Theorem addlimc 39880

Description: Sum of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
addlimc.f	|- F = ( x e. A |-> B )
addlimc.g	|- G = ( x e. A |-> C )
addlimc.h	|- H = ( x e. A |-> ( B + C ) )
addlimc.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
addlimc.c	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
addlimc.e	|- ( ph -> E e. ( F lim CC D ) )
addlimc.i	|- ( ph -> I e. ( G lim CC D ) )

Assertion

Ref	Expression
addlimc	|- ( ph -> ( E + I ) e. ( H lim CC D ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   D( x)   E( x)   F( x)   G( x)   H( x)   I( x)

Proof of Theorem addlimc

Dummy variables a b v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 23639	. . . 4 |- ( F lim CC D ) C_ CC
2		addlimc.e	. . . 4 |- ( ph -> E e. ( F lim CC D ) )
3	1, 2	sseldi 3601	. . 3 |- ( ph -> E e. CC )
4		limccl 23639	. . . 4 |- ( G lim CC D ) C_ CC
5		addlimc.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. ( G lim CC D ) )
6	4, 5	sseldi 3601	. . 3 |- ( ph -> I e. CC )
7	3, 6	addcld 10059	. 2 |- ( ph -> ( E + I ) e. CC )
8		addlimc.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
9		addlimc.f	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. A |-> B )
10	8, 9	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : A --> CC )
11	9, 8, 2	limcmptdm 39867	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ CC )
12		limcrcl 23638	. . . . . . . . . . 11 |- ( E e. ( F lim CC D ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ D e. CC ) )
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ D e. CC ) )
14	13	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. CC )
15	10, 11, 14	ellimc3 23643	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E e. ( F lim CC D ) <-> ( E e. CC /\ A. z e. RR+ E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) ) ) )
16	2, 15	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E e. CC /\ A. z e. RR+ E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) ) )
17	16	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. RR+ E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) )
18		rphalfcl 11858	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR+ )
19		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z <-> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
20	19	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) <-> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
21	20	rexralbidv 3058	. . . . . . 7 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) <-> E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
22	21	rspccva 3308	. . . . . 6 |- ( ( A. z e. RR+ E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) /\ ( y / 2 ) e. RR+ ) -> E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
23	17, 18, 22	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
24		addlimc.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
25		addlimc.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. A |-> C )
26	24, 25	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : A --> CC )
27	26, 11, 14	ellimc3 23643	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( I e. ( G lim CC D ) <-> ( I e. CC /\ A. z e. RR+ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) ) ) )
28	5, 27	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I e. CC /\ A. z e. RR+ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) ) )
29	28	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. RR+ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) )
30		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z <-> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
31	30	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) <-> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
32	31	rexralbidv 3058	. . . . . . 7 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) <-> E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
33	32	rspccva 3308	. . . . . 6 |- ( ( A. z e. RR+ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) /\ ( y / 2 ) e. RR+ ) -> E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
34	29, 18, 33	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
35		reeanv 3107	. . . . 5 |- ( E. a e. RR+ E. b e. RR+ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) <-> ( E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
36	23, 34, 35	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. a e. RR+ E. b e. RR+ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
37		ifcl 4130	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ )
38	37	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ )
39		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ v ( ph /\ y e. RR+ )
40		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ v ( a e. RR+ /\ b e. RR+ )
41		nfra1 2941	. . . . . . . . . 10 |- F/ v A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) )
42		nfra1 2941	. . . . . . . . . 10 |- F/ v A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) )
43	41, 42	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ v ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
44	39, 40, 43	nf3an 1831	. . . . . . . 8 |- F/ v ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
45		simp11l 1172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ph )
46		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> v e. A )
47	45, 46	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( ph /\ v e. A ) )
48		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR )
50	49	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> y e. RR )
51	50	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> y e. RR )
52		simp13l 1176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
53		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> v =/= D )
54	11	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> v e. CC )
55	45, 46, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> v e. CC )
56	45, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> D e. CC )
57	55, 56	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( v - D ) e. CC )
58	57	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( v - D ) ) e. RR )
59	38	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
60	59	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
61		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> a e. RR+ )
62	61	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> a e. RR )
63	62	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> a e. RR )
64	63	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> a e. RR )
65		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) )
66		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> b e. RR+ )
67	66	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> b e. RR )
68		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
69	62, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
70	69	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
71	70	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
72	58, 60, 64, 65, 71	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( v - D ) ) < a )
73	53, 72	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) )
74		rsp 2929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( v e. A -> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
75	52, 46, 73, 74	syl3c 66	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) )
76	47, 51, 75	jca31 557	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
77		simp13r 1177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
78	67	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> b e. RR )
79	78	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> b e. RR )
80		min2 12021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
81	62, 67, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
82	81	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
83	82	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
84	58, 60, 79, 65, 83	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( v - D ) ) < b )
85	53, 84	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) )
86		rsp 2929	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( v e. A -> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
87	77, 46, 85, 86	syl3c 66	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) )
88	8, 24	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) e. CC )
89		addlimc.h	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- H = ( x e. A |-> ( B + C ) )
90	88, 89	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H : A --> CC )
91	90	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) e. CC )
92	91	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( H ` v ) e. CC )
93		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ph )
94	93, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( E + I ) e. CC )
95	92, 94	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) e. CC )
96	95	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) e. RR )
97	10	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( F ` v ) e. CC )
98	97	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( F ` v ) e. CC )
99	93, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> E e. CC )
100	98, 99	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( F ` v ) - E ) e. CC )
101	100	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) e. RR )
102	26	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( G ` v ) e. CC )
103	102	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( G ` v ) e. CC )
104	93, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> I e. CC )
105	103, 104	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( G ` v ) - I ) e. CC )
106	105	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) e. RR )
107	101, 106	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) + ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) ) e. RR )
108		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> y e. RR )
109		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( ph /\ v e. A )
110		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x ( x e. A |-> ( B + C ) )
111	89, 110	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x H
112		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x v
113	111, 112	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( H ` v )
114		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
115	9, 114	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x F
116	115, 112	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x ( F ` v )
117		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x +
118		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
119	25, 118	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x G
120	119, 112	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x ( G ` v )
121	116, 117, 120	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( ( F ` v ) + ( G ` v ) )
122	113, 121	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) )
123	109, 122	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) )
124		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = v -> ( x e. A <-> v e. A ) )
125	124	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = v -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ v e. A ) ) )
126		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = v -> ( H ` x ) = ( H ` v ) )
127		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = v -> ( F ` x ) = ( F ` v ) )
128		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = v -> ( G ` x ) = ( G ` v ) )
129	127, 128	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = v -> ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) )
130	126, 129	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = v -> ( ( H ` x ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) <-> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) ) )
131	125, 130	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = v -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) ) <-> ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) ) ) )
132		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
133	89	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. A /\ ( B + C ) e. CC ) -> ( H ` x ) = ( B + C ) )
134	132, 88, 133	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( B + C ) )
135	9	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. A /\ B e. CC ) -> ( F ` x ) = B )
136	132, 8, 135	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = B )
137	136	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( F ` x ) )
138	25	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. A /\ C e. CC ) -> ( G ` x ) = C )
139	132, 24, 138	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = C )
140	139	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C = ( G ` x ) )
141	137, 140	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) )
142	134, 141	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) )
143	123, 131, 142	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) )
144	143	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) )
145	144	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) = ( ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) - ( E + I ) ) )
146	98, 103, 99, 104	addsub4d 10439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) - ( E + I ) ) = ( ( ( F ` v ) - E ) + ( ( G ` v ) - I ) ) )
147	145, 146	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) = ( ( ( F ` v ) - E ) + ( ( G ` v ) - I ) ) )
148	147	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` v ) - E ) + ( ( G ` v ) - I ) ) ) )
149	100, 105	abstrid 14195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` v ) - E ) + ( ( G ` v ) - I ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) + ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) ) )
150	148, 149	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) + ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) ) )
151		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) )
152		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) )
153	101, 106, 108, 151, 152	lt2halvesd 11280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) + ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) ) < y )
154	96, 107, 108, 150, 153	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y )
155	76, 87, 154	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y )
156	155	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> ( v e. A -> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) )
157	44, 156	ralrimi 2957	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
158		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( abs ` ( v - D ) ) < w <-> ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) )
159	158	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( w = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) <-> ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) )
160	159	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 |- ( w = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) <-> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) )
161	160	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( w = if ( a <_ b , a , b ) -> ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) <-> A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) )
162	161	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
163	38, 157, 162	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
164	163	3exp 1264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> ( ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) ) )
165	164	rexlimdvv 3037	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. a e. RR+ E. b e. RR+ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) )
166	36, 165	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
167	166	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. y e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
168	90, 11, 14	ellimc3 23643	. 2 |- ( ph -> ( ( E + I ) e. ( H lim CC D ) <-> ( ( E + I ) e. CC /\ A. y e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) ) )
169	7, 167, 168	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( E + I ) e. ( H lim CC D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   abscabs 13974   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  sublimc  39884  reclimc  39885  fourierdlem53  40376  fourierdlem60  40383  fourierdlem61  40384