Theorem 0ellimcdiv 39881

Description: If the numerator converges to 0 and the denominator converges to non zero then the fraction converges to 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ellimcdiv.f	|- F = ( x e. A |-> B )
0ellimcdiv.g	|- G = ( x e. A |-> C )
0ellimcdiv.h	|- H = ( x e. A |-> ( B / C ) )
0ellimcdiv.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
0ellimcdiv.c	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. ( CC \ { 0 } ) )
0ellimcdiv.0limf	|- ( ph -> 0 e. ( F lim CC E ) )
0ellimcdiv.d	|- ( ph -> D e. ( G lim CC E ) )
0ellimcdiv.dne0	|- ( ph -> D =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
0ellimcdiv	|- ( ph -> 0 e. ( H lim CC E ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   D( x)   E( x)   F( x)   G( x)   H( x)

Proof of Theorem 0ellimcdiv

Dummy variables u v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cnd 10033	. 2 |- ( ph -> 0 e. CC )
2		0ellimcdiv.d	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. ( G lim CC E ) )
3		0ellimcdiv.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. ( CC \ { 0 } ) )
4	3	eldifad 3586	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
5		0ellimcdiv.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( x e. A |-> C )
6	4, 5	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : A --> CC )
7		0ellimcdiv.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( x e. A |-> B )
8		0ellimcdiv.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
9		0ellimcdiv.0limf	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. ( F lim CC E ) )
10	7, 8, 9	limcmptdm 39867	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ CC )
11		limcrcl 23638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( G lim CC E ) -> ( G : dom G --> CC /\ dom G C_ CC /\ E e. CC ) )
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G : dom G --> CC /\ dom G C_ CC /\ E e. CC ) )
13	12	simp3d 1075	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. CC )
14	6, 10, 13	ellimc3 23643	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D e. ( G lim CC E ) <-> ( D e. CC /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < y ) ) ) )
15	2, 14	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D e. CC /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < y ) ) )
16	15	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < y ) )
17	15	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. CC )
18		0ellimcdiv.dne0	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D =/= 0 )
19	17, 18	absrpcld 14187	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` D ) e. RR+ )
20	19	rphalfcld 11884	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` D ) / 2 ) e. RR+ )
21		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( abs ` D ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < y <-> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) )
22	21	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( abs ` D ) / 2 ) -> ( ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < y ) <-> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) )
23	22	rexralbidv 3058	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( abs ` D ) / 2 ) -> ( E. z e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) )
24	23	rspccva 3308	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < y ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) )
25	16, 20, 24	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> E. z e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) )
26		simpl1l 1112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ ( v e. A -> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) /\ v e. A ) /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) ) -> ph )
27		simpl3 1066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ ( v e. A -> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) /\ v e. A ) /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) ) -> v e. A )
28		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ ( v e. A -> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) /\ v e. A ) /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) ) -> ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) )
29		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ ( v e. A -> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) /\ v e. A ) /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) ) -> ( v e. A -> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) )
30	27, 28, 29	mp2d 49	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ ( v e. A -> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) /\ v e. A ) /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) )
31	19	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( abs ` D ) e. CC )
32	31	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( abs ` D ) / 2 ) + ( ( abs ` D ) / 2 ) ) = ( abs ` D ) )
33	32	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( abs ` D ) = ( ( ( abs ` D ) / 2 ) + ( ( abs ` D ) / 2 ) ) )
34	33	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( abs ` D ) - ( ( abs ` D ) / 2 ) ) = ( ( ( ( abs ` D ) / 2 ) + ( ( abs ` D ) / 2 ) ) - ( ( abs ` D ) / 2 ) ) )
35		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 2 e. CC )
36		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 =/= 0
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
38	17, 35, 37	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs ` ( D / 2 ) ) = ( ( abs ` D ) / ( abs ` 2 ) ) )
39		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 2 e. RR )
41		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 <_ 2
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 0 <_ 2 )
43	40, 42	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( abs ` 2 ) = 2 )
44	43	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` D ) / ( abs ` 2 ) ) = ( ( abs ` D ) / 2 ) )
45	38, 44	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( abs ` D ) / 2 ) = ( abs ` ( D / 2 ) ) )
46	45	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( abs ` D ) - ( ( abs ` D ) / 2 ) ) = ( ( abs ` D ) - ( abs ` ( D / 2 ) ) ) )
47	20	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( abs ` D ) / 2 ) e. CC )
48	47, 47	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` D ) / 2 ) + ( ( abs ` D ) / 2 ) ) - ( ( abs ` D ) / 2 ) ) = ( ( abs ` D ) / 2 ) )
49	34, 46, 48	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( abs ` D ) / 2 ) = ( ( abs ` D ) - ( abs ` ( D / 2 ) ) ) )
50	49	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) = ( ( abs ` D ) - ( abs ` ( D / 2 ) ) ) )
51	45	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( abs ` ( D / 2 ) ) = ( ( abs ` D ) / 2 ) )
52	51	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( D / 2 ) ) = ( ( abs ` D ) / 2 ) )
53	52	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( ( abs ` D ) - ( abs ` ( D / 2 ) ) ) = ( ( abs ` D ) - ( ( abs ` D ) / 2 ) ) )
54	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> D e. CC )
55	54	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( abs ` D ) e. RR )
56	55	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( abs ` D ) e. RR )
57	6	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( G ` v ) e. CC )
58	57	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( G ` v ) e. CC )
59	58	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( G ` v ) ) e. RR )
60	17	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> D e. CC )
61	60, 58	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( D - ( G ` v ) ) e. CC )
62	61	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( D - ( G ` v ) ) ) e. RR )
63	59, 62	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( G ` v ) ) + ( abs ` ( D - ( G ` v ) ) ) ) e. RR )
64	56	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) e. RR )
65	59, 64	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( G ` v ) ) + ( ( abs ` D ) / 2 ) ) e. RR )
66	57, 54	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( ( G ` v ) + ( D - ( G ` v ) ) ) = D )
67	66	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> D = ( ( G ` v ) + ( D - ( G ` v ) ) ) )
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( abs ` D ) = ( abs ` ( ( G ` v ) + ( D - ( G ` v ) ) ) ) )
69	54, 57	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( D - ( G ` v ) ) e. CC )
70	57, 69	abstrid 14195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) + ( D - ( G ` v ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( G ` v ) ) + ( abs ` ( D - ( G ` v ) ) ) ) )
71	68, 70	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( abs ` D ) <_ ( ( abs ` ( G ` v ) ) + ( abs ` ( D - ( G ` v ) ) ) ) )
72	71	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( abs ` D ) <_ ( ( abs ` ( G ` v ) ) + ( abs ` ( D - ( G ` v ) ) ) ) )
73	60, 58	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( D - ( G ` v ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) )
74		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) )
75	73, 74	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( D - ( G ` v ) ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) )
76	62, 64, 59, 75	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( G ` v ) ) + ( abs ` ( D - ( G ` v ) ) ) ) < ( ( abs ` ( G ` v ) ) + ( ( abs ` D ) / 2 ) ) )
77	56, 63, 65, 72, 76	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( abs ` D ) < ( ( abs ` ( G ` v ) ) + ( ( abs ` D ) / 2 ) ) )
78	57	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( abs ` ( G ` v ) ) e. RR )
79	78	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( G ` v ) ) e. RR )
80	56, 64, 79	ltsubaddd 10623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( ( ( abs ` D ) - ( ( abs ` D ) / 2 ) ) < ( abs ` ( G ` v ) ) <-> ( abs ` D ) < ( ( abs ` ( G ` v ) ) + ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) )
81	77, 80	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( ( abs ` D ) - ( ( abs ` D ) / 2 ) ) < ( abs ` ( G ` v ) ) )
82	53, 81	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( ( abs ` D ) - ( abs ` ( D / 2 ) ) ) < ( abs ` ( G ` v ) ) )
83	50, 82	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. A /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) )
84	26, 27, 30, 83	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ ( v e. A -> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) /\ v e. A ) /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) )
85	84	3exp1 1283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. RR+ ) -> ( ( v e. A -> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( v e. A -> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) ) )
86	85	ralimdv2 2961	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. RR+ ) -> ( A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) )
87	86	reximdva 3017	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. z e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - D ) ) < ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> E. z e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) )
88	25, 87	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> E. z e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) )
89	88	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) )
90		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
91	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> D e. CC )
92	18	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> D =/= 0 )
93	91, 92	absrpcld 14187	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( abs ` D ) e. RR+ )
94	93	rphalfcld 11884	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) e. RR+ )
95	90, 94	rpmulcld 11888	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) e. RR+ )
96	95	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. RR+ -> ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) e. RR+ ) )
97	96	imdistani 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ph /\ ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) e. RR+ ) )
98		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( w e. RR+ <-> ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) e. RR+ ) )
99	98	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( ( ph /\ w e. RR+ ) <-> ( ph /\ ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) e. RR+ ) ) )
100		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < w <-> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) )
101	100	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < w ) <-> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) )
102	101	rexralbidv 3058	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( E. u e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < w ) <-> E. u e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) )
103	99, 102	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) -> ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < w ) ) <-> ( ( ph /\ ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) ) )
104	8, 7	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : A --> CC )
105	104, 10, 13	ellimc3 23643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 e. ( F lim CC E ) <-> ( 0 e. CC /\ A. w e. RR+ E. u e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < w ) ) ) )
106	9, 105	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 e. CC /\ A. w e. RR+ E. u e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < w ) ) )
107	106	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. w e. RR+ E. u e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < w ) )
108	107	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < w ) )
109	103, 108	vtoclg 3266	. . . . . . . 8 |- ( ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) e. RR+ -> ( ( ph /\ ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) )
110	95, 97, 109	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) )
111	110	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) -> E. u e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) )
112		simp12 1092	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) -> z e. RR+ )
113		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) -> u e. RR+ )
114	112, 113	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) -> if ( z <_ u , z , u ) e. RR+ )
115		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ v ( ph /\ y e. RR+ )
116		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ v z e. RR+
117		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ v A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) )
118	115, 116, 117	nf3an 1831	. . . . . . . . . 10 |- F/ v ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) )
119		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ v u e. RR+
120		nfra1 2941	. . . . . . . . . 10 |- F/ v A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) )
121	118, 119, 120	nf3an 1831	. . . . . . . . 9 |- F/ v ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) )
122		simp111 1190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> ( ph /\ y e. RR+ ) )
123		simp112 1191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> z e. RR+ )
124		simp12 1092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> u e. RR+ )
125	122, 123, 124	jca31 557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) /\ u e. RR+ ) )
126		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> v e. A )
127		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> v =/= E )
128	125, 126, 127	jca31 557	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) /\ u e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ v =/= E ) )
129	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> A C_ CC )
130	129	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) -> A C_ CC )
131	130	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) -> A C_ CC )
132	131	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> A C_ CC )
133	132, 126	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> v e. CC )
134	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E e. CC )
135	134	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) -> E e. CC )
136	135	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) -> E e. CC )
137	136	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> E e. CC )
138	133, 137	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> ( v - E ) e. CC )
139	138	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> ( abs ` ( v - E ) ) e. RR )
140	123	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> z e. RR )
141	124	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> u e. RR )
142	140, 141	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> if ( z <_ u , z , u ) e. RR )
143		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) )
144		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. RR /\ u e. RR ) -> if ( z <_ u , z , u ) <_ z )
145	140, 141, 144	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> if ( z <_ u , z , u ) <_ z )
146	139, 142, 140, 143, 145	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> ( abs ` ( v - E ) ) < z )
147		simp113 1192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) )
148		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ v e. A ) -> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) )
149	147, 126, 148	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) )
150	127, 146, 149	mp2and 715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) )
151		simp13 1093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) )
152		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) /\ v e. A ) -> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) )
153	151, 126, 152	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) )
154		min2 12021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. RR /\ u e. RR ) -> if ( z <_ u , z , u ) <_ u )
155	140, 141, 154	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> if ( z <_ u , z , u ) <_ u )
156	139, 142, 141, 143, 155	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> ( abs ` ( v - E ) ) < u )
157	127, 156	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) )
158	122	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> ph )
159	158	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) /\ ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) ) -> ph )
160		simp12 1092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) /\ ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) ) -> v e. A )
161		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x ( ph /\ v e. A )
162		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
163	7, 162	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x F
164		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x v
165	163, 164	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x ( F ` v )
166	165	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x ( F ` v ) e. CC
167	161, 166	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( ( ph /\ v e. A ) -> ( F ` v ) e. CC )
168		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = v -> ( x e. A <-> v e. A ) )
169	168	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = v -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ v e. A ) ) )
170		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = v -> ( F ` x ) = ( F ` v ) )
171	170	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = v -> ( ( F ` x ) e. CC <-> ( F ` v ) e. CC ) )
172	169, 171	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = v -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. CC ) <-> ( ( ph /\ v e. A ) -> ( F ` v ) e. CC ) ) )
173		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
174	7	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. A /\ B e. CC ) -> ( F ` x ) = B )
175	173, 8, 174	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = B )
176	175, 8	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. CC )
177	167, 172, 176	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( F ` v ) e. CC )
178	177	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( ( F ` v ) - 0 ) = ( F ` v ) )
179	178	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( F ` v ) = ( ( F ` v ) - 0 ) )
180	179	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( abs ` ( F ` v ) ) = ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) )
181	159, 160, 180	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) /\ ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) ) -> ( abs ` ( F ` v ) ) = ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) )
182		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) /\ ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) ) -> ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) )
183		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) /\ ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) ) -> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) )
184	182, 183	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) /\ ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) )
185	181, 184	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) /\ ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) ) -> ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) )
186	153, 157, 185	mpd3an23 1426	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) )
187		simp-7l 812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) /\ u e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ v =/= E ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ph )
188		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) /\ u e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ v =/= E ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> v e. A )
189		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( C e. ( CC \ { 0 } ) -> C =/= 0 )
190	3, 189	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C =/= 0 )
191	8, 4, 190	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B / C ) e. CC )
192		0ellimcdiv.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- H = ( x e. A |-> ( B / C ) )
193	191, 192	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> H : A --> CC )
194	193	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) e. CC )
195	194	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( ( H ` v ) - 0 ) = ( H ` v ) )
196		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x ( x e. A |-> ( B / C ) )
197	192, 196	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x H
198	197, 164	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x ( H ` v )
199		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x /
200		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
201	5, 200	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x G
202	201, 164	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( G ` v )
203	165, 199, 202	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x ( ( F ` v ) / ( G ` v ) )
204	198, 203	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( H ` v ) = ( ( F ` v ) / ( G ` v ) )
205	161, 204	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) )
206		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = v -> ( H ` x ) = ( H ` v ) )
207		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = v -> ( G ` x ) = ( G ` v ) )
208	170, 207	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = v -> ( ( F ` x ) / ( G ` x ) ) = ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) )
209	206, 208	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = v -> ( ( H ` x ) = ( ( F ` x ) / ( G ` x ) ) <-> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) ) )
210	169, 209	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = v -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( ( F ` x ) / ( G ` x ) ) ) <-> ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) ) ) )
211	192	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. A /\ ( B / C ) e. CC ) -> ( H ` x ) = ( B / C ) )
212	173, 191, 211	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( B / C ) )
213	175	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( F ` x ) )
214	5	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. A /\ C e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( G ` x ) = C )
215	173, 3, 214	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = C )
216	215	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C = ( G ` x ) )
217	213, 216	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B / C ) = ( ( F ` x ) / ( G ` x ) ) )
218	212, 217	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( ( F ` x ) / ( G ` x ) ) )
219	205, 210, 218	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) )
220	195, 219	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( ( H ` v ) - 0 ) = ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) )
221	220	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) = ( abs ` ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) ) )
222	187, 188, 221	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) /\ u e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ v =/= E ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) = ( abs ` ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) ) )
223		simp-6l 810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) /\ u e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ v =/= E ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( ph /\ y e. RR+ ) )
224	223, 188	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) /\ u e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ v =/= E ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) )
225		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) /\ u e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ v =/= E ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) )
226		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) /\ u e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ v =/= E ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) )
227		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x 0
228	202, 227	nfne 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x ( G ` v ) =/= 0
229	161, 228	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( ( ph /\ v e. A ) -> ( G ` v ) =/= 0 )
230	207	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = v -> ( ( G ` x ) =/= 0 <-> ( G ` v ) =/= 0 ) )
231	169, 230	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = v -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> ( G ` x ) =/= 0 ) <-> ( ( ph /\ v e. A ) -> ( G ` v ) =/= 0 ) ) )
232	215, 190	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( G ` x ) =/= 0 )
233	229, 231, 232	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( G ` v ) =/= 0 )
234	177, 57, 233	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` v ) ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) )
235	234	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` v ) ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) )
236	235	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` v ) ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) )
237	177	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( abs ` ( F ` v ) ) e. RR )
238	57, 233	absne0d 14186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( abs ` ( G ` v ) ) =/= 0 )
239	237, 78, 238	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` v ) ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) e. RR )
240	239	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` v ) ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) e. RR )
241	240	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( F ` v ) ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) e. RR )
242		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
243	242	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) -> y e. RR )
244	20	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( abs ` D ) / 2 ) e. RR )
245	244	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) e. RR )
246	243, 245	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) -> ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) e. RR )
247	246	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) e. RR )
248	57, 233	absrpcld 14187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( abs ` ( G ` v ) ) e. RR+ )
249	248	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) -> ( abs ` ( G ` v ) ) e. RR+ )
250	249	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( G ` v ) ) e. RR+ )
251	247, 250	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) e. RR )
252	243	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> y e. RR )
253		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ph )
254		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> v e. A )
255	253, 254, 237	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` v ) ) e. RR )
256		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) )
257	255, 247, 250, 256	ltdiv1dd 11929	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( F ` v ) ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) < ( ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) )
258	243	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) -> y e. CC )
259	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) e. CC )
260	249	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) -> ( abs ` ( G ` v ) ) e. CC )
261	238	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) -> ( abs ` ( G ` v ) ) =/= 0 )
262	258, 259, 260, 261	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) -> ( ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) = ( y x. ( ( ( abs ` D ) / 2 ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) )
263	262	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> ( ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) = ( y x. ( ( ( abs ` D ) / 2 ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) )
264	245, 249	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) -> ( ( ( abs ` D ) / 2 ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) e. RR )
265	264	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> ( ( ( abs ` D ) / 2 ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) e. RR )
266		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> 1 e. RR )
267		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> y e. RR+ )
268	244	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) e. RR )
269		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. RR+
270	269	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> 1 e. RR+ )
271	248	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> ( abs ` ( G ` v ) ) e. RR+ )
272	47	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( ( abs ` D ) / 2 ) / 1 ) = ( ( abs ` D ) / 2 ) )
273	272	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> ( ( ( abs ` D ) / 2 ) / 1 ) = ( ( abs ` D ) / 2 ) )
274		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) )
275	273, 274	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> ( ( ( abs ` D ) / 2 ) / 1 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) )
276	268, 270, 271, 275	ltdiv23d 11937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> ( ( ( abs ` D ) / 2 ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) < 1 )
277	276	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> ( ( ( abs ` D ) / 2 ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) < 1 )
278	265, 266, 267, 277	ltmul2dd 11928	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> ( y x. ( ( ( abs ` D ) / 2 ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) < ( y x. 1 ) )
279	263, 278	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> ( ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) < ( y x. 1 ) )
280	258	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) -> ( y x. 1 ) = y )
281	280	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> ( y x. 1 ) = y )
282	279, 281	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> ( ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) < y )
283	282	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) < y )
284	241, 251, 252, 257, 283	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( F ` v ) ) / ( abs ` ( G ` v ) ) ) < y )
285	236, 284	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) ) < y )
286	224, 225, 226, 285	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) /\ u e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ v =/= E ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) ) < y )
287	222, 286	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) /\ u e. RR+ ) /\ v e. A ) /\ v =/= E ) /\ ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` v ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y )
288	128, 150, 186, 287	syl21anc 1325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y )
289	288	3exp 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) -> ( v e. A -> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y ) ) )
290	121, 289	ralrimi 2957	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) -> A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y ) )
291		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = if ( z <_ u , z , u ) -> ( ( abs ` ( v - E ) ) < w <-> ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) )
292	291	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = if ( z <_ u , z , u ) -> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < w ) <-> ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) ) )
293	292	imbi1d 331	. . . . . . . . . 10 |- ( w = if ( z <_ u , z , u ) -> ( ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y ) <-> ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y ) ) )
294	293	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( w = if ( z <_ u , z , u ) -> ( A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y ) <-> A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y ) ) )
295	294	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( if ( z <_ u , z , u ) e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < if ( z <_ u , z , u ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y ) )
296	114, 290, 295	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) /\ u e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y ) )
297	296	rexlimdv3a 3033	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) -> ( E. u e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - 0 ) ) < ( y x. ( ( abs ` D ) / 2 ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y ) ) )
298	111, 297	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y ) )
299	298	rexlimdv3a 3033	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. z e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < z ) -> ( ( abs ` D ) / 2 ) < ( abs ` ( G ` v ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y ) ) )
300	89, 299	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y ) )
301	300	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. y e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y ) )
302	193, 10, 13	ellimc3 23643	. 2 |- ( ph -> ( 0 e. ( H lim CC E ) <-> ( 0 e. CC /\ A. y e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= E /\ ( abs ` ( v - E ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - 0 ) ) < y ) ) ) )
303	1, 301, 302	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> 0 e. ( H lim CC E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   abscabs 13974   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  reclimc  39885