> { C } C_ ( B u. { C } ) ) )
33	5, 32	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( C e. ( B u. { C } ) <-> { C } C_ ( B u. { C } ) ) )
34	31, 33	mpbiri 248	. . 3 |- ( ph -> C e. ( B u. { C } ) )
35		iftrue 4092	. . . 4 |- ( y = C -> if ( y = C , D , S ) = D )
36		eqid 2622	. . . 4 |- ( y e. ( B u. { C } ) |-> if ( y = C , D , S ) ) = ( y e. ( B u. { C } ) |-> if ( y = C , D , S ) )
37	35, 36	fvmptg 6280	. . 3 |- ( ( C e. ( B u. { C } ) /\ D e. ( ( y e. B |-> S ) lim CC C ) ) -> ( ( y e. ( B u. { C } ) |-> if ( y = C , D , S ) ) ` C ) = D )
38	34, 19, 37	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( y e. ( B u. { C } ) |-> if ( y = C , D , S ) ) ` C ) = D )
39		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R ) )
40		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B u. { C } ) |-> if ( y = C , D , S ) ) = ( y e. ( B u. { C } ) |-> if ( y = C , D , S ) ) )
41		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( y = R -> ( y = C <-> R = C ) )
42		limcco.1	. . . . . 6 |- ( y = R -> S = T )
43	41, 42	ifbieq2d 4111	. . . . 5 |- ( y = R -> if ( y = C , D , S ) = if ( R = C , D , T ) )
44	13, 39, 40, 43	fmptco 6396	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. ( B u. { C } ) |-> if ( y = C , D , S ) ) o. ( x e. A |-> R ) ) = ( x e. A |-> if ( R = C , D , T ) ) )
45		ifid 4125	. . . . . 6 |- if ( R = C , T , T ) = T
46		limcco.2	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ R = C ) ) -> T = D )
47	46	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ R = C ) -> T = D )
48	47	ifeq1da 4116	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( R = C , T , T ) = if ( R = C , D , T ) )
49	45, 48	syl5reqr 2671	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( R = C , D , T ) = T )
50	49	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( R = C , D , T ) ) = ( x e. A |-> T ) )
51	44, 50	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( ( y e. ( B u. { C } ) |-> if ( y = C , D , S ) ) o. ( x e. A |-> R ) ) = ( x e. A |-> T ) )
52	51	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B u. { C } ) |-> if ( y = C , D , S ) ) o. ( x e. A |-> R ) ) lim CC X ) = ( ( x e. A |-> T ) lim CC X ) )
53	30, 38, 52	3eltr3d 2715	1 |- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> T ) lim CC X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   CnP ccnp 21029   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  dvcobr  23709  dvcnvlem  23739  lhop2  23778  fourierdlem60  40383  fourierdlem61  40384  fourierdlem62  40385  fourierdlem73  40396  fourierdlem76  40399