Theorem mullimcf 39855

Description: Limit of the multiplication of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullimcf.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
mullimcf.g	|- ( ph -> G : A --> CC )
mullimcf.h	|- H = ( x e. A |-> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) )
mullimcf.b	|- ( ph -> B e. ( F lim CC D ) )
mullimcf.c	|- ( ph -> C e. ( G lim CC D ) )

Assertion

Ref	Expression
mullimcf	|- ( ph -> ( B x. C ) e. ( H lim CC D ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, F   x, G   ph, x

Allowed substitution hints:   C( x)   H( x)

Proof of Theorem mullimcf

Dummy variables a b e f y z w c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 23639	. . . 4 |- ( F lim CC D ) C_ CC
2		mullimcf.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. ( F lim CC D ) )
3	1, 2	sseldi 3601	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
4		limccl 23639	. . . 4 |- ( G lim CC D ) C_ CC
5		mullimcf.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. ( G lim CC D ) )
6	4, 5	sseldi 3601	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
7	3, 6	mulcld 10060	. 2 |- ( ph -> ( B x. C ) e. CC )
8		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> w e. RR+ )
9	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> B e. CC )
10	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> C e. CC )
11		mulcn2 14326	. . . . 5 |- ( ( w e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> E. a e. RR+ E. b e. RR+ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> E. a e. RR+ E. b e. RR+ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
13		mullimcf.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : A --> CC )
14		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom F = A )
16		limcrcl 23638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ( F lim CC D ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ D e. CC ) )
17	2, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ D e. CC ) )
18	17	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom F C_ CC )
19	15, 18	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A C_ CC )
20	17	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. CC )
21	13, 19, 20	ellimc3 23643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B e. ( F lim CC D ) <-> ( B e. CC /\ A. a e. RR+ E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) ) )
22	2, 21	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B e. CC /\ A. a e. RR+ E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) )
23	22	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) )
24	23	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. RR+ ) -> E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) )
25	24	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) )
26		mullimcf.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G : A --> CC )
27	26, 19, 20	ellimc3 23643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C e. ( G lim CC D ) <-> ( C e. CC /\ A. b e. RR+ E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) )
28	5, 27	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( C e. CC /\ A. b e. RR+ E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
29	28	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. b e. RR+ E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
30	29	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. RR+ ) -> E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
31	30	adantrl 752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
32		reeanv 3107	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. e e. RR+ E. f e. RR+ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) <-> ( E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
33	25, 31, 32	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. e e. RR+ E. f e. RR+ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
34		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) -> if ( e <_ f , e , f ) e. RR+ )
35	34	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> if ( e <_ f , e , f ) e. RR+ )
36		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) )
37		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z ( e e. RR+ /\ f e. RR+ )
38		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ z A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a )
39		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ z A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b )
40	38, 39	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
41	36, 37, 40	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ z ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
42		simp11l 1172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ph )
43		simp1rl 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> a e. RR+ )
44	43	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> a e. RR+ )
45	42, 44	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( ph /\ a e. RR+ ) )
46		simp12 1092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) )
47		simp13l 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) )
48	45, 46, 47	jca31 557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) )
49		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) )
50		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> z e. A )
51		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> z =/= D )
52		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) -> ph )
53	52	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ph )
54		simp1lr 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) )
55		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) )
56		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ph )
57		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> z e. A )
58	19	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. CC )
59	56, 57, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> z e. CC )
60	56, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> D e. CC )
61	59, 60	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( z - D ) e. CC )
62	61	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) e. RR )
63		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( e e. RR+ -> e e. RR )
64	63	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) -> e e. RR )
65	64	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> e e. RR )
66		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f e. RR+ -> f e. RR )
67	66	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) -> f e. RR )
68	67	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> f e. RR )
69	65, 68	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> if ( e <_ f , e , f ) e. RR )
70		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) )
71		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( e e. RR /\ f e. RR ) -> if ( e <_ f , e , f ) <_ e )
72	65, 68, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> if ( e <_ f , e , f ) <_ e )
73	62, 69, 65, 70, 72	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < e )
74	53, 54, 50, 55, 73	syl211anc 1332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < e )
75	51, 74	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) )
76		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) )
77	49, 50, 75, 76	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a )
78	48, 77	syld3an1 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a )
79		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> ph )
80	79, 43	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> ( ph /\ a e. RR+ ) )
81		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) )
82		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
83	80, 81, 82	jca31 557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
84		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
85		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> z e. A )
86		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> z =/= D )
87		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) -> ph )
88	87	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ph )
89		simp1lr 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) )
90		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) )
91		min2 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( e e. RR /\ f e. RR ) -> if ( e <_ f , e , f ) <_ f )
92	65, 68, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> if ( e <_ f , e , f ) <_ f )
93	62, 69, 68, 70, 92	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < f )
94	88, 89, 85, 90, 93	syl211anc 1332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < f )
95	86, 94	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) )
96		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
97	84, 85, 95, 96	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b )
98	83, 97	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b )
99	78, 98	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
100	99	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) )
101	41, 100	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
102		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = if ( e <_ f , e , f ) -> ( ( abs ` ( z - D ) ) < y <-> ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) )
103	102	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = if ( e <_ f , e , f ) -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) <-> ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) )
104	103	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = if ( e <_ f , e , f ) -> ( ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) <-> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) )
105	104	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = if ( e <_ f , e , f ) -> ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) <-> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) )
106	105	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( if ( e <_ f , e , f ) e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
107	35, 101, 106	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
108	107	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> ( ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) -> ( ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) ) )
109	108	rexlimdvv 3037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> ( E. e e. RR+ E. f e. RR+ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) )
110	33, 109	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
111	110	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
112	111	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
113		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ )
114		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
115	113, 114	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
116		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) -> ph )
117	116	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> ph )
118	117	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ph )
119		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> z e. A )
120		mullimcf.h	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- H = ( x e. A |-> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) )
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> H = ( x e. A |-> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) )
122		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
123		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
124	122, 123	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
125	124	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x = z ) -> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
126		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. A )
127	13	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
128	26	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( G ` z ) e. CC )
129	127, 128	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
130	121, 125, 126, 129	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( H ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
131	130	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) )
132	131	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) ) )
133	118, 119, 132	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) ) )
134	127, 128	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) )
135	118, 119, 134	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) )
136		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
137	136	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
138		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) )
139	138	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
140	139	3adant1l 1318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
141		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = ( F ` z ) -> ( c - B ) = ( ( F ` z ) - B ) )
142	141	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = ( F ` z ) -> ( abs ` ( c - B ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) )
143	142	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( abs ` ( c - B ) ) < a <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) )
144	143	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) <-> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) ) )
145		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = ( F ` z ) -> ( c x. d ) = ( ( F ` z ) x. d ) )
146	145	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) = ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( B x. C ) ) )
147	146	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = ( F ` z ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( B x. C ) ) ) )
148	147	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
149	144, 148	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) <-> ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) )
150		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = ( G ` z ) -> ( d - C ) = ( ( G ` z ) - C ) )
151	150	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d = ( G ` z ) -> ( abs ` ( d - C ) ) = ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) )
152	151	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( abs ` ( d - C ) ) < b <-> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
153	152	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) <-> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
154		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( F ` z ) x. d ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
155	154	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( B x. C ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) )
156	155	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = ( G ` z ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( B x. C ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) ) )
157	156	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
158	153, 157	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) <-> ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) )
159	149, 158	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) -> ( A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) )
160	135, 137, 140, 159	syl3c 66	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) ) < w )
161	133, 160	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w )
162	161	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) )
163	115, 162	ralrimi 2957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
164	163	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) )
165	164	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) )
166	112, 165	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
167	166	3exp 1264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> ( A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) ) )
168	167	rexlimdvv 3037	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( E. a e. RR+ E. b e. RR+ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) )
169	12, 168	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
170	169	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. w e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
171	13	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. CC )
172	26	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. CC )
173	171, 172	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) e. CC )
174	173, 120	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> H : A --> CC )
175	174, 19, 20	ellimc3 23643	. 2 |- ( ph -> ( ( B x. C ) e. ( H lim CC D ) <-> ( ( B x. C ) e. CC /\ A. w e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) ) )
176	7, 170, 175	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( B x. C ) e. ( H lim CC D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  fourierdlem101  40424  fourierdlem111  40434