Theorem limcun 23659

Description: A point is a limit of F on A u. B iff it is the limit of the restriction of F to A and to B. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcun.1	|- ( ph -> A C_ CC )
limcun.2	|- ( ph -> B C_ CC )
limcun.3	|- ( ph -> F : ( A u. B ) --> CC )

Assertion

Ref	Expression
limcun	|- ( ph -> ( F lim CC C ) = ( ( ( F |` A ) lim CC C ) i^i ( ( F |` B ) lim CC C ) ) )

Proof of Theorem limcun

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 23638	. . . . 5 |- ( x e. ( F lim CC C ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ C e. CC ) )
2	1	simp3d 1075	. . . 4 |- ( x e. ( F lim CC C ) -> C e. CC )
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( F lim CC C ) -> C e. CC ) )
4		inss1 3833	. . . . . 6 |- ( ( ( F |` A ) lim CC C ) i^i ( ( F |` B ) lim CC C ) ) C_ ( ( F |` A ) lim CC C )
5	4	sseli 3599	. . . . 5 |- ( x e. ( ( ( F |` A ) lim CC C ) i^i ( ( F |` B ) lim CC C ) ) -> x e. ( ( F |` A ) lim CC C ) )
6		limcrcl 23638	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( F |` A ) lim CC C ) -> ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> CC /\ dom ( F |` A ) C_ CC /\ C e. CC ) )
7	6	simp3d 1075	. . . . 5 |- ( x e. ( ( F |` A ) lim CC C ) -> C e. CC )
8	5, 7	syl 17	. . . 4 |- ( x e. ( ( ( F |` A ) lim CC C ) i^i ( ( F |` B ) lim CC C ) ) -> C e. CC )
9	8	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( ( F |` A ) lim CC C ) i^i ( ( F |` B ) lim CC C ) ) -> C e. CC ) )
10		prfi 8235	. . . . . . . 8 |- { A , B } e. Fin
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> { A , B } e. Fin )
12		limcun.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ CC )
13	12	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> A C_ CC )
14		limcun.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B C_ CC )
15	14	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> B C_ CC )
16		cnex 10017	. . . . . . . . . . 11 |- CC e. _V
17	16	ssex 4802	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ CC -> A e. _V )
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> A e. _V )
19	16	ssex 4802	. . . . . . . . . 10 |- ( B C_ CC -> B e. _V )
20	15, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> B e. _V )
21		sseq1 3626	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( y C_ CC <-> A C_ CC ) )
22		sseq1 3626	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( y C_ CC <-> B C_ CC ) )
23	21, 22	ralprg 4234	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A. y e. { A , B } y C_ CC <-> ( A C_ CC /\ B C_ CC ) ) )
24	18, 20, 23	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. y e. { A , B } y C_ CC <-> ( A C_ CC /\ B C_ CC ) ) )
25	13, 15, 24	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> A. y e. { A , B } y C_ CC )
26		limcun.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( A u. B ) --> CC )
27	26	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> F : ( A u. B ) --> CC )
28		uniiun 4573	. . . . . . . . . 10 |- U. { A , B } = U_ y e. { A , B } y
29		uniprg 4450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> U. { A , B } = ( A u. B ) )
30	18, 20, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> U. { A , B } = ( A u. B ) )
31	28, 30	syl5eqr 2670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> U_ y e. { A , B } y = ( A u. B ) )
32	31	feq2d 6031	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( F : U_ y e. { A , B } y --> CC <-> F : ( A u. B ) --> CC ) )
33	27, 32	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> F : U_ y e. { A , B } y --> CC )
34		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> C e. CC )
35	11, 25, 33, 34	limciun 23658	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( F lim CC C ) = ( CC i^i |^|_ y e. { A , B } ( ( F |` y ) lim CC C ) ) )
36	35	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( x e. ( F lim CC C ) <-> x e. ( CC i^i |^|_ y e. { A , B } ( ( F |` y ) lim CC C ) ) ) )
37		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = A -> ( F |` y ) = ( F |` A ) )
38	37	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( ( F |` y ) lim CC C ) = ( ( F |` A ) lim CC C ) )
39	38	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( x e. ( ( F |` y ) lim CC C ) <-> x e. ( ( F |` A ) lim CC C ) ) )
40		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = B -> ( F |` y ) = ( F |` B ) )
41	40	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( ( F |` y ) lim CC C ) = ( ( F |` B ) lim CC C ) )
42	41	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( x e. ( ( F |` y ) lim CC C ) <-> x e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) )
43	39, 42	ralprg 4234	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A. y e. { A , B } x e. ( ( F |` y ) lim CC C ) <-> ( x e. ( ( F |` A ) lim CC C ) /\ x e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) )
44	18, 20, 43	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. y e. { A , B } x e. ( ( F |` y ) lim CC C ) <-> ( x e. ( ( F |` A ) lim CC C ) /\ x e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) )
45	44	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( x e. CC /\ A. y e. { A , B } x e. ( ( F |` y ) lim CC C ) ) <-> ( x e. CC /\ ( x e. ( ( F |` A ) lim CC C ) /\ x e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) ) )
46		limccl 23639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F |` A ) lim CC C ) C_ CC
47	46	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( F |` A ) lim CC C ) -> x e. CC )
48	47	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ( F |` A ) lim CC C ) /\ x e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) -> x e. CC )
49	48	pm4.71ri 665	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ( F |` A ) lim CC C ) /\ x e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) <-> ( x e. CC /\ ( x e. ( ( F |` A ) lim CC C ) /\ x e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) )
50	45, 49	syl6bbr 278	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( x e. CC /\ A. y e. { A , B } x e. ( ( F |` y ) lim CC C ) ) <-> ( x e. ( ( F |` A ) lim CC C ) /\ x e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) )
51		elriin 4593	. . . . . 6 |- ( x e. ( CC i^i |^|_ y e. { A , B } ( ( F |` y ) lim CC C ) ) <-> ( x e. CC /\ A. y e. { A , B } x e. ( ( F |` y ) lim CC C ) ) )
52		elin 3796	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( ( F |` A ) lim CC C ) i^i ( ( F |` B ) lim CC C ) ) <-> ( x e. ( ( F |` A ) lim CC C ) /\ x e. ( ( F |` B ) lim CC C ) ) )
53	50, 51, 52	3bitr4g 303	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( x e. ( CC i^i |^|_ y e. { A , B } ( ( F |` y ) lim CC C ) ) <-> x e. ( ( ( F |` A ) lim CC C ) i^i ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) )
54	36, 53	bitrd 268	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( x e. ( F lim CC C ) <-> x e. ( ( ( F |` A ) lim CC C ) i^i ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) )
55	54	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( C e. CC -> ( x e. ( F lim CC C ) <-> x e. ( ( ( F |` A ) lim CC C ) i^i ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) ) )
56	3, 9, 55	pm5.21ndd 369	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( F lim CC C ) <-> x e. ( ( ( F |` A ) lim CC C ) i^i ( ( F |` B ) lim CC C ) ) ) )
57	56	eqrdv 2620	1 |- ( ph -> ( F lim CC C ) = ( ( ( F |` A ) lim CC C ) i^i ( ( F |` B ) lim CC C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {cpr 4179   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

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